Корреляционно-регрессионные модели

     Построение корреляционной модели осуществляется в несколько этапов: [7, c.98-100].

1. постановка задачи;

  На  этом этапе считается, что связь  между аргументами и результативным показателем может существовать и характеризуется функцией .

2. сбор статистических данных;

  Сбор  статистических данных осуществляется на основе первичных документов, отчетных данных. Некоторые показатели могут  быть получены только после предварительной  обработки собранных данных. При  сборе данных необходимо определить количество выборочных наблюдений или выборочную совокупность.

  Выборочная  совокупность – часть наблюдений, отобранных для дальнейшего использования. Вся совокупность наблюдений, отображающих изучаемые результативные признаки и факторы – генеральная.

  Объем выборочных наблюдений ( ) определяется по формуле предельной ошибки случайной бесповторной выборки:

                                                 ,                                               (1)

где N – величина генеральной совокупности;

       - коэффициент доверия;

       - дисперсия значений признака в генеральной совокупности;

       - предельная ошибка случайной бесповторной выборки.

  Дисперсия ( ) является характеристикой рассеивания случайной величины, т.е. их отклонения от средней. Квадратный корень из дисперсии – среднее квадратическое отклонение:

                                                            ,                                                       (2)

где R – вариационный размах колебаний, определяемый как разность максимального и минимального значений признака.

3. определение вида функции (уравнения регрессии);

  Уравнение корреляционной связи (уравнение регрессии) – аналитическое уравнение, с помощью которого выражается связь между признаками. Различают прямолинейное (прямая линия) и криволинейное (парабола, гипербола) уравнения связи.

  В простейшем виде зависимость между  двумя показателями может быть прямолинейная, которая отображается уравнением:

                                                          ,                                                    (3)

где – результативный показатель;

      - параметры уравнения регрессии, которые требуется найти;

      - аргумент.

  Коэффициент – постоянная величина результативного показателя, которая не связана с изменением данного фактора. Параметр показывает среднее изменение результативного показателя с повышением или понижением величины фактора на единицу его измерения.

4. выявление форм связи;

  Под формой корреляционной связи понимают тип аналитической формулы, выражающей зависимость между изучаемыми признаками.

  Форма связи характеризует изменение  значений одного признака (результативного) в зависимости от изменения другого (факторного) и определяется только тогда, когда для исследования используется большое количество наблюдений.

  Если  увеличение (уменьшение) факторного признака у результативного влечет за собой  увеличение (уменьшение), то связь  прямая. Если увеличение (уменьшение) факторного признака приводит к уменьшению (увеличению) результативного, то связь обратная. Если же его изменение не приводит к изменению результативного, то связи нет.

  Под формой корреляционной зависимости  понимают тенденцию, проявляющуюся  в изменениях изучаемого признака в  связи с изменением признака-фактора. Если наблюдается тенденция равномерного возрастания или убывания значений признака, то зависимость прямолинейная. При тенденции неравномерного изменения этих значений зависимость криволинейная.

5. определение тесноты связи (насколько полно выбраны факториальные признаки, как велико влияние неучтенных признаков);

  Теснота связи между выбранными показателями определяется коэффициентом корреляции , который рассчитывается по формуле: [7, с.100]

                                                   ,                                                    (4)

где - среднеарифметическая значений результативных признаков;

      - среднеарифметическая значений аргументов;

      - количество выборочных наблюдений;

      - среднее квадратическое отклонение соответственно факториально и результативного признаков.

  Среднее квадратическое отклонение рассчитывается по формуле:

                                    ; ,                                    (5)

  Коэффициент корреляции принимает значения от 0 до 1. Если функция y и аргумент x независимы, то коэффициент корреляции равен 0. Если коэффициент корреляции равен 1, значит, результативный признак полностью зависит от признака-фактора. Чем больше величина коэффициента корреляции, тем теснее связь между выбранными признаками, тем меньше осталось неучтенных факторов (таблица 2). [8, c.49] 

Таблица 2 – Качественная оценка тесноты связи  при различных значениях корреляционного отношения (коэффициента корреляции).

 

6. установление  численного значения параметров уравнения регрессии.

  Значения  параметров находятся в результате решения системы уравнений:

                                                     .                                      (6)

  Корреляция  может быть парной и множественной.

Парная  корреляция.

  Исследование  связей между двумя или несколькими  показателями требует наблюдений за всеми изучаемыми показателями. При  этом возможно изучение взаимосвязей и взаимозависимостей между показателями. Для этого применяется, прежде всего, корреляция, которая дает возможность установить, насколько средняя величина одного показателя меняется в зависимости от другого.

  Парная  корреляция – это связь между двумя показателями, один из которых является фактором, другой – результативным показателем. Парная корреляция позволяет выяснить зависимость между двумя показателями.

  Уравнение парной линейной корреляции связи называется уравнением парной регрессии и имеет  вид:

                                                           ,                                                     (7)

где - среднее значение результативного признака y при определенном значении факторного признака x;

       а – свободный член уравнения;

       b – коэффициент регрессии, измеряющий среднее отношение отклонения результативного признака от его средней величины к отклонению факторного признака от его средней величины на одну единицу его измерения – вариация у, приходящейся на единицу вариации х.

  Параметры уравнения а и b находятся методом наименьших квадратов, который обеспечивает минимум суммы квадратов отклонений. Результаты полученные методом наименьших квадратов считаются более близкими к точному значению:

                                            .                                 (8)

  Для отыскания значений параметров а и b, при которых принимает минимальное значение, находим частные производные:

                                                                                        (9)

                                                                                      (10)

  Приравнивая частные производные данной функции  к нулю и перегруппировав слагаемые, приходим к системе двух уравнений  с двумя неизвестными а и b:

                                                                                      (11)

  Если  первое уравнение разделить на п, получим:

                                             , откуда                                    (12)

  Параметр  b вычисляется по преобразованной формуле:

                             (13)

  Алгоритм  расчетов при корреляционном анализе  связи парной корреляции [8, с.48-54]:

1. Производится отбор наиболее важных существенных факторов, влияющих на результативный показатель.

  При отборе факторов учитываются причинно-следственные связи показателями, причем все факторы  должны быть количественно измеримы. Отобранные для анализа показатели и результаты наблюдений за их изменением помещаются в таблицу, в которой факторные признаки располагаются в порядке возрастания или убывания, т.е. ранжируются.

2. Производится обоснование формы связи путем визуального анализа ранжированного ряда. Подобное обоснование является приблизительным и нуждается в дальнейшем уточнении с помощью ошибки аппроксимации.

  Форма связи определяет дальнейшее действие корреляционного анализа. Если связь  носит прямолинейный характер, то рассчитывается коэффициент корреляции. Если связь криволинейная, то, прежде всего, определяются теоретические значения . С этой целью решается уравнение регрессии, описывающее связь между изучаемыми показателями. Затем рассчитывается корреляционное отношение (коэффициент корреляции), которое дает количественную оценку тесноты связи, характеризует силу влияния факторных признаков на результативные.

  При прямолинейной форме связи коэффициент  корреляции рассчитывается по формуле: [12, с.121]

              (14)

  Коэффициент корреляции может быть представлен  и как среднее значение произведений нормированных отклонений ( ):

                                                                                                            (15)

  Нормированные отклонения определяются по формулам:

                                                  

;                                             (16)

  Если  коэффициент корреляции возвести в  квадрат, то получим коэффициент (индекс) детерминации, который показывает, чему равна доля влияния изучаемого фактора на совокупный показатель.

  При значениях тесноты связи меньше 0,7 величина индекса детерминации d всегда будет меньше 50%. Это означает, что на долю вариации факторного признака x приходится меньшая доля по сравнению с другими признаками, влияющими на изменение результативного показателя.

  Если  значение тесноты связи более 0,7, выбирается уравнение регрессии, с  помощью которого описывается форма связи между показателями.