Контрольная работа по экономико-математическому моделирования

 

Из отчета видно, что запасы дефицитных ресурсов, 2-го и 3-го видов сырья могут быть, как уменьшены, так и увеличены. Увеличение запаса 1-го ресурса на план выпуска продукции не влияет. Новый  план выпуска составляет 75 изделий  первого вида и 330 изделий второго  вида. Изменение общей стоимости  продукции на 540 ед. (2655-2115=540) получено за счёт уменьшения плана выпуска  на 20 ед. продукции первого вида по цене 9 ед. (9*(75-95)=-180 ед) и увеличении на 120 ед. продукции второго вида по цене 6 ед. (6*(330-210)=720 ед).

  С помощью оценок двойственности можно понять эффективно или не эффективно было бы производить изделие Д ценой 12 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Тип сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие (Д)	Оценка ресурсов
I	2	0
II	12	1,5
III	2	2,25
Цена изделия	12

 

_{, это значит что изделие выгодно для включения в план, так как затраты на его изготовление покрываются полученной прибылью.}

 

 

 

 

 

 

Задача 3.2 Используя балансовый метод планирования и модель Леонтьева, построить баланс производства и распределения продукции предприятий.

Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий  группы специализируется на выпуске  продукции одного вида: первое предприятие  специализируется на выпуске продукции  первого вида, второе предприятие  – продукция второго вида; третье предприятие – продукция третьего вида. Часть выпускаемой продукции  потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление),  остальная  часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей  компании получены экономические оценки a_ij (i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов y_i вектора конечной продукции Y.

 

Требуется:

1. Проверить  продуктивность технологической  матрицы  (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

2. Построить  баланс (заполнить таблицу) производства  и распределения прдукции предпрятий холдинга.

Решение

Для определения  общего (валового) выпуска продукции 1-го и 2-го видов воспользуемся моделью  Леонтьева в виде:

 

X=(E-A)^-1Y.

 

 

С помощью  функций Excel определяем матрицу-разность (E-A):

(E-A) =.

С помощью функции =МОБР (=МОБР(F10:H12)) Мастера функций Excel найдем обратную матрицу:

 

                B=(E-A)^-1 =.

 

Делаем вывод о продуктивности матрицы А поскольку матрица (E-A) неотрицательно обратима. Значит мы можем найти матрицу-столбец объемов валовой продукции X в соответствии с моделью Леонтьева.

С помощью функции =МУМНОЖ (=МУМНОЖ(J10:L12;F4:F6) ) Мастера функций Excel найдем матрицу X как произведение матриц B и Y:

                    X= =

Таким образом, общие объемы производства продукции  цехов:

Х₁ = 285,67,    Х₂  = 331,06.     X₃=362,80

Распределение продукции между  цехами на внутреннее потребление определяем из соотношения:  Х_{i j}     = а_{i j} Х_j   , т.е.

Х₁₁     =  0*285,67 = 0;  Х₁₂=0,1*331,06 = 33,11; X₁₃=0,2*362,80=72,56

Х₂₁     =0,1*285,67 = 28,57;  Х₂₂ =0,2*331,06 = 66,21     Х₂₃ =0,1*362,80 =36,28.

Х₃₁     =0,2*285,67 = 57,13;     Х₃₂  =0,1*331,06 = 33,11    Х₃₃ =0,2*362,80=72,56.

В итоге плановая модель - баланс производства и распределения продукции предприятия - будет иметь следующий вид:

Баланс производства и распределения  продукции холдинга
Предприятие	Внутреннее потребление			Конечный	Валовой
(вид продукции)	1	2	3	продукт	продукт
1	0	33,11	72,56	180	285,67
2	28,57	66,21	36,28	200	331,06
3	57,13	33,11	72,56	200	362,80

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4.2 Использовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.

В течение девяти последовательных недель фиксировался Y(t) (млн руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании.

t	Y(t)
1	43
2	47
3	50
4	48
5	54
6	57
7	61
8	59
9	65

 

Требуется: 

1) Проверить наличие аномальных  наблюдений. 

2) Построить линейную модель   , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда). 

3) Построить адаптивную модель  Брауна  с параметром сглаживания a= 0,4 и a= 0,7; выбрать лучшее значение  параметра сглаживания α.

4) Оценить адекватность построенных  моделей, используя свойства независимости  остаточной компоненты, случайности  и соответствия нормальному закону  распределения (при использовании  R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).

5) Оценить точность моделей на  основе использования средней  относительной ошибки аппроксимации.

6) По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели  (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

7) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования  представить графически.

 Вычисления  провести с одним знаком в  дробной части. Основные промежуточные  результаты вычислений представить  в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

 

Решение:

1) Используя метод Ирвина проверим наличие аномальных наблюдений:

 

, где

 

 

                               - среднеквадратическое отклонение

 

Выполним  все вычисления, используя MS Excel:

В результате получим:

 

 

Так как по всем уровням t значение не превосходит табличное 1,5, то аномальных наблюдений нет.

2) Построим линейную модель вида Y(t) = a₀+a₁t по методу наименьших квадратов. Коэффициенты а₀ и а₁ линейной модели найдем по следующим формулам:

;    

Построим  следующую таблицу, используя MS Excel:

Получим таблицу:

 

Уравнение регрессии  зависимости Y_t  от t_t имеет вид: Y(t) = 40,861 + 2,58t

Для получения  коэффициентов регрессии можно  использовать настройку MS Excel «Анализ данных». Для этого занесем исходные данные в таблицу:

 

 

Воспользуемся пунктом Данные → Анализ данных → Регрессия:

 

 

 
Результат регрессионного анализа:

 

 

 

 

Средствами  MS Excel получены коэффициенты уравнения регрессии а₀=40,861, а₁=2,58, стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии и статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.

Уравнение регрессии имеет вид: Y(t) = 40,861+ 2,583t

 

 

3) Модель Брауна: ;

;

;

;

Заполним  таблицу  расчетных значений с  параметром сглаживания =0,4 с помощью Excel, мастер функций.

 
Получим :

 

 

 

 

 

 

 

  Заполним таблицу  расчетных значений с параметром сглаживания =0,7 с помощью Excel, мастер функций.

 

 

Получаем:

 

Выберем лучшее значение параметра сглаживания, для этого сравним ошибки E(t): модель с параметром сглаживания =0,4, E(t)=0,06, а модель с параметром сглаживания =0,7, E(t)=0,05, следовательно лучшее значение параметра сглаживания =0,7.

 

 

 

 

4) Оценим адекватность построенных моделей:

1. Модель с  параметром сглаживания =0,4:

Проверку  случайности  уровней ряда остатков проведем на основе критерия пиков (поворотных точек). Точки пиков отметим в  столбце «F»,их количество равно четырем (р=4).

Таблица: «Точки пиков». 
_{Так же это можно увидеть на графике «Остатков»}

 

Правая  часть неравенства p>q равняется в нашем случае двум, то есть это неравенство выполняется. Следовательно, свойство случайности ряда остатков подтверждается.

Проведем  проверку соответствия остаточной последовательности нормальному закону распределения. Воспользуемся RS-критерием.

=2,425+4,626=7,051

 

RS=R/S=7,051/2,593=2,72, это значение попадает в интервал между нижней и верхней границами табличных значений данного критерия (эти границы для n = 10 и уровня значимости α= 0,05 составляют соответственно 2,7 и 3,7). Это позволяет сделать вывод, что свойство нормальности распределения выполняется.

Переходя  к проверке равенства (близости) нулю математического ожидания ряда остатков, заметим, что по результатам вычислений в таблице («Точки пиков») это математическое ожидание равно 0,06: 9 = 0,007 и, следовательно, можно подтвердить выполнение данного свойства, не прибегая к статистике Стьюдента. 

Для проверки независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции) вычислим значение критерия Дарбина—Уотсона. Расчеты по формуле , представленные в столбцах «G,H,I»

дают следующее  значение этого критерия: d = 142,29 : 53,8 = 2,64. Эта величина превышает 2, что свидетельствует об отрицательной автокорреляции, поэтому критерий Дарбина—Уотсона необходимо преобразовать: d' = 4-d = 4- 2,64 =1.36. Данное значение сравниваем с двумя критическими табличными значениями критерия, которые для линейной модели в нашем случае можно принять равными d₁ =1,08 и d₂ — 1,36. Так как расчетное значение попадает в интервал от d2 до 2, то делается вывод о независимости уровней остаточной последовательности.

Из сказанного выше следует, что остаточная последовательность удовлетворяет всем свойствам случайной  компоненты временного ряда, следовательно, построенная линейная модель является адекватной.

2. Модель с  параметром сглаживания =0,7:

Проверку  случайности  уровней ряда остатков проведем на основе критерия пиков (поворотных точек). Точки пиков отметим в  столбце «F», их количество равно четырем (р=4).

Таблица: «Расчетные значения». 

Правая  часть неравенства p>q равняется в нашем случае двум, то есть это неравенство выполняется. Следовательно, свойство случайности ряда остатков подтверждается.

Проведем  проверку соответствия остаточной последовательности нормальному закону распределения. Воспользуемся RS-критерием.

=2,216+3,556 =5,772

 1,932

 

RS=R/S=5,772/1,932=2,987 это значение попадает в интервал между нижней и верхней границами табличных значений данного критерия (эти границы для  n = 10 и уровня значимости α= 0,05 составляют соответственно 2,7 и 3,7). Это позволяет сделать вывод, что свойство нормальности распределения выполняется.

Переходя  к проверке равенства (близости) нулю математического ожидания ряда остатков, заметим, что по результатам вычислений в таблице  это математическое ожидание равно 0,05: 9 = 0,005  и, следовательно, можно подтвердить выполнение данного свойства, не прибегая к статистике Стьюдента.