Контрольная работа по экономико-математическому моделирования

 

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ  ИНСТИТУТ

 

 

 

 

Кафедра Экономико-математических методов и моделей

Факультет  Учетно-статистический 

Специальность Бух. учет, анализ и аудит

 

 

 

Контрольная работа

по дисциплине "Экономико-математические методы и прикладные модели"

 

Вариант 2

 

 

 

 

 

Преподаватель:

Исполнитель:

№ личного  дела

 

 

 

 

 

 

Москва 2012г.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание:

1. Задача 1.2 Решить графическим методом типовую задачу оптимизации……………………………………………………………………..3

         2. Задача 2.2 Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования……………………………………………………………..7

3. Задача 3.2 Используя балансовый метод планирования и модель Леонтьева, построить баланс производства и распределения продукции предприятий…………………………………………………………………...15

        4. Задача 4.2 Использовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда………………………………17

Список  использованной литературы…………………………………..36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 1.2 Решить графическим методом типовую задачу оптимизации.

      Совхоз  для кормления животных использует  два вида корма. В дневном  рационе должно содержаться не  менее 6 единиц питательного вещества А и не менее 12 единиц питательного вещества В.

Какое количество корма надо расходовать  ежедневно на одно животное, чтобы  затраты были минимальными? Использовать данные таблицы.

Питательное вещество	Количество питательных веществ в 1 кг корма
	1	2
А	2	1
В	2	4
Цена 1 кг корма, тыс. руб.	0,2	0,3

      Построить экономико-математическую  модель задачи, дать необходимые  комментарии к ее элементам  и получить решение графическим  методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

Математическая  модель: Обозначим Хj- количество  j-го компонента смеси (j=1,2). Таким образом, формально план смеси представляет собой вектор Х=(х1,х2).

С учётом введённых  обозначений математическая модель задачи по критерию «минимальные затраты» имеет вид:

min f(Х)=0,2х₁+0,3х₂

2х₁+х₂≥6

2х₁+4х₂≥12

х₁,х₂≥0

Получение решения:

1 Определим, какую часть плоскости описывает неравенство 2х₁+х₂≥6

Построим  прямую   2х₁+х₂=6. Она проходит через точки (0;6) и (3;0).                                    

Определим, какая полуплоскость удовлетворяет  неравенству. Для этого выбираем любую точку на графике, не принадлежащую  прямой, и подставляем ее координаты в неравенство. Подставим х₁=х₂=0. Получим 2*0+0≥6

0≥6 –  не верно, следовательно, данная  точка не является допустимым  решением и полуплоскость, содержащая  точку, не удовлетворяет неравенству.

2 Определим, какую часть плоскости описывает неравенство 2х₁+4х₂≥12

Построим  прямую   2х₁+4х₂=12. Она проходит через точки (0;3) и (6;0).                                    

Определим, какая полуплоскость удовлетворяет  неравенству. Для этого выбираем любую точку на графике, не принадлежащую  прямой, и подставляем ее координаты в неравенство. Подставим х₁=х₂=0. Получим 2*0+4*0≥6

0≥6 –  не верно, следовательно, данная  точка не является допустимым  решением и полуплоскость, содержащая  точку, не удовлетворяет неравенству.

3 Построим линию целевой функции и укажем направление вектор-градиента f (х₁,х₂)

min (0,2х₁+0,3х₂)

0,2*х₁+0,3*х₂=0

        - вектор- градиент с коэффициентом         (0,2;0,3) – умножим на 10 ( увеличение из-за масштаба), следовательно:

 (f(х₁); f(х₂))= (2;3)

4 Найдём координаты точки Е:

2х₁+х₂=6

2х₁+4х₂=12

х₁=х₂=2

5 Определим значение f(х) в угловой точке Е в ОДЗ и определим min: f(E)= 0,2*х₁+0,3*х₂=0,2*2+0,3*2=1

Т.D (3;0)

f(D)=0,2*3+0,3*0=0,6

т. А (0;3)

f(A)=0.2*0+0.3*3=0.9

Если решать задачу на максимум, то в задаче поменялась бы ОДЗ, которая была бы заключена  в треугольнике АСЕ, при этом т.А – оказалась бы т. min, а т. С – т. Max.

Для этого  необходимо перемещать перпендикуляр  вдоль роста вектора. Делая так, мы не найдём последней точки многоугольника решений, то есть решения задачи, так  как область определения уходит в бесконечность.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение задачи в Excel

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2.2 Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования.

 Для изготовления четырех  видов продукции используют три  вида сырья. Запасы сырья, нормы  его расхода и цены реализации  единицы каждого вида продукции  приведены в таблице.

Тип сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие				Запасы сырья
	А	Б	В	Г
I II III	1 0 4	0 1 2	2 3 0	1 2 4	180 210 800
Цена изделия	9	6	4	7

 

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
• определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья II и III вида на 120 и 160 единиц соответственно и уменьшении на 60 единиц запасов сырья I вида;
• оценить целесообразность включения в план изделия "Д" ценой 12 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

 

Решение:

1. Обозначим Хj (j=1,2,3,4) объём выпуска продукции.   Таким образом, формально план смеси представляет собой вектор Х=(х₁,х₂, х₃,х₄).

С учётом введённых  обозначений математическая модель задачи по критерию «максимум выручки» имеет вид:

f(x)=mах (9х₁+6х₂+4х₃+7х₄)

1х₁+0х₂+2х₃+1х₄≤180 

0х₁+1х₂+3х3+2х₄≤210                           (1)

4х₁+2х₂+0х₃+4х₄≤800

  х₁,х_2,х_3,х_4,≥0

Для получения  оптимального плана воспользуемся  MS Excel, а именно «Поиском решений»

Получение решения:

 

 

В результате получаем оптимальную план выпуска продукции:

Х₁=95   X₂=210

X₃, X₄= 0 означает то, что выпуск данной продукции не рентабелен при данной цене и ресурсных ограничениях.

                                mах (9х₁+6х₂+4х₃+7х₄)=2115

2. Сформулируем  двойственную задачу. В исходной задаче 3 ограничения по запасам сырья, а следовательно в двойственной задаче  имеем 3 неизвестных: y₁, y₂, y₃.

Целевая функция:

f(y)= min (180y₁ + 210y₂ + 800y₃)

Число переменных в исходной задаче равно четырем, следовательно в двоичной задаче имеем 4 ограничения:

1y₁  + 0 y₂ + 4 y₃ ≥ 9;

0y₁  + 1 y₂ + 2 y₃ ≥6     

 2y₁  + 3 y₂ + 0 y₃ ≥ 4;

1y₁ + 2 y₂ + 4y₃ ≥ 7.                                   (2)

где, правая часть  - коэффициенты при  неизвестных в целевой функции  исходной задачи, а левая – определяет стоимость ресурса на производство единицы продукции (каждое ограничение соответствует определенному виду продукции).

Есть еще  и прямые ограничения: y₁, y₂, y₃ ≥ 0.

Подставим Х  в систему (2):

1*95+0*210+2*0+1*0 = 95 < 180

 0*95+1*210+3*0+2*0 = 210 = 210;                        (3)

 4*95 + 2*210 + 0*0 + 4*0 = 800 = 800.

Запасы сырья  используются не полностью (95 < 180), поэтому  имеют нулевую двойственную оценку.

Согласно  II теореме двойственности:

.

Подставим значения:

y₁ *( 1*95 + 0*210 + 2*0 + 1*0 -180) = 0;

y₂ *( 0*95 + 1*210 + 3*0 + 2*0 – 210) = 0;              (4)

y₃ *( 4*95 + 2*210 + 0*0 + 4*0 – 800) = 0.

Так как для (строгое неравенство), то у1 = 0. (1-й вид ресурса недефицитен).

 Согласно II ТД: , следовательно:

х₁*(1* y₁ + 0* y₂ + 4* y₃ - 9) = 0;

х₂*(0* y₁ + 1* y₂ + 2* y₃  - 6) = 0;

 х₃*(2* y₁ + 3* y₂ + 0* y₃  - 4) = 0;              (5)

х₄*(1* y₁ + 2* y₂ + 4* y₃ – 7) = 0.

 

Так как для i = 1 и j = 2 соответственно х₁> 0 и х₂> 0, то в системе (2) для соответствующих строк имеем: 

y₁ = 0                                                                     

1* y₁ + 0* y₂ + 4* y₃ = 9                                        (6)

0* y₁ + 1* y₂ + 2* y₃ = 6    

 

y₁ = 0

y₂ = 3/2

y₃ = 9/4

 

Z(у) = 180* y₁ + 210* y₂ + 800* y₃ = 2115;

F(х) = 9*95 + 6*210 + 4*0 + 7*0 = 2115.

Т. к. f*(у) =f(х), то согласно I ТД:

План    Х – оптимален

            У – оптимален.

 

Рассчитаем  значение целевой функции двойственной задачи:

min (180y₁ + 210y₂ + 800y₃)=180*0+210*1,5+800*2,25=2115

3. Условием не дефицитности i-го ресурса является: , тогда его оценка   (y) = 0. Так как y₁ = 0, то i вид ресурса недефицитен. Тогда II и III виды ресурсов дефицитны, причем острее чувствуется дефицитность III вида (y₃ > y₂).

4. Для у > 0 имеем:

Тогда, зная у и изменения запасов ресурсов, можно определить изменение общей  стоимости продукции:

 

Найдем первый план, пересчитав систему (1) для дефицитных ресурсов:

0* х₁+ 1* х₂+ 3* х₃+2* х₄= 210+120;

4* х₁+ 2* х₂+ 0* х₃+ 4* х₄= 800+160.

Для получения  оптимального плана воспользуемся  средствами  MS Excel, а именно Поиском решений.

Так как х₃= 0 и х₄=0, то х₂=330 и х₁=75.

Имеем новую  производственную программу: Х = (75;330;0;0).

5. Отчет по устойчивости

Ячейки переменных
			Окончательное	Приведенн.
	Ячейка	Имя	Значение	Градиент
	$B$18	X1	75	0
	$C$18	X2	330	0
	$D$18	X3	0	-0,499999402
	$E$18	X4	0	-4,999999217
Ограничения
			Окончательное	Лагранжа
	Ячейка	Имя	Значение	Множитель
	$F$23	Левая часть	75	0
	$F$24	Левая часть	330	1,499999844
	$F$25	Левая часть	960	2,250000054