Контрольная работа по "Экономике"

 

Таким образом, модель Брауна с коэффициентом сглаживания  α =0,4 построена.

3.2 Рассмотрим второе заданное в условии значение коэффициента сглаживания α=0,7 →β=1-α=0,3.

Выполнив аналогичные  расчеты, заполним таблицу.

		Построение модели Брауна (α =0,7)
t	yt	at	bt	y(t)	e(t)
		0,80	2,80
1	3	3,05	2,51	3,60	-0,60
2	7	6,87	3,21	5,56	1,44
3	10	10,01	3,17	10,08	-0,08
4	11	11,20	2,10	13,18	-2,18
5	15	14,85	2,94	13,30	1,70
6	17	17,07	2,55	17,78	-0,78
7	21	20,88	3,23	19,62	1,38
8	25	24,92	3,67	24,10	0,90
9	23	23,50	0,93	28,59	-5,59

Таким образом, модель Брауна с коэффициентом сглаживания  α =0,7 построена.

Для выбора лучшего значения параметра сглаживания α рассмотрим столбцы ошибок e_t и определим для них средние квадратические отклонения (функция СТАНДОТКЛОН).

При α=0,4 найдем S(e) = 1,92; при α=0,7 получим S(e) = 2,32. Сравнение показывает, что 1,92<2,32, следовательно, лучшим является параметр сглаживания α=0,4 (первая модель).

 

4. Оценить адекватность  построенных моделей, используя  свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения.

 

4.1 Рассмотрим построенную модель

Проверка указанных  сывойств состоит в исследовании Ряда остатков e_t, который содержится в таблице "Вывод остатка" итогов РЕГРЕССИИ.

ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки
1	3,866667	-0,866667
2	6,566667	0,4333333
3	9,266667	0,7333333
4	11,96667	-0,966667
5	14,66667	0,3333333
6	17,36667	-0,366667
7	20,06667	0,9333333
8	22,76667	2,2333333
9	25,46667	-2,466667

 

4.1.1 Для проверки свойств независимости остаточной компоненты используем критерий Дарбина-Уотсона.

Согласно этому критерию вычислим по формуле статистику

 

 

 

 

 

 

 

Подготовим для вычислений

14,6 (функция СУММКВ),     32,32

 

(функция СУММКВРАЗН).

Таким образом,

Так как d>2, вычислим d'=4-d=4-2,21=1,79

По таблице d-статистик Дарбина-Уотсона определим критические уровни: нижний d₁ = 0,82 и верхний d₂ = 1,32.

Сравним полученную фактическую  величину d с критическими уровнями d₁ и d₂ и сделаем вывод согласно схеме:

  Не вып   Доп  пров   вып   вспом d'=4-d

0             d1                d2      2                       4    d

, следовательно, свойство независимости  остатков для построенной модели  выполняется.

 

4.1.2 Для проверки  свойства случайности остаточной компоненты используется критерий поворотных точек для ряда остатков. С помощью мастера диаграмм построим график остатков e_t

 

Поворотными считаются  точки максимумов и минимумов  на этом графике (в данном случае – третья, четвертая, пятая, шестая и восьмая). Их количество p=5.

По формуле 

 при n=9 вычислим критическое значение p_кр = [2.45]=2

Сравним значения р и  р_кр и сделаем вывод согласно схеме:

        Не вып                              вып

0                          р_кр                                      р

р=5>р_кр=2, следовательно, свойство случайности для ряда остатков выполняется.

4.1.3 Для проверки  соответствия ряда остатков нормальному  закону распределения используем R/S критерий.

В соответствии с этим критерием вычислим по формуле  статистику

Подготовим для вычислений:

e_max = 2.33 – максимальный уровень ряда остатков (функция МАКС);

e_max = =-2,47 – Минимальный уровень ряда остатков (функция МИН);

S(e) = 1,44 – стандартная ошибка модели (таблица "Регрессионная статистика" вывода итогов РЕГРЕССИИ).

Получим

Сопоставим фактическую  величину R/S с критическим интервалом (2,7; 3,7) и сделаем вывод согласно схеме:

  Не вып                        вып                   не вып

                        критич. интервал                                 R/S

значит для построенной модели свойство нормального распределения  остаточной компоненты выполняется.

Проведенная проверка показывает, что для линейной модели выполняются все свойства. Таким образом, данная трендовая модель является адекватной реальному ряду наблюдений и ее можно использовать для построения прогнозных оценок.

 

4.2 Для проверки адекватности  лучшей из моделей Брауна (α=0,4) выполним в Excel аналогичные расчеты:

1. Свойство  независимости
суммкв(е) =		30,141		d=	1,86
суммквразн(е) =		55,946
Ряд остатков	1,86	Не коррелирован			d2=1,32<d

 

 

2. Свойство  случайности

график остатков

Поворотные  точки 2-я, 4-я, 5-я, 6-я, 8-я; их количество р=5

3. Свойство  нормального распределения

Emin =

-4,57

Emax =

1,52

R/S =

3,2

S(e) =

1,9172

(функция СТАНДОТКЛОН)

 

В соответствии со схемой проверки критерия Дарбина-Уотсона сравним следовательно, свойство независимости остатков для модели Брауна выполняется.

В соответствии со схемой проверки критерия поворотных точек  р=5>р_кр=2, следовательно, свойство случайности для ряда остатков модели Брауна выполняется.

В соответствии со схемой проверки R/S критерия значит для построенной модели Брауна свойство нормального распределения остаточной компоненты выполняется.

Таким образом, для модели Брауна с коэффициентом сглаживания  α=0,4 выполняются все свойства, данная модель является адекватной реальному ряду наблюдений, ее можно использовать для построения прогнозных оценок.

 

5. Оцените точность  моделей на основе использования  средней относительной ошибки аппроксимации.

5.1 Для вычисления средней относительной ошибки аппроксимации линейной модели рассмотрим ряд остатков e_t. Дополним таблицу "Вывод остатка" столбцом относительных погрешностей, которые вычислим по формуле с помощью функции ABS

 

ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки	Отн.погр-ти
1	3,866667	-0,866667	22,4137931
2	6,566667	0,4333333	6,59898477
3	9,266667	0,7333333	7,91366906
4	11,96667	-0,966667	8,07799443
5	14,66667	0,3333333	2,27272727
6	17,36667	-0,366667	2,11132438
7	20,06667	0,9333333	4,65116279
8	22,76667	2,2333333	9,80966325
9	25,46667	-2,466667	9,68586387
Среднее			8,17057588

По столбцу относительных  погрешностей найдем среднее значение

Для оценки точности модели используем схему:

точная        удовлетв              неудовлетв

0             5%                     15%                                    Е_отн

линейная модель удовлетворительная.

 

5.2 Используем столбец ошибок е_t для модели Брауна с параметром сглаживания α=0,4; рассчитаем относительные погрешности и найдем среднее значение

t	yt	at	bt	y(t)	e(t)	отн.погр-ть
		0,80	2,80
1	3	3,22	2,70	3,60	-0,60	20,000000
2	7	6,61	2,88	5,92	1,08	15,428571
3	10	9,82	2,96	9,49	0,51	5,120000
4	11	11,64	2,67	12,77	-1,77	16,130909
5	15	14,75	2,78	14,31	0,69	4,576000
6	17	17,19	2,70	17,54	-0,54	3,161976
7	21	20,60	2,88	19,89	1,11	5,275490
8	25	24,45	3,12	23,48	1,52	6,091745
9	23	24,65	2,39	27,57	-4,57	19,875232
10				27,03
11				29,42
				S(e) =	1,917	10,628880