Контрольная работа по "Экономике"

 

Рассмотрим оптимальное  решение прямой задачи х^*₁=80, х^*₂=0, х^*₃=0, х^*₄=10.

Компоненты оптимального решения  основной задачи х^*₁=80 и х^*₄=10 положительны, следовательно, продукция A и D рентабельны, их следует производить в указанном количестве. Непроизводительных затрат нет, так как выполняется равенство . Действительно:

Значит изготовление 1 ед. продукции B будет снижать оптимальный план на 3 ден. ед.

Значит изготовление 1 ед. продукции C будет снижать оптимальный план на 17/15 ден. ед.

 

Величина непроизводительных затрат приведена в отчете по устойчивости в столбце "Нормир. Стоимость" Для рентабельных видов продукции она равна нулю. Для нерентабельных величина нормированной стоимости показывает, на сколько изменится значение целевой функции в случае принудительного включения единицы этой продукции в оптимальное решение.

В столбцах "Допустимое уменьшение" и "Допустимое увеличение" первой таблицы показаны предельные значения приращений целевых коэффициентов, при которых сохраняется найденное оптимальное решение.

Так, допустимое увеличение цены на нерентабельную продукцию B вида равно 3, а допустимое уменьшение практически неограниченно (строка 2 в таблице). Это значит, что если цена на продукцию А вырастет более чем на 3 ден. ед./шт., то оптимальное решение изменится: выпуск данного вида продукции станет целесообразным. Если цена будет снижаться вплоть до нуля, то оптимальное решение (80; 0; 0; 10) останется прежним (продукция B нерентабельна).

Так же для продукции С.

Допустимое увеличение цены на нерентабельную продукцию С вида равно 1,133 а допустимое уменьшение практически неограниченно (строка 3 в таблице). Это значит, что если цена на продукцию С вырастет более чем на 1,133 ден. ед./шт., то оптимальное решение изменится: выпуск данного вида продукции станет целесообразным. Если цена будет снижаться вплоть до нуля, то оптимальное решение (80; 0; 0; 10) останется прежним (продукция С нерентабельна).

 

Аналогично, если цена рентабельной продукции A уменьшится на 1.5 ден. ед. или цена продукции D уменьшится на 2.43 ден. ед., то оптимальный план производства изменится: выпуск этих видов продукции станет нецелесообразным.

 

4. На основе двойственных  оценок и теорем двойственности  провести экономический анализ решения задачи.

 

4.1. Проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи.

 

Рассмотрим оптимальное  решение двойственной задачи . Нулевая компонента y^*₁ указывает, что ресурс I недефицитный, он используется не полностью. По теореме о дополняющей нежесткости выполняется неравенство , излишки этого ресурса составляют

 ед.

Увеличение ресурса I не повлияет на величину общей выручки. Ненулевые значения означают, что ресурсы II и III являются дефицитными, они полностью используются в оптимальном плане и таким образом сдерживают рост функции цели. Действительно, по теореме дополняющей нежесткости выполняются равенства

:

, следовательно, ресурс III является более дефицитным, чем ресурс II, его двойственная оценка выше. Каждая дополнительная единица ресурса II, введенная в производство увеличивает выручку на 7/15 ден. ед., а каждая дополнительная единица ресурса III – на 34/15 ден. ед.

Относительная заменяемость ресурсов II и III

y^*₂ : y^*₃ = 7/15:34/15=7/34, т.е. 7 дополнительная единица ресурса III в плане получения выручки равноценны 34 дополнительным единицам ресурса II.

Во второй таблице "Отчета по устойчивости" содержится информация, относящаяся к ограничениям: "Результ. Значение" – затраты соответствующего ресурса по оптимальному плану; "Ограничения правая часть" – запасы ресурсов.

Сравнивая эти величины, можно оценить  дефицитность ресурсов и рассчитать излишки недефицитных ресурсов.

 

4.2. Определим, как изменится выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I вида на 8 ед., II вида на 10 ед. и уменьшении ресурса III вида на 5 ед.

 

Анализ чувствительности решения к изменению запасов сырья проведем с помощью отчета по устойчивости.

В столбцах "Допустимое увеличение" и "Допустимое уменьшение" второй таблицы показано, на сколько  можно уменьшить (устранить излишки  запасов) или увеличить (повысить минимально необходимое количество) ресурс, сохраняя при этом оптимальное решение двойственной задачи. Анализ использования ресурсов в оптимальном плане показал, что существуют причины (ограничения), не позволяющие предприятию выпускать больше продукции, чем в оптимальном решении, и получать более высокую выручку. Такими ограничениями являются дефицитные ресурсы II и III.

По условию задачи запас  ресурса II предполагается увеличить на 10 ед., что соответствует значению Δb₂ = +10. Это изменение входить в интервал устойчивости (для запасов ресурса II допустимое увеличение равно

Δb₂ = +150, Допустимое уменьшение Δb₂ = -75), значит можно применить теорему об оценках ΔF_max = y^*_i∙b_i:

ΔF_max = 7/15∙10=+70/15

Таким образом, при увеличении ресурса II на 10 ед. выручка увеличится на 70/15 ден. ед.

Аналогично при уменьшении ресурса III на 5 ед. выручка уменьшится на ΔF_max = 34/15∙(-5)=-170/15

ΔF(x)= 70/15-170/15 = -100/15 ден.ед.

 

Для определения новой  производственной программы воспользуемся  надстройкой "Поиск решения, изменив  в системе ограничений величину запаса сырья II и III

х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0, х₃ ≥ 0, х₄ ≥ 0.

 

В результате решения найдем новый оптимальный план: х^*₁=76.67, х^*₂=0, х^*₃=0, х^*₄=11,67. При этом f(X^*)=453.33

Таким образом, максимальная выручка  уменьшится и составит 453.33 ден. ед., что объясняется изменением производственной программы. При новых запасах ресурсов целесообразно производить 76,67 ед. продукции А и 11,67 ед продукции D. Продукцию B и C производить по-прежнему нерентабельно.

 

4.3. Определим целесообразность  включения в план изделия четвертого вида.

 

Рассчитаем критерий эффективности  включения в производство нового изделия.

.:

Δ=10-(2∙0+2∙7/15+2∙34/15)=10-82/15=68/15>0,

Следовательно, производство этого  вида продукции выгодно. Производство этого вида продукции станет рентабельным, если выручка от реализации составит не менее 83/15 ден. ед.

 

 

 

 

Задача 4

 

 

          Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного ряда.

Условия:

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в таблице:

 

Номер варианта	Номер наблюдения ( t=1, 2, …,9)
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
3	3	7	10	11	15	17	21	25	23

 

          Требуется:

• Проверить наличие аномальных наблюдений.
• Построить линейную модель Ý(t) = a₀+ a₁t, параметры которой оценить МНК (Ý(t)) – расчетные, смоделированные значения временного ряда).
• Построить адаптивную модель Брауна Ý(t) = a₀+ a₁k с параметрами сглаживания α=0,4 и α=0,7, выбрать лучшее значение параметра сглаживания.
• Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S- критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).
• Оценить точность моделей  на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
• По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р=70%).
• Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления  провести с одним знаком в дробной  части. Основные и промежуточные  результаты вычислений представить  в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями)

 

 

Решение:

 

1. Проверим  наличие аномальных наблюдений.

 

Используем метод Ирвина, основанный на определении λ_t – статистик по формуле

 

 

где S_y – выборочное среднее квадратичное (стандартное) отклонение признака Y.

Подготовим S_y = 7,22 (функция СТАНДОТКЛОН). Для каждого наблюдения рассчитаем λ_t – статистики. Результаты расчетов приведем в таблице:

t	Y(t)	λ
1	3
2	7	0,532
3	10	0,399
4	11	0,133
5	15	0,532
6	17	0,266
7	21	0,532
8	25	0,532
9	23	0,266

Критическое значение λ_кр при n=9 и уровне значимости a=5% можно использовать λ_кр = 1,5.

Т.к. таких значений нет, то аномальных наблюдений нет

Схема проверки:

не аном                 аном

                                            λ

0        λ_кр                      

Будем использовать исходный ряд для выполнения следующих  пунктов задачи.

 

2. Построим линейную модель временного ряда ,параметры которой оценим МНК.

 

Для построения линейной модели используем программу РЕГРЕССИЯ (надстройка Анализ данных). В качестве "входного интервала Х" покажем значения фактора времени t, в качестве "входного интервала Y" – значения y_t

 

 

Коэффициенты модели содержатся в третьей таблице итогов РЕГРЕССИИ (столбец "Коэффициенты")

	Коэффициенты
Y-пересечение	1,166667
t	2,7

Таким образом, а=1,17; b=2,7.

Модель построена, ее уравнение имеет вид 

Коэффициент регрессии b=2,7 показывает, что с каждым годом спрос на кредитные ресурсы растет на 2,7 млн. руб.

 

3. Построить  адаптивную модель Брауна  , с параметры сглаживания α=0,4 и α=0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания α.

 

Для проведения вычислений по формуле Брауна подготовим таблицу.

		Построение модели Брауна
t	yt	at	bt	y(t)	e(t)
…	…	…	…	…	…

Расчет коэффициентов  а₁, b₁ требует предварительной оценки а₀, b₀ для предыдущего периода. В этом качестве используют коэффициенты вспомогательной линейной модели , построенной по первым пяти уровням ряда y_t.

С помощью "анализ данных/РЕГРЕССИЯ" найдем

	Коэффициенты
Y-пересечение	0,80
t	2,80

 

Примем а₀ = а = 0,80, b₀ = b = 2,80, занесем эти значения в нулевой уровень соответствующих столбцов основной расчетной таблицы и перейдем к построению собственно модели Брауна согласно формулам:

3.1 Согласно условию задачи коэффициент сглаживания α=0,4 →β=1-α=0,6. По основной формуле Брауна, приняв t=0, k=1, рассчитаем начальные значения

Теперь перейдем к t=1 и уточним коэффициенты модели

Ошибка расчета 

По основной формуле  Брауна при t=1, k=1, рассчитаем начальные  значения

Перейдем к t=2 и уточним коэффициенты модели

Ошибка расчета 

По основной формуле  Брауна при t=2, k=1, получим

и т.д. для t=3,4,…,9. Максимальное значение t для которых могут быть рассчитаны коэффициенты а_t и b_t, определяется количеством исходных данных и равно 9.

Результаты вычислений приведены в основной расчетной  таблице.

		Построение модели Брауна (α =0,4)
t	yt	at	bt	y(t)	e(t)
		0,80	2,80
1	3	3,22	2,70	3,60	-0,60
2	7	6,61	2,88	5,92	1,08
3	10	9,82	2,96	9,49	0,51
4	11	11,64	2,67	12,77	-1,77
5	15	14,75	2,78	14,31	0,69
6	17	17,19	2,70	17,54	-0,54
7	21	20,60	2,88	19,89	1,11
8	25	24,45	3,12	23,48	1,52
9	23	24,65	2,39	27,57	-4,57