Контрольная работа по "Экономике"

Содержание

 

 

Задача 1

 

Некоторая фирма выпускает два  набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входят 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный – 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется по меньшей мере 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. Ед., а улучшенный – 4 ден. ед. Какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?

 

Решение:

 

1. Составим экономико-математическую модель задачи.

 

Обозначим х₁ – количество обычного набора удобрений, а х₂ – количество улучшенного набора, которое требуется купить.

По смыслу переменные не отрицательны: х₁≥0, х₂≥0.

Количество удобрений:

3х₁+2х₂ – азотных удобрений,

4х₁+6х₂ – фосфорных удобрений,

х₁+3х₂ – калийных удобрений.

 

Учитывая установленные ограничения  и необходимое количество удобрений получим систему неравенств:

 

Общие затраты должны быть минимальными:

F(x) = 3*x₁ + 4*x₂ → min.

Итак, экономико-математическая модель задачи получена.

Составить суточный план выпуска Х(х₁, х₂), стоимость которого максимальна

и выполнены ограничения:

х₁≥0, х₂≥0.

 

2. Для решения задачи  используем графический метод.

 

2.1. Построим область  допустимых решений.

 

Неравенства х₁≥0, х₂≥0 задают первую координатную четверть в плоскости Ох₁х₂.

Определим, какую часть плоскости  описывает неравенство 3х₁+2х₂≥10.

Для этого:

• Построим прямую L₁: 3х₁+2х₂=10. Она проходит через точки (0; 5) и (10/3;0).
• Определим, какая полуплоскость удовлетворяет неравенству - выбираем любую точку на плоскости, не принадлежащую прямой, и подставляем ее координаты в неравенство. Если неравенство будет выполняться, то данная точка является допустимым решением и полуплоскость, содержащая точку, тоже удовлетворяет неравенству. Для подстановки в неравенство удобно использовать начало координат. Подставим х₁ = х₂ = 0 в неравенство 3х₁+2х₂=10. Получим 3∙0+2∙0≥10. Данное утверждение является неверным, следовательно, неравенству 3х₁+2х₂≥10 соответствует верхняя полуплоскость, не содержащая точку (0, 0).

Рассуждая аналогично, построим полуплоскость, определяемую неравенством 4х₁ +6х₂ ≥ 20. Строим прямую L₂, проходящую через точки (0; 10/3) и (5; 0). Так как 4∙0+6∙0<20, то неравенству 4х₁ + 6х₂ ≥ 20 соответствует верхняя полуплоскость, не содержащая точку (0, 0).

Неравенство х₁ + 3х₂ ≥ 7 определяет полуплоскость, ограниченную прямой L₃: х₁ + 3х₂ = 7, которая проходит через точки (0, 7/3) и (7, 0). Так как

1∙0+3∙0 ≥ 7 неверно, то неравенству х₁ + 3х₂ ≥ 7 соответствует верхняя полуплоскость, не содержащая начало координат.

Допустимая область - многоугольник ABCD, открытый сверху

 

  А

    B

        C

 

   D

 

 

2.2. Построим вектор целевой функции (градиент, вектор нормали). Координты конца вектора определяются коэффициентами функции цели, при этом начало вектора находится в точке (0, 0): .

 

2.3. Построим линию  уровня целевой функции. Для этого приравняем целевую функцию к постоянной величине a: 3х₁ + 4х₂ = а. Пусть для удобства а=0, тогда уравнение линии нулевого уровня Lo: 3х₁ + 4х₂ = 0 и она проходит через точки (0, 0) и (-4; 3). Если построение выполнено правильно, то линии уровня целевой функции и градиент перпендикулярны.

 

2.4. Определим оптимальное  решение задачи.

Для решения задачи на минимум переместим линию нулевого уровня Lo параллельно самой себе в направлении, противоположном вектору до точки выхода из допустимой области, таким образом, найдем разрешающую точку В.

Найдем  координаты точки B, являющейся пересечением прямых

3х₁ + 2х₂ = 10

4х₁ + 6х₂ = 20

 

Получим:

Х₁=2, Х₂ = 2.

При этих значениях затраты будут  наименьшими.

Значение целевой функции в  этой точке равно F_min(x) = 3∙2 + 4∙2 = 14

При решении задачи на максимум переместим линию нулевого уровня в направлении вектора до точки выхода из допустимой области. Так как область не ограничена сверху, оптимального решения не существует

 

Задача 2

 

 

Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

 

Тип сырья	Нормы расхода сырья  на ед. продукции				Запасы сырья
	А	Б	В	Г
I	2	1	3	2	200
II	1	2	4	8	160
III	2	4	1	1	170
Цена изделия	5	7	3	6

 

Требуется:

 

1. сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2. сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теоремы двойственности;
3. пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане;
4. на основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

проанализировать использование  ресурсов в оптимальном плане  исходной задачи;

определить, как изменится выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и II вида на 8 и 10 ед. соответственно и уменьшении на 5 ед. запасов сырья III вида;

оценить целесообразность включения  в план изделия Д ценой 10 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

 

Решение:

 

1. Сформулировать прямую  оптимизационную задачу на максимум  выручки от реализации продукции,  получить оптимальный план выпуска продукции.

 

1.1. Построим математическую  модель прямой задачи.

 

Введем управляющие 

х₁ - объем производства продукции А,

х₂ – объем производства продукции B,

х₃ – объем производства продукции C.

х₄ – объем производства продукции D.

Построим функцию цели. Если реализовать  х₁ продукции А по цене 5 ден. ед., то выручка составит 5х₁ ден. ед. Аналогично для других видов продукции. Следовательно, целевую функцию (выручка предприятия) можно записать в виде:

Исходя из требования максимизации выручки:

Построим систему ограничений. Так как расход ресурсов не может превышать запасов, которым располагает предприятие, получим систему неравенств:

По смыслу задачи ясно, что переменные могут принимать лишь неотрицательные значения, т.е.

х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0, х₃ ≥ 0, х₄ ≥ 0.

Теперь можно сформулировать математическую модель задачи:

Найти неизвестные  Х(х₁, х₂, х₃, х₄)

при которых 

и выполняются ограничения

х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0, х₃ ≥ 0, х₄ ≥ 0.

 

1.2. Решим задачу с  помощью настройки Поиск решения в среде MS Excel.

 

На листе Excel обозначим искомые  переменные х₁, х₂, х₃, х₄ и зарезервируем ячейки для их значений (изменяемые ячейки), оставим эти ячейки пустыми.

Обозначим целевую функцию F, введем в отдельные ячейки ее коэффициенты c₁, c₂, c₃, с₄, а в свободную ячейку (целевая ячейка) – формулу для вычисления значения этой функции (функция СУММПРОИЗВ со ссылкой на ячейки значений коэффициентов и переменных).

Для каждого ограничения задачи заполним коэффициенты левых частей неравенств a_ij, в свободные ячейки введем формулы для вычисления их значений (СУММПРОИЗВ), укажем знак неравенства (<=, >=, или =) и величину его правой части b_i.

Вызовем программу Поиск решения  и укажем данные для расчета.

 
 Чтобы не вводить для каждой переменной смысловые ограничения х_j≥0 можно воспользоваться окном "Параметры" поиска решений, выделив

Получим:

	переменные
	х1	х2	х3	х4
	80	0	0	10
коэффициенты	5	7	3	6		460
	Ограничения
	Расход ресурсов				лев.часть	знак	прав.часть
Сырье 1	2	1	3	2	180	<=	200
Сырье 2	1	2	4	8	160	<=	160
Сырье 3	2	4	1	1	170	<=	170

 

В результате решения  задачи найдем оптимальный план х^*₁=80, х^*₂=0, х^*₃=0, х^*₄=10. При этом f(X^*)=460.

Таким образом, максимальная выручка составит 460 ден. ед. и будет получена при выпуске 80 ед. продукции A, 10 ед. продукции D. Продукцию B и C выпускать нецелесообразно.

 

1.3. Для последующего экономического  анализа сформируем "Отчет по устойчивости":

 

Изменяемые ячейки
			Результ.	Нормир.	Целевой	Допустимое	Допустимое
	Ячейка	Имя	значение	стоимость	Коэффициент	Увеличение	Уменьшение
	$B$3	х1	80	0	5	7	1,5
	$C$3	х2	0	-3	7	3	1E+30
	$D$3	х3	0	-1,1333334	3	1,13333334	1E+30
	$E$3	х4	10	0	6	34	2,428571429
Ограничения
			Результ.	Теневая	Ограничение	Допустимое	Допустимое
	Ячейка	Имя	значение	Цена	Правая часть	Увеличение	Уменьшение
	$F$8	Сырье 1 лев.часть	180	0	200	1E+30	20
	$F$9	Сырье 2 лев.часть	160	0,46666667	160	150	75
	$F$10	Сырье 3 лев.часть	170	2,26666667	170	21,4285714	150

 

Оптимальное значение переменных Х(х₁, х₂, х₃, х₄) приведены в столбце "Результ. Значение" первой таблицы.

 

2. Сформулировать двойственную  задачу и найти ее оптимальный  план с помощью теорем двойственности.

 

2.1. Применим правила построения модели двойственной задачи:

 

1. Число переменных в двойственной  задаче равно числу ограничений  исходной задачи – 3. Введем  обозначения y_i, i=1,…3 – двойственные оценки каждого вида ресурса. Все переменные  y₁, y₂, y₃, – неотрицательны.

2. Коэффициенты при неизвестных  в целевой функции двойственной  задачи являются свободные члены  системы ограничений прямой задачи (200, 160, 170); g(Y) = 200y₁+160y₂+170y₃.

3. Прямая задача – на максимум, следовательно, двойственная к  ней – на минимум.

g(Y) → min.

4. Число ограничений в двойственной  задаче равно числу переменных  в прямой – 4.

5. В прямой задаче все неравенства  в системе ограничений имеют  вид "≤", следовательно, в  двойственной задаче – вид  "≥".

6. Матрицы ограничений исходной  и двойственной задач являются транспонированными друг к другу:

7. Правыми частями в ограничениях  двойственной задачи являются  коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задачи

Учитывая эти правила, запишем модель двойственной задачи:

Найти неизвестные Y=( y₁, y₂, y₃),

при которых g(Y) = 200y₁+160y₂+170y₃→min

и выполняются ограничения

 

2.2. Найдем решение  двойственной задачи с использованием теорем двойственности при оптимальных значениях х^*₁=80, х^*₂=0, х^*₃=0, х^*₄=10.

Согласно основной теореме двойственности минимальное значение g_min существует, причем g_min = f_max = 460.

Проанализируем соотношения  теоремы о дополняющей нежесткости:

Учитывая, что y^*₁=0, получим:

Для проверки вычислим значение целевой функции двойственной задачи:

g(Y) = 200∙0+160∙7/15+170∙34/15=460

Как и должно быть в соответствии с основной теоремой двойственности, экстремальные значения целевых функций прямой и двойственной задач совпадают, значит, оптимальный план двойственной задачи найден верно.

Итак, оптимальный план двойственной задачи

.

Оптимальные значения двойственных переменных приведены в "Отчете по устойчивости" в столбце "Теневая цена" второй таблицы.

 

3. Пояснить нулевые  значения переменных в оптимальном  плане.