Контрольная по экономико-математическим-методам и моделям

     S = х1 + 2х2.

     Размер  необходимого кредита определяется, исходя из потребности в трудовых ресурсах S и почасовой ставки оплаты труда t, т.е.

     V = tS = t (х1 + 2х2).

     Выручка от реализации произведенной продукции:

     Z= 796x1 + 840x2.

     Сумма расходов по обслуживанию кредита определяется размером возвращаемого кредита и процентов по нему, т.е. равна

     V +((40 % / 12) * (3 / 100%)) * V = V + 0,1 * V = 1,1V.

     Прибыль предприятия определяется как разность между выручкой и расходами по обслуживанию кредита, т.е.

     P = Z – 1,1 V.

     Подставляя  в эту формулу выражения для Z иV, получим:

     Р = 796x1 + 840x2 – 1,1t (х1 + 2х2) = (796 – 1,1t) x1 + (840 – 2,2t) x2

     Значит, математическая модель оптимизации  выпуска продукции с привлечением кредитных ресурсов для оплаты труда  рабочих принимает следующий вид:

     Найти неизвестные значения объемов выпуска х1, х2, удовлетворяющих ограничениям

     2x1 + 2x2≤ 920;

     3х1 + 5х2≤ 1500;

     х1 ≥ 0, х2 ≥ 0,

     и доставляющих максимальное значение целевой  функции 

     Р = (796 – 1,1t) x1 + (840 – 2,2t) x2 -> max.

     При этом необходимый размер кредита V определяется по формуле:

     V = tS = tх1* + 2tх2*

     где x1* и x2* - оптимальное решение задачи.

     2. При фиксированной ставке оплаты  труда t=10 руб./чел.-час, данная модель примет вид:

     2x1 + 2x2≤ 920;

     3х1 + 5х2≤ 1500;

     х1 ≥ 0, х2 ≥ 0,

     Р = 785 x1 + 818 x2 -> max.

     Решим данную задачу графическим методом:

     На  графике видно, что оптимальному решению соответствует точка  А, образованная пересечением прямых: 2x1 + 2x2 = 920, 3х1 + 5х2 = 1500.

     Решая данную систему получим х1 = 400, х2 = 60, то есть оптимальный план выпуска – 400 единиц продукции А и 60 единиц продукции В.

     Максимальный  размер прибыли при этом равен:

     Р^* = 785 x1 + 818 x2 = 785 x 400 + 818 x 60 = 363080.

     Размер  необходимого кредита равен:

     V* = t (х1* + 2х2*) = 10 (400 + 2 х 60) = 5200.

     Сумма уплаченных процентов:

     0,1 * V^* = 5200 * 0,1 = 520 руб.

     Потребность в трудовых ресурсах:

     S^* = 400 + 2 х 60 = 520 чел.-час.

     3. При t = 50, целевая функция примет вид:

     Р = (796 – 1,1t) x1 + (840 – 2,2t) x2 = 741х1+730х2-> max.

     Найдём  графическим способом решение, при  этом значении целевой функции:

     В этом случае, решением будет точка  В.

     Её  координаты: х1 = 460, х2=0.

     Значение  Р, при этом равно:

     Р = 741 х 460 = 340860.

     Размер  необходимого кредита равен:

     V* = t (х1* + 2х2*) = 50 х 460 = 23000.

     Сумма уплаченных процентов:

     0,1 * V^* = 23000 * 0,1 = 2300 руб.

     Потребность в трудовых ресурсах:

     S^* = 460 чел.-час.

     Найдем  значение t*:

     (796 – 1,1t)/2 = (840 – 2,2t) / 2.

     Откуда  t* = 40.

     Из  проведённого выше графического анализа  следует, что при 10≤t<40, оптимальным решением является точка А, а при 40<t≤50, точка В, при t = 40, любая точка отрезка [АВ].

     Функция спроса на трудовые ресурсы:

     При 10≤t<40, спрос на трудовые ресурсы равен ранее найденной при t=10, величине спроса в точке А, то есть S*(t) = S*(10) = 520 чел.-час.

     При 40<t≤50, спрос на трудовые ресурсы равен ранее найденной при t=40, величине спроса в точке B, то есть S*(t) = S*(50) = 460 чел.-час.

     При t=40, спрос на трудовые ресурсы определён неоднозначно. В зависимости от того, какое оптимальное решение из отрезка [АВ] будет выбрано, он может принять любое значение из числового отрезка [460, 520], то есть  460 ≤ S*(t) ≤ 520.

     Зная  спрос на трудовые ресурсы, можно  определить величину необходимого кредита  V*(t) как функцию от ставки труда t, используя формулу V*(t) = tS*(t).

     При 10≤t<40, размер кредита V*(t) = tS*(t) = 520t.

     При 40<t≤50, размер кредита V*(t) = tS*(t) = 460t.

     При t=40, размер кредита определён неоднозначно. Так как спрос на трудовые ресурсы может принять любое значение из числового отрезка   [460, 520], размер кредита V*(30) = может быть любым числом из отрезка [460х40, 520х40] = [18400, 20800].

     Найдём  зависимость величины прибыли Р*(t), от ставки оплаты труда t, используя формулу:

     Р* = (796 – 1,1t) х1* + (840 – 2,2t) х2*.

     где (х1*, х2*) – оптимальное решение  задачи.

     При 10≤t<40, оптимальное значение точка А = (400, 60). Поэтому величина прибыли равна: Р* = (796 – 1,1t) x 400 + (840 – 2,2t) x 60 = =368800 – 572t.

     При 40<t≤50, оптимальное значение точка В  = (460, 0). Поэтому величина прибыли равна: Р* = (796 – 1,1t) x 460 = 366160 – 506t.

     При t=40, оптимальное решение задачи – любая точка отрезка [АВ]. Однако во всех точках этого отрезка величина прибыли одинакова и равна:

     Р (40) = 366160 – 506 х 40 = 345920. 

     Обобщим полученные результаты в таблице:

     График  спроса на трудовые ресурсы:

     

     График  максимальной прибыли:

     

 

     График  потребности в кредите:

     

 
 

 

     Задача  № 4 

     Фирма при производстве продукции использует два вида ресурсов: рабочую силу (L, тыс. чел.-час.) и оборудование (К, тыс. ст.-час). Производственная функция (ПФ) фирмы, построенная путем обработки статистических данных имеет вид: 

     Y = 4*L^0,5*К^0,5.

     где Y - объем выпуска  продукции (ед.).

     Требуется:

     1. Построить графики  ПФ при фиксированном  значении одной  из переменных: а)  К=315. б) L = 63

     2. Найти уравнения  изоквант ПФ и построить их графики для Y1=376. Y2=563, Y3=751.

     3. Известны объем  выпуска продукции  Y=563 и наличные трудовые ресурсы L = 63 в базовом периоде. Определить потребность в оборудовании в плановом периоде при увеличении объема выпуска продукции на 10%. если возможность увеличения трудовых ресурсов составляет не более 5%.

     4. Рабочая сила нанимается  по контракту с  почасовой оплатой  труда 450 (ден.сд./тыс. чел.-час), оборудование берется в аренду с суммарными затратами 90 (ден.ед./тыс. ст.-час). Объем капитала, который фирма может затратить на рабочую силу и оборудование, составляет 63000 (ден. ед.). Построить математическую модель задачи оптимизации выпуска продукции, считая, что производственная функция задана на множестве К≥0, L≥0 и найти графическим методом ее решение Определить предельную норму технологического замещения оборудования рабочей силой и предельную эффективность финансовых ресурсов в точке оптимума. 

     1. а) Пусть К = 315, тогда:

     Y = 4*L^0,5*315^0,5 = 71L^0,5.

     График  данной функции приведён на следующем рисунке: 

     

 

     а) Пусть L = 63, тогда:

     Y = 4*63^0,5*K^0,5  ≈ 32K^0,5.

     График  данной функции приведён на следующем  рисунке:

     

     2. Y = 4*L^0,5*К^0,5. Значит:

Y1=376,значит ;Y2=563,значит ; Y3=751,значит

     Графики изоквант приведены на следующем  рисунке:

     3. Y = 563, L = 63 в базовом периоде.

     При заданном увеличении на 10% объём продукции  составит:

     Y = 563 х 1,1 = 619.

     Используя уравнение изокванты имеем:

     

     Если  объём трудовых ресурсов не изменится, то потребность в оборудовании составит:

     

     Если  же объём трудовых ресурсов увеличится на 5% по отношению к базовому и  составит L = 1,05 * Lбаз = 1,05 х 63 = 66,15.

     Тогда потребность в оборудовании составит:

     

     Значит, при объёме трудовых ресурсов L принадлежит [L_баз, 1,05 х L_баз] потребность в оборудовании в плановом периоде составит некоторую величину [364; 382], определяемую соотношением:

     

     4. С = 90К + 450L.

     90К  + 450L ≤ 63000.

     К ≥ 0; L ≥ 0.

     Y = 4*L^0,5*К^0,5 -> max.

     Граничная прямая имеет координаты:

     90К  + 450L = 63000.

     

      или K = 5L.

     Подставляя  в уравнение граничной прямой получаем:

     L* = 70, K* = 350.

     Тогда соответствующий объём выпуска  равен:

     Y* = 4*70^0,5*350^0,5 = 626.

     То  есть фирма должна взять в аренду 450 тыс. ст.-час. оборудования и нанять по контракту 90 тыс. чел.-час. рабочей силы. Тогда будет выпущено максимальное количество продукции - 626 единиц.

     Норма технологического замещения равна:

     MRTS_KL=90/450 = 1/5.

     Предельная эффективность финансовых ресурсов равна:

     4L^0,5*К^-0,5 = 4*70^0,5*350^-0,5 = 1,78.