Контрольная по экономико-математическим-методам и моделям

     Задача  № 1 

     Для изготовления продукции  двух видов А и  Б предприятие  расходует ресурсы, а от реализации этой продукции получает доход. Информация о  нормах затрат ресурсов на единицу выпускаемой  продукции, запасах  расходуемых ресурсов, имеющихся в распоряжении предприятия, и выручки от реализации готовой продукции приведены в таблице.

      
                  Наименование      Норма затрат на              Объем

                    ресурсов         Продукт А    Продукт В ресурса

     Сырье (кг)       2                 1                 103

     Оборудование(ст. час.)       1                 4                 300

     Трудоресурсы(чел.час)       6                 1                 278

     Цена  реализации (руб.)      37                    57

     Задача  предприятия заключается  в том, чтобы разработать программу выпуска, обеспечивающую получение максимальной выручки от реализации готовой продукции.

     Требуется:

1. Построить математическую модель оптимизации выпуска продукции в форме задачи линейного программирования.
2. Используя графический метод решения задачи линейного программирования, найти оптимальную программу выпуска продукции и максимум ожидаемой выручки.
3. Составив задачу, двойственную к задаче оптимизации выпуска продукции, найти её оптимальное решение, используя условия "дополняющей нежесткости". Дать экономическую интерпретацию этого решения.

 

     1. Обозначим:

     х₁ – месячный объём выпуска продукции А,

     х₂ – месячный объём выпуска продукции В.

     Используя данные таблицы, получим:

     Расход  сырья равен 2х₁ + х₂.

     Затраты времени работы оборудования равен  х₁ + 4х₂.

     Затраты рабочего времени равен 6х₁ + х₂.

     Так как ежемесячный расход ресурсов не может превышать их максимально  возможный месячный размер, то имеем  ограничения:

     2х₁ + х₂  ≤ 103,

     х₁ + 4х₂  ≤ 300,

     6х₁ + х₂  ≤ 278.

     Причём, х₁ ≥ 0, х₂  ≥ 0.

     Если  обозначить функцию размера выручки через Z, то

     Z = 37х₁ + 57х_2,

     А основная цель предприятия выражается в том, чтобы 

     Z = 37х₁ + 57х₂ → max.

     То  есть математическая модель оптимизации  выпуска продукции может быть записана в следующем виде.

     Найти неизвестные значения переменных х₁ и х₂, удовлетворяющих ограничениям:

     2х₁ + х₂  ≤ 103,

     х₁ + 4х₂  ≤ 300,

     6х₁ + х₂  ≤ 278,

     х₁ ≥ 0, х₂  ≥ 0,

     и доставляющее максимальное значение целевой  функции

     Z = 37х₁ + 57х₂ → max. 

     2. Для изображения на плоскости множества точек, координаты которых удовлетворяют ограничениям модели, рассмотрим уравнения, получаемые из неравенств моделей заменой знака «≤» на знак «=».

     В результате получим три уравнения  прямых:

     2х₁ + х₂  = 103,

     х₁ + 4х₂  = 300,

     6х₁ + х₂  = 278.

     

     На  рисунке показаны построенные графики функций и другие дополнительные построения.

     Множество допустимых решений представлена зарисованным многоугольником.

     Вектор  – градиент целевой функции в  данном случае обозначен GradZ.

     На  рисунке видно, что перпендикуляр  к вектору градиента (точечная линия), свидетельствует о том, что максимальное значение функция Z принимает в точке пересечения прямых 2х₁ + х₂  = 103 и х₁ + 4х₂  = 300.

     Решая систему из этих двух уравнений, получим, что х1 = 16, х2 = 71.

     При этом значение функции Z = 37 х 16 + 57 х 71 = 4639.

     Полученное  решение означает, что предприятию  необходимо ежемесячно производить  16 единиц продукции А и 71 единицы продукции Б, что позволит получать ему максимальную месячную выручку в размере 4639 руб. 

     3. Наша исходная задача, с условиями:

     2х₁ + х₂  ≤ 103,

     х₁ + 4х₂  ≤ 300,

     6х₁ + х₂  ≤ 278,

     х₁ ≥ 0, х₂  ≥ 0,

     Z = 37х₁ + 57х₂ → max.

     является  прямой задачей.

     Условия двойственной задачи будут выглядит следующим образом.

     Найти неизвестные значения переменных u1, u2, u3, удовлетворяющих ограничениям:

     2u1 + u2 + 6u3 ≥ 37,

     u1 + 4u2 + u3 ≥ 57,

     u₁ ≥ 0, u₂  ≥ 0, u₃ ≥ 0,

     и доставляющих минимальное значение целевой функции:

     W = 103u1 + 300u2 + 278u3 → min. 

     Для данной задачи «условия дополняющей  нежёсткости» будут иметь вид:

     u1(103 - 2х₁ - х₂) = 0,                         x1(2u1 + u2 + 6u3 - 37) = 0,

     u2(300 - х₁ - 4х₂) = 0,                         x2(u1 + 4u2 + u3 - 57) = 0.

     u3(278 - 6х₁ - х₂) = 0,

     Подставляя  в них найденные значения х1 = 16, х2 = 71, получим:

     так как х1 = 16 ≠ 0, то 2u1 + u2 + 6u3 - 37 = 0;

     так как х2 = 71 ≠ 0, то u1 + 4u2 + u3 - 57 = 0;

     так как 278 - 6х₁ - х₂ = 278 – 6*16 – 71 = 278 – 167 = 111 ≠ 0, то u3=0.

                 Таким образом, получаем систему уравнений:

     2u1 + u2 + 6u3 = 37,

     u1 + 4u2 + u3 = 57,

     u3=0.

     Решая данную систему, находим оптимальные значения переменных двойственной задачи:

     u1 = 13, u2 = 11, u3 = 0.

     Оптимальное значение целевой функции двойственной задачи равно:

     W =  103 * 13 + 300 * 11 = 4639.

     То  есть Z=W=4639. 

     u1 = 13 означает, что при увеличении месячного размера используемого сырья с 103 (кг) до 103 + ∆s1 (кг) увеличение максимальной суммарной выручки составит u1 х ∆s1 = 13 х ∆s1 (руб.), а при уменьшении сырья на ∆s2 выручка уменьшится на u1 х ∆s2 = 13 х ∆s2 (руб.);

     u2 = 11 означает, означает, что при увеличении месячного фонда времени работы оборудования с 300 (ст.чел.) до 300 + ∆m1 (ст.час) увеличение максимальной суммарной выручки составит u2 х ∆m1 = 11х∆m1 (руб.), а при уменьшении сырья на ∆s2 выручка уменьшится на u1 х ∆m2 = 11 х ∆m2 (руб.);

     u3 = 0, означает, что ни увеличение ни уменьшение трудовых ресурсов (но не более чем на 111 (чел.-час) не приведёт к изменению оптимального значения суммарной выручки.

     Найденные значения позволяют сделать следующие  выводы:

     - предприятию выгодно приобретение  дополнительного сырья, если его рыночная цена не превышает 13 руб. за 1 кг.

     - предприятию выгодно задействовать  дополнительное оборудование, но  по стоимости не выше чем  11 руб. за  1 ст.-час.

     - предприятию целесообразно сократить  фонд рабочего времени трудовых  ресурсов на 111 чел.-час.

 

      Задача № 3 

     Малое предприятие намерено организовать в следующем  квартале выпуск новой  продукции А и  Б, пользующейся высоким  спросом на рынке. Предприятие располагает  необходимым сырьем и оборудованием  и может привлечь квалифицированных  рабочих на условиях почасовой оплаты, но не имеет средств на оплату труда рабочих. Для этого оно может получить в банке кредит сроком на три месяца под 40% годовых с погашением кредита и процентов по нему в конце квартала.

     Информация  о нормах затрат сырья, оборудования и трудовых ресурсов, объемах сырья и парка оборудования, имеющихся в распоряжении предприятия, размер выручки от реализации продукции А и Б приведены в таблице.

      
             Наименование           Норма затрат на                Объем

     ресурсов            Продукт А      Продукт В      ресурса

     Сырье (кг)       2                    2                 920

     Оборудование(ст.час)       3                    5                         1500

     Трудоресурсы(чел.час.)       1                    2                    ?

     Цена  реализации (руб.)     796                     840

     Целью организации выпуска  новой продукции  является получение  максимальной суммарной  прибыли, которая  определяется как  разность между суммарной  выручкой, полученной от реализации произведенной  за квартал продукции А и Б, и затратами, связанными с обеспечением кредита (возврат суммы кредита и начисленных процентов). Требуется:

     1. Построить математическую  модель оптимизации  выпуска продукции  с использованием  кредита для выплаты  зарплаты рабочим  с произвольной  почасовой ставкой t (руб/чел.-час) оплаты труда.

     2. Определить оптимальную  программу выпуска  продукции, максимальную  прибыль, необходимый  размер кредита, сумму уплаченных процентов и потребность в трудовых ресурсах, если почасовая ставка t оплаты труда равна 10 руб/чел.-час.

     3. Найти функцию  спроса на трудовые  ресурсы, как функцию  почасовой ставки  оплаты труда t, построить график  этой функции.  Исследовать зависимость  размеров максимальной  прибыли и кредита,  обеспечивающего  её получение,  от почасовой ставки t оплаты труда в диапазоне от 10 до 50 рублей за чел.-ч. Найти функции, выражающие эти зависимости, и построить их графики. 

     1. Для построения модели введем  следующие обозначения:

     х1 - объем выпуска продукции А,

     х2 - объем выпуска продукции Б,

     S - потребность в трудовых ресурсах,

     t - почасовая ставка оплаты труда,

     V - размер кредита,

     Z - выручка от реализации произведенной  продукции,

     Р - прибыль предприятия.

     Выразим в математической форме основные условия и ограничения рассматриваемой задачи.

     Ограничения по использованию сырья:

     2x1 + 2x2≤ 920;

     Ограничения по использованию оборудования:

     3х1 + 5х2≤ 1500.

     Потребность в трудовых ресурсах S определяется необходимыми затратами труда для выпуска продукции в объемах х1 и х2: