Концептуальні аспекти математичного моделювання економіки

      Розглядаючи «павутиноподібну» модель, приймають  гіпотезу, що функції пропозиції і попиту залежать лише від ціни товару:

       , , (1.1)

де  — кількість товару, яку товаровиробники доставляють на ринок, тобто пропозиція; — деяка монотонно зростаюча функція; — кількість товару, який можна продати на ринку, тобто попит; — деяка монотонно спадна функція.

      Графіки попиту і пропозиції перетинаються  у точці рівноваги, а ціна, що відповідає цій точці , і є рівноважною ціною. Враховуючи властивості кривих попиту і пропозиції, рівноважний розв’язок є стійким у тому сенсі, що якщо ціна строго фіксована і рівна рівноважній ціні, то товаровиробник, максимізуючи прибуток, доставляє на ринок товар у кількості ; одночасно споживач, що намагається максимізувати свою функцію корисності, формує попит . При встановленні рівноважної ціни на ринку досконалої конкуренції кількість товару, що пропонується товаровиробником за цією ціною, дорівнює попиту споживача:

       . (1.2)

      Динамічні нерівноважні моделі ринку використовуються, коли у початковий момент часу ціна на ринку відрізняється від рівноважної. При цьому процес встановлення рівноважної ціни може бути описаний різними моделями за одних і тих самих функцій попиту й пропозиції. Розрізняють два підходи:

1. неперервний, коли динаміка цін описується диференційним рівнянням;
2. дискретний, коли значення змінних на проміжку часу [t; t+1] вважаються сталими. В цьому разі послідовним інтервалам часу [t; t+1] відповідають значення ціни , попиту і пропозиції .

      Розглянемо  «павутиноподібну» модель із дискретним часом. Нехай  — ціна товару в момент часу t, і — кількість товару, купленого і пропонованого відповідно на ринку в той самий момент часу t.

      У моделі приймаються дві гіпотези: 1) виробники-продавці, формуючи пропозицію, орієнтуються на ціну попереднього періоду; 2) ринок завжди перебуває у стані локальної рівноваги.

   Подамо  математичну формалізацію цих положень:

1. обсяг пропозиції на ринку в момент часу t визначається значенням ціни попереднього періоду: , де — деяка монотонно зростаюча функція від аргумента X (тобто від ціни);
2. на ринку в кожний момент часу t встановлюється рівноважна ціна , причому ця ціна є розв’язком рівняння . Якщо , де — монотонно спадна функція від аргумента X (тобто від ціни), то рівняння для визначення ціни матиме вигляд: .

      Рівноважний стан «павутиноподібної» моделі буде стійким, якщо існують границі:

        (1.3)

де  — рівноважна ціна.

      Математичні співвідношення, що відображають закон  попиту-пропозиції, можуть бути проілюстровані рис.1.4.

Рисунок 1.4 – Графік формування попиту-пропозиції

      Як  бачимо, процес формування рівноважної  ціни почався з призначення в 1-й (початковий) момент часу ціни на рівні . Продовження цього процесу (індексовано стрілками) «павутиноподібно» прямує до точки перетину кривих і .

      Щоб описана модель з економічної  перетворилась в економетричну, необхідно говорити не взагалі про  закон попиту і пропозиції, а про  конкретну його дію в даному секторі  економіки, в певний час і стосовно конкретного товару (чи виду послуг). Відповідно, конкретизація вигляду функцій і повинна проводитись на підставі статистичних даних величин , , , де , Т — кількість періодів, протягом яких здійснювався моніторинг і отримані дані.

      Приклад «Павутиноподібної» моделі фірми

      Підприємець збирається вкласти кошти у створення  фірми, котра випускатиме товар  і реалізовуватиме його на ринку. Його цікавить, як поводитиме себе ціна товару за зміни обсягів виробництва, чи буде вона стабільною за певних умов.

      Аналіз  і розв’язання

      Розглянемо  стохастичну модель з навчанням. Припустимо, що попит на t-му проміжку часу залежить лінійно від поточної ціни. Вважатимемо, що попит на ринку має випадковий характер (є випадковою величиною). Для формалізованого опису необхідно, визначити на основі доступної інформації оцінки коефіцієнтів лінійного рівняння у моделі:

      D_t = a – bX_t + u_t, (1.4)

де  D_t – попит на t-му проміжку часу; a, b – коефіцієнти лінійної регресії (b > 0); X_t – ціна одиниці продукції на t-му проміжку часу; u_t – випадкова величина, що має нормальний закон розподілу з нульовим математичним сподіванням і середньоквадратичним відхиленням s_u.

      У результаті відповідних обчислень  можна отримати оцінки значень коефіцієнтів лінійної регресії, й рівняння лінійної регресії матиме вигляд:

      Ď_t = A – BX_t, (1.5)

де  Ď_t – розрахункове значення попиту на t-му проміжку часу: A, B – оцінки значень коефіцієнтів лінійної регресії (B > 0).

      Припустимо, що пропозиція впродовж поточного проміжку часу також лінійно (в середньому) залежить від ціни, але не поточної, а такої, що являє собою комбінацію цін у двох попередніх періодах часу. У найпростішому випадку це може бути середнє значення цін протягом двох попередніх періодів. Крім того, вважатимемо, що пропозиція на ринку має випадковий характер (є випадковою величиною). Отже, для моделювання пропозиції можна використовувати таку залежність:

      S_t = c + kX(r) + v_t, (1.6)

де  S_t – пропозиція впродовж t-го проміжку часу; c, k – коефіцієнти лінійної регресії (k > 0); X(r) – середньозважене значення цін на двох попередніх проміжках часу; v_t – випадкова величина, що має нормальний закон розподілу з нульовим математичним сподіванням і середньоквадратичним відхиленням s_v.

      Після відповідних обчислень можна  отримати оцінки значень коефіцієнтів лінійної регресії, і рівняння лінійної регресії матиме такий вигляд:

      Š_t = C – KX(r), (1.7)

де  Š_t – розрахункове значення пропозиції впродовж t-го проміжку часу, C, K – оцінки значень коефіцієнтів лінійної регресії (K >0).

      Ціна  X(r) може визначатись за формулою

      X(r) = X_t1 – r(X_t1 — X_t2), (1.8)

де X_t1 – ціна на (t1)-му проміжку часу; X _t2 – ціна на (t-2)-му проміжку часу; r – ваговий коефіцієнт, значення котрого задається в діапазоні: 0 £ r £ 1.

      До  моделі необхідно ще долучити рівняння локальної рівноваги ринку:

      S_t = D_t + w_t, (1.9)

де S_t – пропозиція на t-му проміжку часу; D_t – попит на t-му проміжку часу; w_t – випадкова величина, котра має заданий закон розподілу. Можна прийняти гіпотезу, що w_t має нормальний закон розподілу з нульовим математичним сподіванням та середньоквадратичним відхиленням s_w. З урахуванням (1.5) та (1.7) рівняння локальної рівноваги матиме вигляд:

      Š_t = Ď_t  (1.10)

      Система рівнянь (1.4) – (1.10), після відповідних простих перетворень зводиться до такого виразу:

      X_t = F(X_t1, X_t2), (1.11)

де  F(X_t1, X_t2) – оцінка функції кореляційно-регресійного зв’язку між змінними X_t, X_t1, X_t2.

      Спочатку  певним наближеним способом визначають ціну для перших двох проміжків часу. Після цього можна проводити обчислення згідно з виразом (1.11) необхідну кількість разів (ітерацій).

      Задача  аналізу полягає у дослідженні  впливу параметрів системи на характер залежності ціни як функції часу, а також у визначенні рівноважної ціни.

 

      Самостійна робота №1 – Формалізація задачі моделювання економічного процесу на прикладі «павутиноподібної» моделі

      Cпрощений (ідеалізований) варіант так званої  «павутиноподібної» моделі, яка  описує процес формування попиту і пропозиції певного товару чи виду послуг на конкурентному ринку (за умов досконалої конкуренції). Формалізація економічного закону попиту та пропозиції. Властивості кривих попиту і пропозиції. Процес формування рівноважної ціни [1, с.127-132].

1. Вітлінський В.В. Моделювання економіки: Навч.посібник. – К.: КНЕУ, 2003. – 408 с.