Концептуальні аспекти математичного моделювання економіки

1. КОНЦЕПТУАЛЬНІ АСПЕКТИ МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ ЕКОНОМІКИ

     Анотація

     Сутність  моделювання як методу наукового пізнання. Особливості та принципи математичного моделювання. Основні дефініції економіко-математичного моделювання. Особливості економічних спостережень і вимірів. Етапи економіко-матема-тичного моделювання. Елементи класифікації економіко-математичних моделей. Роль прикладних економіко-математичних досліджень. «Павутиноподібна» модель ринку.

     1.1 Сутність моделювання як методу наукового пізнання

      Модель від лат. («modulus» — зразок, норма, міра.) — це об’єкт, що заміщує оригінал і відбиває його найважливіші риси й властивості для даного дослідження, даної мети дослідження за обраної системи гіпотез.

      Математична модель — це абстракція реальної дійсності (світу), в якій відношення між реальними елементами, а саме ті, що цікавлять дослідника, замінені відношеннями між математичними категоріями. Ці відношення зазвичай подаються у формі рівнянь і/чи нерівностей, відношеннями формальної логіки між показниками (змінними), які характеризують функціонування реальної системи, що моделюється.

      Сутність  методології математичного моделювання полягає в заміні досліджуваного об’єкта його «образом» — математичною моделлю — і подальшим вивченням (дослідженням) моделі на підставі аналітичних методів та обчислювально-логічних алгоритмів, які реалізуються за допомогою комп’ютерних програм. Робота не із самим об’єктом (явищем, процесом), а з його моделлю дає можливість відносно швидко і безболісно досліджувати його основні (суттєві) властивості та поведінку за будь-яких імовірних ситуацій (це переваги теорії). Водночас обчислювальні (комп’ютерні, симулятивні, імітаційні) експерименти з моделями об’єктів дозволяють ретельно та досить глибоко вивчати об’єкт, що недоступно суто теоретичним підходам (це перевага експерименту).

      Вже сама постановка питання щодо математичного  моделювання будь-якого об’єкта  породжує чіткий план дій, який умовно можна поділити на три етапи: модель — алгоритм — програма (рис.1.1).

     

Рисунок 1.1 – Узагальнена схема математичного моделювання

      На першому етапі обирається (чи будується) «еквівалент» об’єкта, що відображає в математичній формі найважливіші (ключові) його властивості — закони, яким він підпорядковується, зв’язки, що притаманні складовим його частинам, тощо. Математична модель (чи її фрагменти) досліджуються теоретичними методами, що дає змогу отримати важливі (концептуального характеру) нові знання про об’єкт.

      Другий  етап — вибір (чи розроблення) алгоритму для реалізації моделі на комп’ютері. Модель подається у формі, зручній для застосування числових методів, визначається послідовність обчислювальних і логічних операцій, котрі необхідно здійснити, щоб отримати шукані величини із заданою точністю.

      На третьому етапі створюються програми, що «переносять» модель і алгоритм на доступну комп’ютерну мову. Їх можна назвати «електронним» еквівалентом досліджуваного об’єкта, що є придатним для безпосереднього експериментування на комп’ютері.

      Створивши тріаду: «модель — алгоритм — програма», дослідник (системний аналітик) отримує універсальний, гнучкий і відносно дешевий інструмент, який тестується в «пробних» обчислювальних експериментах. Після того як адекватність (достатній рівень відповідності, зважаючи на цілі та прийняту систему гіпотез) тріади щодо досліджуваного об’єкта засвідчена, з моделлю проводять різноманітні та детальні «досліди», які дають нову інформацію про необхідні якісні та кількісні властивості й характеристики об’єкта. Процес моделювання супроводжується поліпшенням та уточненням, за необхідності, всіх складових (ланок) тріади.

     1.2 Особливості і принципи математичного моделювання

      Головна особливість моделювання полягає у тому, що це метод опосередкованого пізнання за допомогою об’єктів-заміщувачів. Саме ця особливість моделювання визначає специфічні форми використання абстракцій, аналогій, гіпотез, інших категорій і методів пізнання.

      Сформулюємо принципи, які визначають ті загальні вимоги, яким повинна задовольняти правильно побудована математична модель деякого об’єкта (системи).

      Принцип 1. Полярність діалектичної пари «модель — об’єкт». Ця діалектична пара завжди полярна, має два полюси — «модель» і «об’єкт».

      Принцип 2. Первинність об’єкта. З двох взаємно пов’язаних полюсів діалектичної пари «модель — об’єкт» один із них (об’єкт) є первинним, інший (модель) — похідним від нього.

      Принцип 3. Зумовленість моделі об’єктом. Наявність полюсу «модель» зумовлює необхідність наявності полюсу «об’єкт».

      Принцип 4. Множинність моделей щодо об’єкта дослідження. Як «модель» для об’єкта, так і «об’єкт» для даної «моделі» семантично та інтерпретаційно багатозначні: «об’єкт» описується не однією, а багатьма «моделями», «модель» віддзеркалює властивості не одного, а багатьох «об’єктів».

      Принцип 5. Адекватність. Цей принцип передбачає відповідність моделі меті дослідження, прийнятій системі гіпотез за рівнем складності й організації, а також відповідність реальній системі (об’єкту). Доки не вирішено питання, чи правильно відображає модель досліджувану систему (об’єкт), цінність моделі незначна.

      Принцип 6. Спрощення за умови збереження суттєвих (ключових) властивостей об’єкта (системи). Модель повинна бути в деяких аспектах суттєво простішою від прототипу — в цьому власне й полягає сенс моделювання, тобто модель ігнорує несуттєві властивості об’єкта. Цей принцип може бути названий принципом абстрагування від другорядних деталей.

      Практичні рекомендації щодо зменшення складності моделі:

• зменшення кількості змінних за допомогою виключення несуттєвих змінних або їх об’єднання. Процес перетворення (редукції) моделі в модель з меншою кількістю змінних і обмежень називають агрегуванням;
• зміна природи змінних величин й параметрів. Змінні величини й параметри наближено розглядаються як постійні, дискретні — як неперервні тощо;
• зміна функціональної залежності між змінними. Нелінійна залежність замінюється зазвичай лінійною, дискретна функція розподілу ймовірностей — неперервною тощо;
• зміна обмежень (збільшення, виключення чи модифікація). Після зняття обмежень одержуємо оптимістичне рішення, після введення — песимістичне. Варіюючи обмеженнями, можна знайти можливі граничні значення ефекту чи ефективності. Такий спосіб часто застосовують для знаходження попередніх оцінок ефективності рішень на етапі постановки задач;
• обмеження точності моделі. Точність результатів моделі не може бути вищою за точність вхідних даних.

      Принцип 7. Блочна побудова. За дотримання цього принципу блочної побудови полегшується розроблення складних моделей і з’являється можливість використання накопиченого досвіду та адаптації готових блоків із мінімально необхідними зв’язками між ними. Виокремлення блоків відбувається з урахуванням розподілення моделі за етапами й режимами функціонування об’єкта (системи).

      Складні об’єкти (системи) потребують розроблення  цілої ієрархії моделей. Виокремлюють такі рівні, як вся система, підсистеми, підсистеми керування тощо.

      Існують різні форми зображення математичної моделі. Найтиповіші групи їх різновидів — інваріантна, алгоритмічна, аналітична, схемна.

      Наголосимо, що використання математичних методів  в економічному аналізі жодною мірою не зводиться до підбору прийнятих формул, підстановки в них певних чисел та певного чаклування, в результаті чого виходить «відповідь».

      Нагадаємо рекомендації відомого американського вченого Р.Хемінга: «Мета обчислень — розуміння, а не числа»; «перш ніж розв’язувати задачу, подумай, що робити з її розв’язком».

     1.3 Основні дефініції економіко-математичного моделювання

      Якщо  йдеться про математичну модель, що описує механізм функціонування певної гіпотетичної економічної чи соціально-економічної системи, то таку модель називають економіко-математичною чи просто економічною.

      Під економіко-математичною моделлю розуміють  концентроване вираження  найсуттєвіших економічних  взаємозв’язків досліджуваних  об’єктів (процесів) у вигляді математичних функцій, нерівностей і рівнянь.

      Математична модель — це об’єкт, котрий створюється  системним аналітиком для отримання  нових знань про об’єкт-оригінал і відбиває лише суттєві (з погляду  системного аналітика) властивості об’єкта-оригіналу.

      Модель  вважається адекватною об’єкту-оригіналу, якщо вона з достатнім ступенем наближення, на рівні розуміння системним аналітиком модельованого процесу відбиває закономірності процесу функціонування реальної економічної системи у зовнішньому середовищі.

      Як  було зазначено, під моделюванням розуміють процес побудови, вивчення й використання моделей.

      Процес  моделювання включає три системотвірних елементи:

• суб’єкт дослідження (системний аналітик);
• об’єкт дослідження;
• модель, яка опосередковує відносини між об’єктом, який вивчається, та суб’єктом, який пізнає (системним аналітиком).

      У загальних рисах можна виокремити чотири основні етапи процесу  математичного моделювання економічних систем і подати їх за такою узагальненою схемою (рис.1.2). 

     

Рисунок 1.2.– Узагальнена схема процесу  
економіко-математичного моделювання

     1.4 Особливості економічних спостережень і вимірів

      Головним  гальмом для практичного застосування математичного моделювання в  економіці є проблема наповнення розроблених моделей конкретною та якісною інформацією. Точність і повнота первинної інформації, реальні можливості її збору й опрацювання справляють визначальний вплив на вибір типів прикладних моделей. З іншого боку, завдання моделювання економіки висувають нові вимоги до системи інформації.

      Залежно від модельованих об’єктів і призначення моделей використовувана в них вхідна інформація має суттєво відмінний характер і походження. Вона може бути розподіленою на дві категорії: щодо минулого розвитку та сучасного стану об’єктів (економічне спостереження й опрацювання); про майбутній розвиток об’єктів, яка включає дані про очікувані зміни, внутрішні параметри та зовнішні умови (прогнози). Інша категорія інформації є результатом самостійних досліджень, які також можуть проводитися за допомогою моделювання.

      Методи  економічних спостережень і використання їхніх результатів розробляються  економічною статистикою. З огляду на це варто визначити лише специфічні проблеми економічних спостережень, які стосуються моделювання економічних  процесів. В економіці чимало процесів є масовими: вони характеризуються закономірностями, що не проявляються на підставі лише одного чи кількох спостережень. Тому моделювання в економіці має спиратися на масові спостереження.

      Інша  проблема породжується динамічністю економічних  процесів, мінливістю їхніх параметрів і структурних відношень. Унаслідок цього доводиться постійно вивчати економічні процеси, здійснювати їх моніторинг. Оскільки спостереження за цими процесами й опрацювання емпіричних даних зазвичай забирають досить багато часу, то, будуючи економіко-математичні моделі, необхідно коригувати вхідну інформацію з урахуванням її надходження із деяким запізненням у часі.

      Дослідження кількісних відношень економічних  процесів і явищ спирається на економічні виміри. Точність проведення вимірювань значною мірою впливає на точність кінцевих результатів кількісного аналізу. Тому застосування математичного моделювання загострило проблему вимірювання та кількісного зіставлення різних аспектів і явищ соціально-економічного розвитку та повноти одержуваних даних, захисту їх від навмисних і технічних викривлень (деформації).

     1.5 Етапи економіко-математичного моделювання