Экономико-математические модели в управлении

Матрица А=[ a_ij ], составленная из коэффициентов прямых затрат a_ij , несет много информации о структуре межотраслевых связей и существующей технологии общественного производства, которые сложились в народном хозяйстве. Сравнивая такие матрицы, составленные в разные моменты времени, можно прогнозировать направления изменения и развития технологии.

Например, некоторые коэффициенты затрат труда при семидесяти шести  отраслевой схеме классификации  отраслей народного хозяйства США  имеют вид

Таблица 2

 

Название отрасли	1947 г.	1958 г.
Автомобили и оборудование	0,2149	0,1569
Ремонт автомобилей	0,4769	0,4969
Нефтепереработка	0,1328	0,0881

 

Из таблицы 2 видно, что вследствие внедрения прогрессивной технологии резко уменьшились затраты на производство автомобилей и нефтепереработку, но в сфере ремонта автомобилей, где преобладает ручной труд, относительные  затраты возросли.

Матрицу А можно использовать для текущего и долгосрочного планирования. Сделаем следующие предположения:

• Существующая технология производства неизменна в течение некоторого промежутка времени [T₀, T], где Т>T₀ . В зависимости от поставленной задачи промежуток [T₀, T] может равняться одному календарному периоду (год) или нескольким.
• Технология производства линейная, то есть будем считать, что для выпуска продукции i-й отрасли объемом x_i необходимо и достаточно сделать затраты в объемах x_ia_ij , j=1,2,…,n, продукции каждой отрасли.

Все это вместе приводит к тому, что мы будем рассматривать  идеализацию  реальных процессов - модель. Мы не можем  производить какой угодно объем  продукции, так как не хватит прежде всего производственных мощностей.

Пусть i-я отрасль должна вырабатывать объем x_i, i=1,2,…,n, валового выпуска своей продукции. Обозначим через X = [,,….,]^T матрицу-столбец валового выпуска  всех секторов. Воспользовавшись предположением о линейности, рассчитаем затраты отрасли i на выпуск продукции в других отраслях. Это будет

                             .                                (5)

Из уравнения баланса вытекает, что выражение (5) равняется x_i  минус конечный спрос, то есть

 

 

где конечный спрос на продукцию i-й отрасли.

   В матричном виде:

 

AX = X - Y, или

 

( E – A ) X = Y, (6)                               

 где Y - вектор конечного спроса национальной экономики, E – единичная матрица.

   Матрица B = (E-A)^-1 называется матрицей полных затрат или обратной матрицей Леонтьева. Уравнение (6) вместе с интерпретацией матрицы A и векторов X, Y называется моделью Леонтьева. При планировании ставится задача: найти вектор X валового выпуска, чтобы удовлетворить вектор конечного спроса Y при существующей структуре экономики, которая задается матрицей A.

   Если задан вектор конечного спроса Y и существует положительный вектор производства X, который удовлетворяет уравнению (6), то модель Леонтьева называется продуктивной.

   Для установления продуктивности модели Леонтьева необходимы выполнения условия Хаукинса-Саймона:

 

 

 

   Теоретически решение уравнения (6) весьма компактно:

 

X = (E – A )^-1 Y = B∙Y,

 

где B = ( E – A )^-1 - обратная матрица Леонтьева. C является  ни чем иным, как матрицей коэффициентов полных затрат. Экономическое содержание ее элементов b_ij заключается в следующему: коэффициент b_ij  показывает  общую потребность в валовом выпуске продукции отрасли i для производства единицы конечной продукции отрасли j.

   Например, для выпуска автомобилей нужна продукция металлургической отрасли, это будет первичный спрос; также нужны подшипники, для выпуска которых нужна продукция металлургической отрасли – это образует вторичный спрос со стороны отрасли автомобилестроения на продукцию металлургической отрасли и так далее.

 

Задание:

 

Исследуйте  заданную укрупненной таблицей межотраслевого баланса модель экономики (в таблице  А и І - сельское хозяйство, В и II — промышленность, С і III — транспорт, IV — сектор конечного спроса (домашние хозяйства), V — общий выпуск). Найдите  объем выпуска каждой отрасли  при заданном конечном спросе Y. Найдите  зависимость выпуска каждой отрасли  от конечного спроса. Укажите, как должен измениться выпуск каждого сектора при увеличении спроса на транспортные услуги на k%, где k = N для вариантов N= 1-10, k=|(N/2)-5| для вариантов N=11-20, k=|(N/3)-5| для вариантов N =21-30.

 

Решение:

 

Дана таблица  межотраслевого баланса.

 

 

		II	III	IV	V	Y
A	90	64	450	100	704	760
B	30	55	360	50	495	450
C	22	74	270	52	418	430

 

A І –сельское хозяйство;

B II - промышленность;

C III - транспорт;

IV   - сектор  конечного спроса;

V - общий  выпуск;

Y - конечный спрос

 

1. Матрица межотраслевого баланса   

                                                           

 

2) Общий выпуск  по отраслям 

 

Матрица отраслевых затрат     

 

3)Структурная матрица образуется путём деления элементов матрицы отраслевых затрат на общий объём затрат по каждой отрасли.

 

 

 
Структурная матрица А= 

 

4) Проверим  справедливость условия Хаукина-Саймона

 

         =0,12>0;

 

 

=0,77>0;

 

 

1-0,13=0,87>0.

 

5)Заданный  конечный спрос Y=

 

 

=      - объем выпуска по отраслям при заданном конечном спросе.

   
   Спрос на транспортные услуги увеличивается на 2,7, то есть 4501,027=462,15

 

  Заданный конечный спрос Y=

 

 

=            - объем выпуска по отраслям при изменённом

 

конечном  спросе.

  

6)Разница  по отраслям А-15,3; В-28,6; С-16,9.

Цены в системе межотраслевых  связей.

 

   Цены в рассмотренной выше открытой модели межотраслевых связей можно определить из системы уравнений, каждое из которых устанавливает, что цена единицы продукции производственного сектора должна равняться совокупным затратам производства в расчета на единицу выпущенной в этом секторе продукции. В затраты входит не только плата за ресурсы, которые приобретены в данном и других секторах, но и добавленная стоимость (заработная плата, прибыль предпринимателей, правительственные налоги, которые выплачиваются правительству и другим секторам конечного спроса, и др.).

   Пусть баланс составлен в стоимостном выражении. Обозначим:

x_i , i = 1,2,..,n, – объем производства i – х секторов, удовлетворяющих конечному спрос y_i , i = 1,2,…,n.

v _i — суммарные платежи i - го сектора за одну единицу выработанной  
i - м сектором продукции, определяемые как g_i / x_i ;

р _j – цена единицы продукции j-го сектора;

α_ij — объем товаров и услуг i - го сектора, потребляемых при производстве продукции в j-му секторе (как и выше).

Тогда, но поскольку α_ij = a_ij x_i , то

 

 

   Разделив на ненулевые x_i получим для искомых цен систему уравнений

 

 

 

 

   В матричной форме система уравнений для цен имеет вид:

(E-A)^TP = V,

 

где А — структурная матрица экономики; V — заданный вектор платежей; Р — искомый вектор цен. Тогда цены Р можно найти

по формуле  Р = ((E – А)^T) ^-1 V, или, что то же самое,

Р = ((E – А)^-1) ^T V .

 

  Аналитические выражения цены Р через платежи V имеют вид:

 

 

 

  Из приведенных равенств, очевидно, что элемент b_ij, матрицы  
(E - А)^-1 показывает, как изменится цена р_i единицы продукции i - го сектора при изменении на единицу платежа v _j в j - м секторе.

Поскольку X ^T V = X ^T (E – A)^T P = ((E – A)X) ^T = Y ^T P , то для рассмотренной модели межотраслевого баланса справедливо тождество

  Левая часть  этой тождественности равняется общей сумме добавленных стоимостей, которые выплачиваются в сектор конечного спроса, а правая часть — суммарная стоимость продукции, поставленной производственными секторами в сектор конечного спроса. Другими словами, приведенная тождественность подтверждает совпадение произведенного и использованного национального дохода.

Задание:

 

Найдите цены для единицы продукции каждого  производственного сектора модели экономики из предшествующей задачи для заданного в условии вектора  платежей. Укажите, как увеличиваются  цены на транспортные услуги при увеличении на 20% платежей в сектор сельского  хозяйства.

 

Решение:

 

 Есть  заданный конечный спрос Y=

 

Есть вектор платежей V= 

 

 Определим вектор цен (на единицу продукции по секторам)

Данные из предыдущей задачи:

 

 

P== 

 

 

Платежи в  сельском хозяйстве увеличиваются  на 20%.

 

 

Новый вектор платежей V=

 

 

Определим новый  вектор цен ( на единицу продукции  по секторам)

 

 

P== 

 

 

Таким образом, видим, что цены на транспортные услуги увеличиваются на 0,55 или 9,5 %.

Простейшая модель экспорта и импорта.

   Рассмотрим  открытую систему межотраслевых  связей на государственном уровне. Если экономика государства перестает  быть само обеспечивающейся и  государство начинает импортировать  и экспортировать продукцию производственных  секторов, в то время как сектор  конечного спроса потребляет  то же количество продукции  производственных секторов, то устанавливается  новый баланс между затратами  и выпуском. Структурная матрица  экономики, а значит и матрица  (E - А)^-1 остаются прежними; изменяется конечный спрос. К величине платежей в сектор конечного спроса каждого сектора нужно прибавить объем экспорта и отнять из него объем импорта (импорт можно рассматривать как отрицательный экспорт)

y_k = y_k^' + e_k , k = 1,2,…,n .

Здесь y_k -  заданный конечный спрос, который не изменился, на продукцию k-го сектора; y_k^' — объем конечного продукта k-го сектора при наличии экспорта и импорта, e_k - объем экспорта (e_k > 0) или импорта (e_k  < 0) продукции k - го сектора.

  Таким образом, в таблицы межотраслевого баланса столбец сектора конечного спроса разбивается на три столбца: столбец заданного конечного спроса, столбец экспорта-импорта и столбца конечного продукта (табл. 4), причем каждый элемент последнего с этих трех столбцов равняется сумме соответствующих чисел в предшествующих двух.

 

                                                                           Таблица 4

 

	Конечный спрос	Экспорт-импорт	Конечный продукт
Сельское хозяйство	60	-20	60-20
Промышленность	100	40	100+40
Транспорт	80	0	80+0

  

 

   Выпуск X вычисляется по формуле:

 

Х = (E-A)^-1 Y',

 

где Y' = Y + ЕI;  Y - конечный спрос, который не изменился; ЕI - экспорт-импорт; А — структурная  матрица экономики.

   Определив вектор выпуска X, можно найти по формуле 
a_ij = а_ij х_j элементы a_ij; матрицы нового межотраслевого баланса A.

Задание:

 

   Исследуйте заданную структурной матрицей модель экономической системы (А — сельское хозяйство, В - промышленность, С - транспорт , І - конечный спрос, II - экспорт-импорт, III - конечный продукт). Найдите объем выпуска каждой отрасли при заданном спросе при наличии экспорта и импорта. Найдите матрицу нового баланса. Проверьте правильность вычислений.

 

 

Решение:

 

	Конечный спрос	Экспорт-импорт	Конечный продукт
Сельское хозяйство	160	-10	160-10
Промышленность	70	30	70+30
Транспорт	67	-7	67-7