Экономико-математические модели в управлении

 

 

Средние и предельные показатели.

 

   Переменные в экономическом анализе называются показателями. В экономике широко используются средние значения: средняя производительность, средняя прибыль, средние затраты и др. Однако с помощью средних показателей нельзя определить, какое влияние на результат деятельности (прибыль, объем производства и др.) осуществляет изменение одного из показателей. В этом случае целесообразно анализировать изменения переменных, то есть применять методы дифференциального исчисления.

   Предельная  выручка определяется как производная  полной выручки R=R(Q) по количеству  товара Q, то есть она равняется  скорости изменения выручки   при изменении объема продаж.

   Средняя  выручка — это выручка на  единицу продаж:

 

 

 

   Если R(Q) = PQ, где P - цена единицы товара, то

 

 

 

то есть средняя  выручка равняется цене единицы  продукции.

   Аналогично  определяются предельные и средние  показатели для других экономических  показателей.

   Средние  и предельные затраты:

 

  где C(Q)  функция затрат.

 

   Средняя  и предельная производительность:

 

где Q(L) —  производственная функция, которая  описывает зависимость объема выработанной продукции Q  от количества затраченной  работы L.

   Средняя  и предельная склонность к  потреблению:

 

 где S(Y) — функция потребления, которая  описывает зависимость объёма  потребление  S  от национального  дохода Y .

   Средняя  и предельная склонность к  сбережению:

 

 где  Z(Y)  —  функция  сбережений, которая  описывает зависимость объемов  капиталовложений Z от национального  дохода Y . Заметим, что для простейшей  двухсекторной модели Y = S + Z ,поэтому

 

S'(Y) + Z'(Y) = 1, S_ср + Z_ср = 1.

 

 

Задание:

 

   Вычислите  средние и предельные значения  для заданной производственной  функции  

 

Решение:

 

   Исходная производственная функция:

 

.

 

   Среднее значение (отношение функции к объёму производства):

.=

 

 

 

Предельное  значение (производная функции):

 

()^ʼ=

.

 

 

Рисунок 4- График производственной функции

 

 

Рисунок 5- Графики  функций среднего и предельного  значений.

 

 

Эластичность  экономических функций.

 

   Эластичность — это безразмерная величина, которая показывает возможность функции реагировать на изменение аргумента. Эластичностью функции в точке называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению аргумента при относительном приращении аргумента стремящемся к нулю, то есть

 

_.

 

   Эластичность можно определить  через производную и средние  величины:

 

 

 

или как логарифмическую  производную:

 

 

 

так как

 

 

 

   Для   функции, заданной на конечном  множестве значений x_i рассматривают конечную (процентную) эластичность:

 

 

 

   Эластичность  спроса по цене определяется  равенствами:

 

 

 

где D = D(Р) —  функция спроса, Q — количество товара, приобретенного потребителями по цене Р.

   Напомним, что функция спроса D = D(Р) — убывающая функция, поэтому эластичность отрицательна (точнее, неположительная), обычно анализируется величина ||.

   Свойства  эластичности:

1. эластичность – безразмерная величина, то есть =
2. эластичность взаимообратных функций – взаимообратные величины.
3. эластичность произведения двух функций равна сумме эластичностей этих функций, то есть
4. Экономический смысл эластичности: это процентное изменение экономического показателя при изменении аргумента на один процент.

Эластичность от некоторых функций  следующая:

• эластичность от степенной функции постоянна и равна  
                                              
• эластичность от показательной функции пропорциональна аргументу, то есть
• эластичность от линейной функции:

   В  зависимости от значений ||. различают товары эластичного и неэластичного спроса. Если  ||> 1, то есть относительное повышение цены на 1% приводит к относительному падению спроса более чем на 1%, и наоборот, падение цены на 1% приводит к увеличению спроса более чем на 1%, то говорят о товаре эластичного спроса. В противоположном случае, если || ≤ 1, товар называют товаром неэластичного спроса.

   Существует  связь между предельной прибылью  и эластичностью спроса по  цене.

   Как  уже отмечалось выше, суммарная  выручка R(Q) исчисляется по формуле:

 

R(Q) = QP(Q),

 

где P(Q) —  функция спроса. Тогда предельную выручку R'(Q)  можно выразить через .

 

 

 

   Равенство  справедливо для любой функции спроса.Отсюда вытекает, что при реализации товаров неэластичногоспроса (|| ≤ 1), предельная выручка отрицательна и суммарная выручка падает; если же спрос на товар эластичный (||> 1), то предельная выручка положительна и, следовательно, суммарная выручка возрастает. Справедливо утверждение: для товаров эластичного спроса суммарная выручка — возрастающая функция.

   Эластичность предложения по цене определяется равенствами:

 

 

 

где S = S(P) — функция  предложения, Q —  количество товара, предложенного для  продажи по цене Р . Функция предложения S = S(P) возрастающая, эластичность неотрицательная, и анализируется величина _.

 

Задание:

 

   Найдите для заданной функции спроса P(Q)= -aQ²+ bQ +c эластичность спроса по цене и соответствующую предельную выручку. Постройте графики эластичности Е_D и предельной выручки. Найдите значения Q и соответствующую цену, при которой          | | =1.  Сформулируйте выводы.

 

 Решение:

 

Функция спроса:

 

 

 

   Вычисляем эластичность спроса по цене,  функцию суммарной выручки и предельную выручку:

;

 

  = -0,1Q³ +Q²+0,5Q

 

.

 

•  – уравнение наклонной асимметрии.

 

          

 

=

 

 

       

 

Рис.6. Графики эластичности спроса по цене и предельной выручки.

 

 

Рис.7. График суммарной выручки и предельной выручки.

 

 

Оба показателя имеют максимумы при разных значениях  Q; максимум R достигается, когда R_р обращается в ноль.

 

 

Приравниваем  функцию эластичности к единице.

  =1;

 

+Q;

 

0;

 

=0;

 

=-0,5;

 

=-5.

 

Не имеет  решений, если внутри модуля положительный  знак. Рассмотрим случай, когда под  знаком модуля отрицательное выражение. Для этого меняем знак числителя  на противоположный.

 

 

 

+Q;

 

0;

 

=0;

 

D=2,93+0,6=3,53

 

Q₁=5,99

Q₂= -0,278<0

 

Q=5,99 –точка, в которой спрос на товар теряет эластичность.

 

Модель   межотраслевого  баланса.

(модель Леонтьева В.В.)

 

   Любое национальное хозяйство  развивается в сложной системе межотраслевых  взаимосвязей, понять которые во всей их совокупности путем простого суммирования невозможно. Например, спрос на автомобили оказывает влияние не только на автомобильную промышленность, но и косвенным путем на металлургию и области, которые вырабатывают шины, бортовую электронику, а через них на производство микросхем.  Изменения в одной области неизбежно сказывается во всем народном хозяйстве.

Для анализа межотраслевых связей выдающийся экономист Леонтьев В.В. разработал специальный метод балансового анализа – “анализ затраты-выпуск” (Input-output analysis или I/O  analysis), который позволяет исследовать процессы, связанные с межотраслевыми взаимодействиями. Цель балансового анализа — определить, сколько продукции должна выработать каждая отрасль для того, чтобы удовлетворить все потребности национального хозяйства системы в его продукции.

Пусть весь производственный сектор национальной экономике разделен  на n “чистых отраслей ” (секторов). Словосочетание “чистая область” означает, что продукция каждой области является однородной.  

Чистая область является экономической абстракцией, не обязательно существующей в виде каких-то организационных форм, то есть это модель. Например, под отраслью “электроэнергетика” можно понимать совокупность всех электростанций независимо от их принадлежности. Подобная идеализация разрешает провести тщательный анализ сформированной технологической структуры общественного производства и распределения.

Предположим, что каждая отрасль выпускает продукцию только одного вида и разные отрасли вырабатывают разную продукцию. В процессе производства своего вида продукции каждая отрасль потребляет продукцию других отраслей.

Пусть в какой-либо момент времени Т₀ составлен балансовый отчет по национальной экономике по итоговым данным за фиксированный период времени, например, за прошедший год, по следующей форме. 

 

Таблица 1

Отрасли         покупатели             (сектора       Отрасли   спро-  родавцы      са) ® (сектора  предложений)                     ¯		Отрасли производства						Конечный   спрос  (потребление  инвестиции, экспорт(+), импорт(-) )	Объем  выпуска
		1	2	….	j	…..	n
Отрасли производства	1	a11	a12	….	a1j	….	a1n	y1	q1
	2	a21	a22	….	a2j	….	a2n	y2	q2
	....	....	....	....	....	....	....	....	....
	i	ai1	ai2	….	aij	….	ain	yi	qi
	....	....	....	....	....	....	....	....	....
	n	an1	an2	….	anj	….	ann	yn	qn
Добавленная стоимость (прибыль занятых  по найму,            ®   предпринимательская прибыль, амортизационные отчисления, побочные налоги и прочее)		g1	g2	....	gj	....	gn	-	D
Объем   затрат    ®		q1	q2	....	qj	....	qn	D	V

 

Строки приведенной  таблицы показывают распределение  выпуска (output) каждого вида продукции. Величина a_ij показывает объем продукции отрасли i, которую закупили у нее отрасли j ( i, j = 1,2,…) в качестве промежуточных продуктов. Конечный спрос y_i показывает объем продукции i-й отрасли, который был потреблен на инвестиции, экспорт, для создания запасов. Число q_i равняется общему объему продукции (валовому выпуску) i-й отрасли за отчетный период.

           Столбцы  таблицы показывают структуру  затрат (input), или структуру используемых ресурсов, необходимых для каждой отрасли. Для столбцов устанавливается следующий баланс:

затраты отрасли = промежуточные затраты + добавленная стоимость

что в математической записи выглядит как

            (2)

Промежуточные затраты являются исходными материалами, закупленными i – й отраслью у отраслей (секторов) 1,2,...,n. Добавленная стоимость является факторными затратами отрасли, то есть вновь приобретенной стоимостью, которая распадается на заработную плату, предпринимательская прибыль, амортизационные отчисления.

Для национальной экономики, исходя, из закона сохранения должны выполняться отношения:

Выпуск отрасли = затраты отрасли,

Общая сумма  конечного спроса = общая сумма  добавленной стоимости.

Математически это записывается следующим образом:

   (3)

                                    (4)

 

Уравнения (3) и (4) называются балансовыми  уравнениями. Единицами измерения  всех указанных величин могут  быть или натуральными (тонны, штуки) или стоимостными, в зависимости  от чего различают натуральный и  стоимостный баланс. В будущем  будим иметь в виду стоимостный  баланс.

Таблица 1 также называется таблицей межотраслевого баланса и она позволяет изучать структуру потоков ресурсов в национальной экономике. Но более информативными являются относительные величины. Если все элементы α_ij таблицы 1  разделить на величину q_j (объем продукции j – й отрасли), а числа y_i на q_i , то числа a_ij =α_ij /q_j , i,j = 1,2,…,n, можно понимать как объем продукции i - й отрасли, необходимой для производства одной единицы продукции отрасли с номером j; числа  
y_i / q_i , i = 1,2,…,n, как долю продукции i  –й отрасли, которая пошла на непроизводственное потребление.

Числа a_ij ,i = 1,2,…,n,  носят название коэффициентов прямых, непосредственных  затрат j – й отрасли и в некотором смысле полностью характеризуют технологию j – й отрасли в отчетном периоде: выпуск единицы продукции возможен при структуре затрат, характеризуемыми величинами a_ij. Исходя из экономического смысла, считаем коэффициенты a_ij  положительными.