Экономико-математические модели в управлении

СОДЕРЖАНИЕ

Введение.   ……………………………………………………………….. 3

 

Функции спроса и предложения,

равновесная цена.       …………………………………………………… 4

 

Функции спроса. Зависимость спроса

от прибыли.    ……………………………………………………………. 7

 

Максимальная  прибыль.  ………………………………………………. 9

 

Средние и  предельные показатели.   ………………………………….. 12

 

Эластичность  экономических функций.   ……………………………..  14

Модель   межотраслевого  баланса. …………………………………… 19

Цены  в системе межотраслевых связей.  ………………………………  26

Простейшая  модель экспорта и импорта.  …………………………..    29

Построение  кривых безразличия.  …………………………………….  31

Заключение ………………………………………………………………  32

Литература………………………………………………………………...33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

 

Предметом изучения дисциплины являются количественные характеристики экономических процессов, протекающих  в промышленном производстве, изучение их взаимосвязей на основе экономико-математических методов и моделей. Эти модели линейного и нелинейного программирования, модели исследования операций, модели массового обслуживания.

Важное место  отводится экономико-математическим моделям в ценообразовании. Особое внимание уделяется методам и  моделям прогнозирования конъюнктуры  рынка и определения цен, моделям  и методам анализа инвестиционных проектов, моделям в управлении финансами.

Немалое место  отводится моделям оптимального отраслевого и регионального  регулирования - экономико-математическим моделям проекта развития отдельных  отраслей промышленности. Это такие  важные модели, как вариантная, транспортно-производственная, модель расчета топливного баланса  региона.

Основным  понятием является понятие математической модели. В общем случае слово модель - это отражение реального объекта. Такое отражение объекта может  быть представлено схемой, эскизом, фотографией, моделью описательного характера  в виде графиков и таблиц и т.д. Математическая модель - это система  математических уравнений, неравенств, формул и различных математических выражений, описывающих реальный объект, составляющие его характеристики и  взаимосвязи между ними. Процесс  построения математической модели называют математическим моделированием. Моделирование  и построение математической модели экономического объекта позволяют  свести экономический анализ производственных процессов к математическому  анализу и принятию эффективных  решений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функции спроса и предложения, равновесная  цена.

 

    Микро экономика – раздел экономики, который занимается анализом отдельных элементов экономической системы. Один из важнейших разделов микро экономики — изучение спроса и предложения. Спрос на некоторые товары — это потребность в определенном количестве товара, ограниченная действующими ценами и платежеспособностью (прибылями) потребителей.            Предложение — это количество товара, который может быть предложено для продажи по данной цене.

    Здравый  смысл подсказывает: увеличение  выпуска требует дополнительных  затрат и, для того чтобы  заинтересовать производителя в  увеличении выпуска, нужно предложить  ему повышенную цену. Отсюда вытекает, что предложение S нужно рассматривать, как возрастающую функцию цены Р. Если предложение зависит от цены, то и цена зависит от предложения. Экономисты обычно именно функцию Р = S(Q) называют функцией предложения, а её график — кривой предложения; здесь Q — количество товара, предложенного для продажи по цене Р.

    Тот же здравый смысл подсказывает: если цена на определенный  товар начинает возрастать, то  количество проданного товара  будет уменьшаться, то есть  зависимость спроса Q от цены Р — убывающая функция. Экономисты называют функцией спроса функцию Р=D(Q), а ее график — кривой спроса, здесь Q — количество товара, приобретенного потребителями по цене Р.

    Хотя любое предположение о  виде функциональных зависимостей S(Q) и D(Q) будет упрощением действительности, исследование этих функций позволяет  частично «оценить» реальную  ситуацию. Таким образом, анализируя  модель, можно оценивать, прогнозировать  изменение исследуемых величин.  Чем ближе модель к реальности, тем, вообще говоря, она более сложнее и тем более точными могут оказаться прогнозы и оценки.

Некоторые содержательные выводы о  взаимном влиянии показателей можно  сделать, исследуя поведение графиков соответствующих функций. Ниже на рис. 1 изображены графики функций спроса и предложения, описываемые

 

 

зависимостями P=D(Q):= - 5Q+150,      P=S(Q):=Q²/4 + Q/2  + 70.

Представляет  интерес точка пересечения кривых спроса и предложения. Эта точка  называется точкой равновесия, а соответствующая  цена — равновесной ценой. Пересечение  графиков при Р = 100

означает, что  при такой цене весь сделанный  товар раскупается, спрос и предложение  совпадают. При ценах, ниже равновесной (Р< 100), спрос превышает предложение; при D(Q) > S(Q), возникает «дефицит»  товара и производители могут  повышать цену, рыночная цена будет  стремиться к равновесной. Если же цены выше равновесной цены Р>100, то S(Q) большее D(Q), предложение превышает спрос, остается нереализованная продукция, которая побудит производителей снижать цену, и рыночная цена будет стремиться к равновесной. Для рассматриваемых функций Q = 10, соответственно равновесная цена равна 100.. Следует заметить, здесь рассмотрена очень упрощенная модель: ведь цена — не единый фактор, который определяет изменение спроса и предложения; с некоторыми другими факторами можно ознакомиться в трудах, в которые отражены исследование функций нескольких переменных в экономических задачах.

 

Задание:

 

   Изобразите кривые спроса и предложения. Найдите равновесную цену графически и аналитически. Выполните задание для функций D(Q) = -АQ + В и S(Q) = Q² /С + О /R + Е

 

Решение:

 

   Функция спроса:                D(Q)=-5Q+120. 

   

   Функция предложения:       S(Q)=

 

   Посмотрим графики функций, вычислим точку равновесия графически и аналитически.

 

D(Q)=-5Q+120  ;                          

 

Q	0	10
D	120	70

 

S(Q)=; 

 

Q=0; S(0)=70;

 

Q(верш.)=-;

 

S(верш.)= S(верш.)=

 

Q	0	6	12
S	70	85	124

 

 

 

Рисунок 1- Функции  спроса и предложения, определение  точки равновесия

 

   Для нахождения равновесной цены аналитически приравниваем функции спроса и предложения.

 

-5Q+120=;

 

-30Q+720=;   

 

2

 

D=1089+;

 

 ;

 

 ;

 

D(Q)=-5;

 

P=87,5

 

   Таким образом, равновесный объём производства Q равен 6,5. Равновесная цена P равна 87,5.

 

 

 

Функции спроса. Зависимость спроса от прибыли.

 

   Предметом  теории потребления является  исследование того, как люди распределяют  заработную плату между разными  расходными статьями своего бюджета,  в каких объемах они покупают  продукты потребления и т.д.

   Функции  спроса описывают зависимость  спроса D на продукт потребления  от цены Р этого продукта  и от дохода потребителя х  -D=D (х,P). При фиксированной цене Р функция спроса зависит только от дохода: D=D (х).

   Рассмотрим, как пример, функции спроса Торнквиста D(х), которые описывают зависимость  размера спроса на разные группы  товаров в зависимости от их  цены и роли в потребительской  корзине:

 

   - спрос на малоценные товары;

  - спрос  на товары первой необходимости;

 

  - спрос  на товары второй необходимости  (относительная роскошь);

 

  - спрос на предметы роскоши.

 

 

   Из  приведенных графиков видно, что  при α = 10, β = 3, γ = 2 спрос на  малоценные товары возрастает  при небольших доходах, а потом,  с возрастанием доходов, начинает  падать и стремится к значению  α  сверху. Спрос на товары  первой необходимости возрастает  с возрастанием доходов и стремится  к значению α  снизу. Товары  второй необходимости и предметы  роскоши покупают только люди  с прибылью, которая превышает  γ = 2.   При этом спрос на  товары второй необходимости  отстает от спроса на товары  первой необходимости и ограничен сверху значением α. И только спрос на предметы роскоши с возрастанием доходов постоянно возрастает.

 

 

 

 

Задание:

 

   Постройте график заданной функции спроса. Исследуйте вид кривой при разных значениях параметров.

 

Решение:

 

   Определим  функцию спроса для групп товаров.

 

= - малоценные товары;

 

= - товары первой необходимости;

 

= - относительная роскошь;

= - предметы роскоши.

 

   Исследование  функции: 

 

 =;

 

=;              

 

 .

 

 

 

 

 

Рисунок 2- Функции  спроса на товары первой необходимости.

 

   Эта функция монотонно возрастающая. У функции нет ни точек экстремума, ни точек перегиба, значит, спрос на товары первой необходимости возрастает с возрастанием доходов.

Максимальная прибыль.

 

    В наиболее общем виде прибыль π — разность между выручкой предприятия от реализации продукции R и полными затратами С:  π = R - С.

   Поскольку  цена определяется не тем, сколько  хочет получить производитель,  а тем, сколько готов заплатить  потребитель, полная выручка,  полученная от реализации товара  в количества Q по цене — Р,  исчисляется по формуле R=QР(Q), где Р= Р(Q) соответствующая функция  спроса.

   Полные  затраты С разделяют на постоянные  С_f, которые не зависят от объема производства Q, и переменные С_v — затраты на производство единицы продукции, то есть:

 

С = С_f , + С_v Q.

 

   Задача  об определении максимальной  прибыли заключается в определении  такого объема производства Q_mах, при котором достигается максимальная прибыль, то есть нужно при заданных значениях С _f , С_v  и заданной функции спроса P = P(Q) найти максимум функции:

 

π (Q) = QР(Q)-( С _f + С_v Q ).

 

На рис. 3 приведен график зависимости прибыли  для квадратичной функции P(Q) = 10Q – Q² при С_f=70, С_v =0.7.

 

 

 

 

   В  данном примере максимум прибыли равен 83,43 при Q = 6,6. Из рисунка видно, что производство прибыльно только при Q₁ < Q < Q₂;, где Q₁ и Q₂ — точки пересечения графика прибыли оси х, поскольку при таких значениях Q полная выручка превышает затраты.

   Для  аналитического определения границ  интервала, в котором производство  рентабельно (прибыль больше нуля) необходимо решить уравнение  относительно Q.

 

QР(Q)-(С_f+С_vQ)>0 .

 

   Для  аналитического определения объема  производства Q, при котором достигается максимальная прибыль необходимо решить уравнение.Относи тельно Q.

 

Задание:

 

   Найдите графически и численно максимальную прибыль и границы прибыльного производства для заданной функции выручки предприятия  и функции затрат. Выполните вычисления для функции выручки предприятия R = АQ -Q² и для функции затрат С = С _f  + С_v Q.

 

Решение:

 

R = АQ -Q^{2   ;}

 

  С = С _f  + С_v Q.

 

   Находим  функцию прибыли и определяем  её максимальное значение:

 

π (Q) = R-C;

 

;

 

;

 

;

 

8,4=2Q;

 

Q=4,2- точка max;

 

.

 

   Максимальная прибыль равна 9,64.

 

 

Рисунок 3-  График полной прибыли.

 

 

   Максимум  прибыли равен 9,64 при Q=4,2. Из рисунка видно, что производство прибыльно только при ; при и - точки пересечения графика прибыли оси х, поскольку при таких значениях Q полная выручка превышает затраты.

 

   Для  аналитического определения границ  интервала, в котором производство  рентабельно (прибыль больше нуля)  необходимо решить уравнение  относительно Q.

 

>0;

 

D=70,56-32=38,6;

 

 

 

.

 

   Производство рентабельно на интервале (1,1;7,3).