Экономико-математические методы и прикладное моделирование

Расчет  коэффициентов а₁, b₁ требует предварительной оценки а₀, b₀ для предыдущего периода. В этом качестве используют коэффициенты вспомогательной линейной модели _t=0,8 + 2,8t, построенной по первым пяти уровням ряда y_t.

    С помощью "Анализ данных/РЕГРЕССИЯ" найдем

 

Примем  а₀ = а = 0,80, b₀ = b = 2,80, занесем эти значения в нулевой уровень соответствующих столбцов основной расчетной таблицы и перейдем к построению собственно модели Брауна согласно формулам:

А) Согласно условию задачи коэффициент сглаживания α=0,4 →β=1-α=0,6. По основной формуле Брауна, приняв t=0, k=1, рассчитаем начальные значения

      

Теперь перейдем к t=1 и уточним коэффициенты модели:

      Ошибка  расчета 

      

По основной формуле Брауна при t=1, k=1, рассчитаем начальные значения

      

Перейдем к t=2 и уточним коэффициенты модели

      Ошибка  расчета 

      

      По  основной формуле Брауна при t=2, k=1, получим

      

      и т.д. для t=3,4,…,9. Максимальное значение t для которых могут быть рассчитаны коэффициенты а_t и b_t, определяется количеством исходных данных и равно 9.

      Результаты  вычислений приведены в основной расчетной таблице.

 

      Таким образом, модель Брауна с коэффициентом  сглаживания α =0,4 построена.

Б) Рассмотрим второе заданное в условии значение коэффициента сглаживания α=0,7 →β=1-α=0,3.

      Выполнив  аналогичные расчеты, заполним таблицу.

 

      Таким образом, модель Брауна с коэффициентом  сглаживания α =0,7 построена.

      Для выбора лучшего значения параметра  сглаживания α рассмотрим столбцы  ошибок e_t и определим для них средние квадратические отклонения (функция СТАНДОТКЛОН).

      При α=0,4 найдем S(e) = 1,92; при α=0,7 получим S(e) = 2,32. Сравнение показывает, что 1,92<2,32, следовательно, лучшим является параметр сглаживания α=0,4 (первая модель).

4) Оценка качества построенных моделей.

    Для этого исследуем адекватность модели. Модель является адекватной, если математическое ожидание значений остаточного ряда близко или равно нулю и если значения остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному закону распределения.

    А)Модель Y(t) = 1,2 + 2,7t.

• При проверке независимости (отсутствие автокорреляции) определяется отсутствие в ряду остатков систематической составляющей, например, с помощью d-критерия Дарбина—Уотсона по формуле:        d`= 4 – 2,21=1,79

    Т.к  d` попадает в интервал от d₂ до 2 (для линейной модели при 10 наблюдениях можно взять в качестве критических табличных уровней величины d₁ = 1,08, d₂ = 1,36), значит, гипотеза  о независимости уровней остаточной последовательности, т.е. об отсутствии в ней автокорреляции, принимается и модель адекватна по данному признаку.

• Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек. С помощью мастера диаграмм построим график остатков e_t

      Поворотными считаются точки максимумов и  минимумов на этом графике (в данном случае – третья, четвертая, пятая, шестая и восьмая). Их количество p=5.

      По  формуле 

        при n=9 вычислим критическое значение p_кр = [2.45]=2

      р=5 > р_кр=2, следовательно, свойство случайности для ряда остатков выполняется. Модель по этому критерию адекватна.

• Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS-критерия:

    RS= [ε_max – ε_min]/S_ε = [2,2+2,5]/1,35 = 3,5,

      

    Расчетное значение попадает в интервал (2,7 – 3,7)  (для N=10 и 5%-го уровня значимости границы критерия (2,7 – 3,7)), следовательно, свойство нормальности распределения выполняется. Модель по этому критерию адекватна.

• Проверка равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков. В нашем случае =0, поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.

    Вывод: модель статистически  адекватна (выполняются все 4 условия).

Б) Модель Брауна (α=0,4)

• Проверку независимости можно осуществить с помощью d-критерия Дарбина—Уотсона по формуле:  

     

    Т.к  d` попадает в интервал от d₂ до 2 (для линейной модели при 10 наблюдениях можно взять в качестве критических табличных уровней величины d₁ = 1,08, d₂ = 1,36), значит, гипотеза  о независимости уровней остаточной последовательности, т.е. об отсутствии в ней автокорреляции, принимается и модель адекватна по данному признаку.

• Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек. С помощью мастера диаграмм построим график остатков e_t

      р=5 > р_кр=2, следовательно, свойство случайности для ряда остатков выполняется. Модель по этому критерию адекватна.

• Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS-критерия:

    RS= [ε_max – ε_min]/S_ε = [1,5+4,6]/1,9 =3,2,

      

    Расчетное значение попадает в интервал (2,7 – 3,7)  (для N=10 и 5%-го уровня значимости границы критерия (2,7 – 3,7)), следовательно, свойство нормальности распределения выполняется. Модель по этому критерию адекватна.

• Проверка равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков. В нашем случае ≠0, поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю не выполняется.

    Вывод: модель статистически  неадекватна (выполняются не все условия). 

5) Оцените точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации. 

Для вычисления средней относительной ошибки аппроксимации  рассмотрим ряд остатков e_t. Дополним таблицы столбцом относительных погрешностей, которые вычислим по формуле с помощью функции ABS.

А) Средняя относительная ошибка линейной модели: %<15%, т.е. точность модели приемлема.

Б) Средняя относительная ошибка модели Брауна (α=0,4): %<15%, т.е. точность модели приемлема.

      Заметим, что средняя относительная погрешность  линейной модели несколько меньше, чем для модели Брауна, значит, линейная модель является более точной. 

6) Построим точечный и интервальный прогнозы спроса  на следующие две недели (для вероятности 70% использовать t =  1,12):

Y_p(10) = = 1,2 + 2,7*10 = 28,2

Y_p(11) = = 1,2 + 2,7*11 = 30,9

Границы доверительного интервала прогноза:     

,   где k – шаг прогноза.

  

        Y₁₀=Y*(10)±U(1)=28,17±2,92;

        Y₁₁=Y*(11)±U(2)=30,87±3,05

Таблица прогнозных значений.

 

7) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически. 

Результаты  моделирования

 

Список  использованной литературы