Экономико-математические методы и прикладное моделирование

2+1+2 = 5

2+8 +1 = 6

= 0

     Решая полученную систему уравнений, находим и . 

Проверим выполнение первой теоремы двойственности

z(Y)= 200+160+170= 200 +160 +170= 460

f(Х)=5+7+3+6= = 460

Это означает, что  оптимальный план двойственной задачи определен верно.

3. Поясним нулевые значения переменных в оптимальном плане.

     Если  изделие вошло в оптимальный  план , то  в двойственных оценках оно не убыточно, т.е. стоимость ресурсов, затраченных на производство единицы изделия, равна его цене. Такие изделия эффективны, выгодны с точки зрения принятого критерия оптимальности. В нашей задаче – это изделия первого и четвертого видов.

     Если  стоимость ресурсов, затраченных  на производство одного изделия, больше его цены, то это изделие не войдет в оптимальный план из-за его убыточности. В нашей задаче план выпуска не вошли изделия второго и третьего видов, потому что затраты по ним превышают цену на   3 (10–7=3) у.е. и 1,133 (4,133-3=1,133) у.е соответственно. Этот факт можно подтвердить, подставив в ограничения двойственной задачи оптимальные значения вектора Y:

     ,

     ,

     ,

     .

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

• Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи:

   Анализ  использования ресурсов в оптимальном  плане выполняется с помощью  второй теоремы двойственности:

   Если , то , i=1,…m;

   Если , то ,  i=1,…m.

   II и III типы сырья имеют отличные от нуля оценки 0,466 и 2,266 – эти ресурсы полностью используются в оптимальном плане и являются дефицитными, т.е. сдерживающими рост целевой функции. Правые части этих ограничений равны левым частям:

1+2+4+8 ≤ 160

2+4+1+1 ≤ 170 
 

   I тип сырья используется не полностью, (180<200), поэтому имеет двойственную нулевую оценку ( = 0)

   2+1+3+2 ≤ 200

   .

   Этот  ресурс не влияет на план выпуска продукции.

         Общая стоимость  используемых ресурсов при выпуске 80 ед. продукции первого вида и 10 ед. продукции четвертого вида составит 460 у.е.:

    z(Y)= 200+160+170= 200 +160 +170= 460.

   Согласно  четвертому ограничению задачи не использованный полностью в оптимальном плане  ресурс получает нулевую оценку, которая  свидетельствует о его недефицитности. Данный ресурс не препятствует и дальше максимизировать целевую функцию .

• Проанализируем чувствительность решения к изменению запасов сырья:

Предположим, что 

запас I типа сырья увеличился на 8 ед. и теперь составляет 200+8=208 ед.; запас II типа сырья увеличился на 10 ед. и теперь составляет 160+10=170 ед. запас III типа сырья уменьшился на 5 ед. и теперь составляет 170-5=165 ед.

      Из  теоремы об оценках известно, что  колебание величины приводит к уменьшению или увеличению . Оно определяется величиной в  случае, когда при изменении величины значения переменных в оптимальном плане соответствующей двойственной задачи остаются неизменными. В нашей задаче изменение запасов сырья приведет к уменьшению значения целевой функции на 6,66 у.е.

∆==.

      После увеличения запасов сырья I типа на 8 ед., увеличения запасов сырья II типа на 10 ед. и уменьшения запасов сырья III типа на 5 ед. было получено новое решение задачи. Изменение запасов сырья в пределах интервалов устойчивости двойственных оценок привело не только к изменению значения целевой функции на -6,66 у.е., но и к изменению плана выпуска. При этом структура плана не изменилась – изделия, которые были убыточны, не вошли и в новый план выпуска, т.к. цены  на ресурсы не изменились. Новый план выпуска составляет 76,66 ед. продукции первого вида и 11,66 ед. продукции четвертого вида. Изменение общей стоимости продукции на -6,66 у.е. получено за счет уменьшения плана выпуска на 3,33 ед. продукции 1 вида у.е и увеличения на 1,66 ед. продукции 4 вида .

• Оценим целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 единиц, на изготовление которого расходуется по 2 единицы каждого вида сырья:

   Вычислим  ∆ = 2*0 + 2*7/15 + 2*34/15*10 =  - 68/15 < 0, т.е. затраты на производство данного изделия не превышают его цену, следовательно, включать такое изделие в план выгодно. 

Задача  4

     В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя (повариантно) приведен ниже в таблице

    Требуется: 

    1) Проверить наличие аномальных  наблюдений. 

    2) Построить линейную модель   , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда). 

    3) Построить адаптивную модель Брауна¹ с параметром сглаживания a= 0,4 и a= 0,7; выбрать лучшее значение  параметра сглаживания α.

    4) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).

    5) Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

    6) По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели  (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

    7) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

      Вычисления провести с одним  знаком в дробной части. Основные  промежуточные результаты вычислений  представить в таблицах (при использовании  компьютера представить соответствующие  листинги с комментариями).

    Решение:

1. Проверка наличия аномальных наблюдений.

Используем  метод Ирвина, основанный на определении  λ_t – статистик по формуле²: 

      Где  ,   .  
 

      Вывод: как мы видим, значения у₂, у₅, у₇  и у₈ являются аномальными, т.к. все, кроме них, вычисленные значения λ меньше критического значения критерия Ирвина: n=10, для уровня значимости 0,05, т.е. с 5%-ной ошибкой, λ_табл=1,5.

2) Построим линейную модель регрессии Y от t. Для проведения регрессионного анализа выполним следующие действия:

• Выберем команду Сервис→Анализ данных.
• В диалоговом окне Анализ данных выберем инструмент регрессия, а затем нажмем кнопку OK.
• В диалоговом окне Регрессия в поле Входной интервал Y введем адрес одного диапазона ячеек, который представляет зависимую переменную. В поле Входной интервал Х введем адрес диапазона, который содержит значения независимой переменной t;
• Если выделены и заголовки столбцов, то установим флажок Метки в первой строке;
• Выберем параметры вывода. В нашем примере – ячейка В32;
• Ставим флажки в полях Остатки и График остатков и нажимаем ОК.

Результаты  регрессионного анализа для временного ряда представим в таблицах 4.2 и 4.3

Таблица 4.2

Таблица 4.3

     Во  втором столбце табл. 4.2 содержатся коэффициенты уравнения регрессии  и , в третьем столбце – стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, а в четвертом – t-статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.

     Уравнение регрессии зависимости у_t (спроса на кредитные ресурсы финансовой компании) от времени t имеет вид: Y(t) = 1,2 + 2,7t.

     При вычислении «вручную» получаем те же результаты.

3) Построение адаптивной модели Брауна.

Для проведения вычислений по формуле Брауна подготовим таблицу.