Экономико-математические методы и прикладное моделирование

Федеральное агентство по образованию  ГОУ ВПО

Всероссийский заочный финансово-экономический  институт

Кафедра экономико-математических

методов и моделирования 
 
 
 
 
 
 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине «Экономико-математические методы и прикладное моделирование»

Вариант 3 
 
 
 
 
 
 

Исполнитель:

                              Хахубия Софья Константиновна

                                         специальность                 ФиК

                                                        № зачетной книжки        08ФФБ01103

                              Руководитель: доц. Горбатенко

                        Елена Николаевна

                                            
 
 
 
 
 

Владимир  – 2010

Содержание

Задача 1 3

Задача 2 4

Задача 4 8

Список используемой литературы 16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задача 1

    Некоторая фирма выпускает два набора удобрений  для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный – 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется по меньшей мере 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. ед., а  улучшенный – 4 ден. ед. Какие и сколько  наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание  почвы и минимизировать стоимость?

    Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии  к ее элементам  и получить решение  графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум и почему?

      Экономико-математическая модель

Обозначим через - количество необходимых наборов обычного удобрения,  - количество необходимых наборов улучшенного удобрения. Затраты на обычное удобрение составляют 3, а на улучшенное удобрение 4, т.е необходимо минимизировать целевую функцию:

f (x) = 3 + 4 → min

Ограничения:

     3 + 2 ≥ 10    ≥ 0

     4 + 6 ≥ 20   ≥ 0

     + 3 ≥ 7

    Решение:

     Первое  ограничение по азоту 3 + 2 ≥ 10. Прямая  3 + 2 = 10

проходит  через точки (0;5), (2;2).

     Второе  ограничение по фосфору 4 + 6 ≥ 20. Прямая 4 + 6 = 20  

проходит  через точки (5;0), (2;2).

     Третье  ограничение по калию  + 3 ≥ 7. Прямая + 3 = 7 проходит через точки (1;2), (4;1).

                

     Рис.1

     На  рис.1 заштрихована ОДР.

     Для определения движения по оптимуму построим вектор-градиент ∇, координаты которого являются частными производными целевой функции 

     Чтобы построить такой вектор нужно  соединить точку (3;4)  с началом координат. При минимизации целевой функции необходимо двигать линию уровня (линия, перпендикулярная вектору-градиенту) в противоположном направлении вектора-градиента до крайней точки ОДР (т.В) – в ней достигается минимум целевой функции.

     Для нахождения координат этой точки  достаточно решить два уравнения  прямых, получаемых из соответствующих  ограничений и дающих в пересечении  точку минимума:

            

     Отсюда  легко записать решение исходной ЗЛП: min f(x) = 14 и  достигается при и .

  Ответ: чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость необходимо купить 2 обычных набора и 2 улучшенных набора. Стоимость при этом будет составлять 14 денежных единиц.

     Если  решать данную задачу на максимум, то она  не будет иметь решения, так как  область допустимых решений не ограничена сверху. 

Задача 2

     Для изготовления четырех видов продукции  используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции  приведены в таблице.

  Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

• определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и II вида на 8 и 10 единиц соответственно и уменьшении на 5 единиц запасов сырья III вида;
• оценить целесообразность включения в план изделия "Д" ценой 10 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

 

Решение:

1. а) Сформулируем экономико-математическую модель задачи.

  Обозначим через  - количество продукции каждого вида. Целевая функция имеет вид:

  f(x)=5+7+3+6→max

  а ограничения  по видам сырья

              3+1+3+2 ≤ 200

              1+2+4+8 ≤ 160

              2+4+1+1 ≤ 170               

                ≥ 0

   б)  Поиск оптимального плана выпуска продукции.

  Решение задачи выполним с помощью надстройки Excel Поиск решения.

  В нашей задаче оптимальные значения вектора Х=() будут помещены в ячейках B3:E3, оптимальное значение целевой функции – в ячейке F4.

     Введем  исходные данные. Сначала опишем целевую  функцию с помощью функции  СУММПРОИЗВ, а потом введем данные для левых частей ограничений. В Поиске решения введем направление целевой функции, адреса искомых переменных, добавим ограничения. На экране появится диалоговое окно Поиск решения с введенными условиями. После ввода параметров для решения ЗЛП следует нажать кнопку Выполнить. На экране появится сообщение, что решение найдено.

      Полученное  решение означает, что максимальный доход 460 у.е. можно получиться при  реализации 80 ед. продукции  первого  вида и 10 ед. продукции четвертого вида. При этом ресурсы сырья II и  III вида будут израсходованы полностью, а из 200 ед. сырья I типа будет израсходовано 180 ед.

2. а) Сформулируем   экономико-математическую модель двойственной задачи.

Неизвестные. Число неизвестных в двойственной задаче равно числу функциональных ограничений в исходной задаче – их 3, следовательно, в двойственной задаче 3 неизвестных:

   – двойственная  оценка I типа сырья или «цена» I типа сырья.

       – двойственная  оценка II типа сырья или «цена» II типа сырья.

      – двойственная  оценка III типа сырья или «цена» III типа сырья.

Целевая функция двойственной задачи формулируется на минимум

      z(Y)=200+160+170 → min

Ограничения. Число ограничений в двойственной задаче равно числу переменных в исходной задаче.

      2+1+2 ≥ 5    

     1+2+4 ≥ 7    ≥ 0

     3+4+1 ≥ 3

     2+8+1 ≥ 6       

б) Найдем оптимальный план двойственной задачи, используя теоремы двойственности.

      Воспользуемся первым соотношением второй теоремы двойственности 

Тогда  (2+1+3+2 – 200) = 0

         (1+2+4+8 – 160) = 0

            (2+4+1+1 – 170) = 0

Подставим оптимальные  значения вектора Х в полученные выражения и получим:

(2×80+1×0+3×0+2×10 – 200) = 0; (180– 200) = 0   т.к. 180<200, = 0

(1×80+2×0+4×0+8×10 – 160) = 0; (160 – 160) = 0

(2×80+4×0+1×0+1×10 – 170) = 0; (170 – 170) = 0

      Воспользуемся вторым соотношением второй теоремы  двойственности 

Если  , то 

В  нашей задаче , поэтому первое и четвертое ограничения двойственной задачи обращаются в равенства