Балансовые модели в Маркетинге

                                                                                                    (4) 

     Таким образом, имеет место определение: коэффициент прямых материальных затрат показывает, какое количество продукции i-й отрасли необходимо для производства единицы продукции j-й отрасли (с учетом только прямых затрат).

     Используя формулу (4), систему уравнений баланса (2) можно переписать в следующем виде: 

                                                                                        (5) 

     Если  ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов прямых материальных затрат а также вектор-столбец валовой продукции X и вектор-столбец конечной продукции Y: 

     

,      ,

                                                                              

     то  система уравнений (5) в матричной форме примет такой вид: 

           (6) 

     Система уравнений, или она же в матричной  форме, называется экономико-математической моделью межотраслевого баланса (моделью В. Леонтьева, моделью «затраты - выпуск»). С ее помощью можно выполнять три варианта расчетов.

     1. Задав в модели величины валовой  продукции каждой отрасли  , можно определить объем конечной продукции каждой отрасли : 

                                                                                                       (7)  

     2. Задав величины конечной продукции  всех отраслей  , можно определить величины валовой продукции каждой отрасли : 

                                                                                                (8) 

     3. Задав для ряда отраслей величины  валовой продукции, а для всех остальных отраслей объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых. В этом варианте расчета удобнее пользоваться не матричной формой модели (6), а системой линейных уравнений (5).

     В формулах (7) и (8) Е обозначает единичную матрицу n-го порядка, а  
обозначает матрицу, обратную матрице . Если определитель матрицы не равен нулю, т.е. эта матрица невырожденная, то обратная ей матрица существует. Обозначим последнюю так: 

     

  

     Тогда систему уравнений в матричной форме (8) можно записать в виде: 

                                                                                                               (8^/)  

     Элементы  матрицы В будем обозначать через , тогда из матричного уравнения (8^/) для любой i-й отрасли можно получить следующее соотношение: 

                                                                                           (9) 

     Из  соотношений  следует, что валовая продукция выступает как взвешенная сумма величин конечной продукции, причем весами являются коэффициенты , которые показывают, сколько всего нужно произвести продукции i-й отрасли для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции j-й отрасли. В отличие от коэффициентов прямых затрат коэффициенты называются коэффициентами полных материальных затрат и включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Если прямые затраты отражают количество средств производства, израсходованных непосредственно при изготовлении данного продукта, то косвенные относятся к предшествующим стадиям производства и входят в производство продукта не прямо, а через другие (промежуточные) средства производства.

     Дадим определение коэффициента полных затрат: коэффициент полных материальных затрат показывает, какое количество продукции i-й отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j-й отрасли.

     Коэффициентами  полных материальных затрат можно пользоваться, когда необходимо определить, как  скажется на валовом выпуске некоторой отрасли предполагаемое изменение объемов конечной продукции всех отраслей: 

                                                    …                                 (10) 

      

     где , и – изменения (приросты) величин валовой и конечной продукции соответственно.

     1.3 Коэффициенты прямых и полных материальных затрат, связь между ними, методы расчета

     Переходя  к анализу модели МОБ, необходимо прежде всего рассмотреть основные свойства матрицы коэффициентов прямых материальных затрат А. Коэффициенты прямых затрат по определению являются неотрицательными, следовательно, матрица А в целом может быть названа неотрицательной: А ≥ 0. Так как процесс воспроизводства нельзя осуществлять, если для собственного воспроизводства в отрасли затрачивается большее количество продукта, чем создается, то очевидно, что диагональные элементы матрицы А меньше единицы:

     Система уравнений МОБ является отражением реальных экономических процессов, в которых содержательный смысл могут иметь лишь неотрицательные значения валовых выпусков, поэтому вектор валовой продукции состоит из неотрицательных компонентов. Экономическая система обеспечивает положительный конечный выпуск по всем отраслям, если матрица коэффициентов прямых материальных затрат удовлетворяет условию продуктивности: . Это означает существование положительного вектора конечной продукции для модели МОБ.

     Рассматривая  вычислительные аспекты решения задач на основе модели МОБ, отметим, что основной объем расчетов связан с вычислением матрицы коэффициентов полных материальных затрат В. Если матрица коэффициентов прямых материальных затрат А задана и является продуктивной, то матрицу В можно находить либо по формулам прямого обращения матриц, либо с использованием итерационных методов. Одним из наиболее употребительных методов обращения матриц является метод Жордана. Часто применяется также метод, основанный на применении формулы: 

                                                                                     (11) 

где в  числителе стоит так называемая присоединенная матрица, составленная из алгебраических дополнений для элементов  транспонированной матрицы  , а в знаменателе находится определитель матрицы . В свою очередь, алгебраическое дополнение для элемента матрицы с индексами i и j получается путем умножения множителя на минор, получаемый после вычеркивания из матрицы i-й строки и j-го столбца.

     Рассмотрим  пример. Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор конечной продукции: 

     

  ;      

     Необходимо  найти коэффициенты полных материальных затрат и вектор валовой продукции, а также заполнить схему межотраслевого материального баланса.

     1. Определим матрицу коэффициентов  полных материальных затрат, используя формулу и методы матричной алгебры: 

     B =

  . 

     2. Найдем величины валовой продукции  трех отраслей (вектор X), используя формулу : 

     

   

     3. Для определения элементов первого  квадранта материального межотраслевого  баланса в нашей задаче воспользуемся  формулой, вытекающей из формулы : . Из этой формулы следует, что для получения первого столбца первого квадранта нужно элементы первого столбца заданной матрицы умножить на элементы второго столбца – на а третьего столбца – на .

     Составляющие  третьего квадранта (условно чистая продукция) находятся с учетом формулы как разность между объемами валовой продукции и суммами элементов соответствующих столбцов найденного первого квадранта.

     Четвертый квадрант в нашей задаче состоит из одного показателя и служит, в частности, для контроля правильности расчета: сумма элементов второго квадранта должна в стоимостном материальном балансе совпадать с суммой элементов третьего квадранта.

     Результаты  расчета представлены в таблице 1.2. 

     Таблица 1.2 - Межотраслевой баланс производства и распределения продукции

 

1.4 Применение балансовых моделей в задачах маркетинга

     Одной из главных функций маркетинга является производственная, которая предполагает в первую очередь организацию  материально-технического снабжения  на основе анализа хозяйственных  связей. Основным видом моделей согласования ресурсов и потребностей в материально-техническом снабжении являются балансовые модели, аналогичные рассмотренной выше модели межотраслевого баланса в стоимостном выражении.

     Чаще  всего используются межпродуктовые балансы в натуральном выражении, в которых первый раздел отражает источники формирования ресурсов продукции, а второй показывает направления использования ресурсов на текущее производственное потребление и конечное потребление. Эти балансы позволяют определить потребность в продукции каждой отрасли и взаимоувязанные объемы производства продукции, обеспечивают согласование ресурсов с потребностью на всех стадиях переработки продукции с учетом прямых и косвенных связей.

     В общем виде модель межпродуктового  баланса имеет вид: 

                                                                                     (12) 

     что по форме совпадает с моделью межотраслевого баланса в стоимостном выражении, однако здесь все величины даны в натуральных измерителях. Для примера приведем значения некоторых коэффициентов прямых материальных затрат : на изготовление одного грузового автомобиля расходуется в среднем 2,5 т стального проката, 0,5 т чугуна, 2 тыс. кВт · ч электроэнергии, 1 м³ пиломатериалов и т.д.

     Рассмотрим  решение одной из задач маркетинга на основе модели межпродуктового баланса. В моделях межпродуктовых балансов в состав объема конечной продукции  входит количество продукции, направляемой на прирост запасов и резервов. Величина этого прироста по каждой продукции часто задается вне модели, что определяет общее количество продукции каждого наименования, идущее на прирост запасов, но не дает возможности узнать, в каком объеме требуются эти запасы для обеспечения непрерывности производства, какова оптимальная величина совокупных запасов для данной продукции.

     Для того чтобы получить ответ на эти  вопросы, необходимо наряду с прямыми  затратами отражать величину запасов  и резервов в том разделе баланса, где по строкам показываются производственные связи и затраты одного вида продукта на все другие виды, а по столбцам – затраты различных продуктов на производство продукта данного определенного вида.