Учет фактора времени

     , (19)

    где e – основание натурального логарифма (≈2,71828...),

    e^dn – множитель наращения непрерывных процентов.

    Например, чему будет равна через 3 года сумма 250 тыс. рублей, если сегодня положить ее на банковский депозит под 15% годовых, начисляемых непрерывно?

    S = 250 * e^(0,15 * 3) = 392,1 тыс. рублей.

    Для непрерывных процентов не существует различий между процентной, и учетной ставками – сила роста является универсальным показателем. Однако наряду с постоянной силой роста может использоваться переменная процентная ставка, величина которой меняется по заданному закону (математической функции). В этом случае можно строить очень мощные имитационные модели, однако математический аппарат расчета таких моделей достаточно сложен и не рассматривается в настоящем пособии, так же как и начисление процентов по переменной непрерывной процентной ставке.

    Непрерывное дисконтирование с использованием постоянной силы роста выполняется  по формуле:

     , (20)

    где 1 / e^dn – дисконтный множитель дисконтирования по силе роста.

    Например, в результате осуществления инвестиционного проекта планируется получить через 2 года доход в размере 15 млн. рублей. Чему будет равна приведенная стоимость этих денег в сегодняшних условиях, если сила роста составляет 22% годовых?

    P = 15 / e^(0,22 * 2) = 9,66 млн. рублей.  

    5. Элементарные финансовые расчеты 

    Сфера использования финансовых вычислений значительно шире, чем расчет параметров банковских кредитов. Хорошее владение основами финансовой математики позволяет сравнивать между собой эффективность отдельных операций и обосновывать наиболее оптимальные управленческие решения. Для анализа финансовых показателей в настоящее время применятся самые изощренные математические методы.

    Наличие докторской степени по математике пока не является обязательным требованием  для финансового менеджера большинства  предприятий, однако знание элементарных свойств финансовых показателей и основных взаимосвязей между ними, будут ему необходимы, начиная с первого дня практической работы.

    Большую помощь финансисту оказывают специальные  компьютерные программы, а также  финансовые калькуляторы, позволяющие  автоматизировать вычисление многих показателей. Широкое распространение получило использование финансовых таблиц для начисления сложных процентов и дисконтирования. В этих таблицах приводятся значения множителей наращения (дисконтных множителей) для заданных n и i. Для нахождения наращенной стоимости достаточно умножить известную первоначальную сумму на табличное значение множителя наращения. Аналогично можно найти приведенную величину будущих денег, умножая их сумму на дисконтный множитель из таблицы. Рассмотрим некоторые другие элементарные способы использования результатов финансовых вычислений.

    В условиях нестабильной экономики банки  и другие кредиторы с целью  снижения своего процентного риска  могут устанавливать переменные ставки процентов для различных финансовых операций.

      Например, по ссуде в размере 2 млн. рублей общей продолжительностью 120 дней в течение первых двух месяцев будут начисляться 30% годовых, а начиная с 61 дня, ежемесячно простая процентная ставка будет увеличиваться на 5% (обыкновенные проценты). Фактически, ссуда разбивается на несколько составляющих, по каждой из которых установлены свои условия. Необходимо найти наращенные суммы по каждой из составляющих, а затем сложить их. Вспомним, что аналогом процентной ставки в статистике является показатель “темп прироста”. При начислении простых процентов следует говорить о базисных темпах прироста, т.к. первоначальная сумма P остается неизменной. Данная задача в статистических терминах может быть интерпретирована как сложение базисных темпов прироста с последующим умножением на первоначальную сумму займа. Общая формула расчета будет иметь следующий вид:

     , (1)

    где N общее число периодов, в течение которых проценты начисляются по неизменной ставке. Подставив в это выражение условия нашего примера, получим:

    S = 2 * (1 + (60 / 360 * 0,3) + (30 / 360 * 0,35) + (30 /360 * 0,4)) = 2,225 млн. рублей 

    Соответственно  для сложных процентов, речь пойдет уже не о базисных, а о цепных темпах прироста, которые должны не складываться, а перемножаться:

     (2)

    Подставив условия примера, получим:

    S = 2 * (1 + 0,3)^60/360 * (1 + 0,35)^30/360 * (1 + 0,4)^30/360 = 2,203 млн. рублей

    Данную  задачу можно решить несколько иным путем – рассчитав сначала  средние процентные ставки. Расчет средних процентных ставок (или расчет средних доходностей) вообще очень  распространенная в финансах операция. Для ее выполнения полезно опять вспомнить о математико-статистической природе процентных ставок. Так как начисление простых процентов происходит в арифметической прогрессии, средняя простая ставка рассчитывается как средняя арифметическая взвешенная.

     , (3)

    где N – общее число периодов, в течение которых процентная ставка оставалась неизменной

    Сложные проценты растут в геометрической прогрессии, поэтому средняя сложная процентная ставка рассчитывается как средняя геометрическая взвешенная. В качестве весов в обоих случаях используются продолжительности периодов, для которых действовала фиксированная ставка.

     (4)

    Снова используем данные нашего примера. В  случае начисления простых процентов  получим:

    ī_пр = ((0,3 * 60) + (0,35 * 30) + (0,4 * 30)) / 120 = 0,3375 = 33,75%

    S = 2 * (1 + 0,3375 * 120 / 360) = 2,225 млн. рублей 

    То  есть средняя процентная ставка составила 33,75% и начисление процентов по этой ставке за весь срок ссуды дает такой же результат, как и тот, что был получен по формуле (1). Для сложных процентов выражение примет вид:

    ī_сл = ((1 + 0,3)⁶⁰ * (1 + 0,35)³⁰ * (1 + 0,4)³⁰)^1/120 – 1 = 0,33686 = 33,69%

    S = 2 * (1 + 0,33686)^120/360 = 2,203 млн. рублей

    Начисление  процентов по средней процентной ставке 33,69% также дает результат, эквивалентный  тому, что был получен по формуле (2).

    Понимание различий механизмов наращения простых и сложных процентов помогает избегать довольно распространенных ошибок. Например, следует помнить, что такой процесс как инфляция, развивается в геометрической, а не в арифметической прогрессии, то есть к нему должны применяться правила начисления сложных, а не простых процентов. Темпы прироста цен в этом случае являются цепными, а не базисными, т.к. в каждом последующем месяце рост цен относится к предыдущему месяцу, а не к началу года или какой-либо иной неизменной базе. Например, если инфляция в январе составила 5%, в феврале 4%, а в марте 9%, то общая инфляция за квартал будет равна не 18% (сумма месячных показателей), а 19,03% (1,05 * 1,04 * 1,09 – 1). Среднемесячный уровень инфляции за этот квартал составит (1,05 * 1,04 * 1,09)^1/3 - 1 = 5,98%. С другой стороны, если объявляется, что среднемесячная инфляция за год составила 5,98%, то это не значит, что общая инфляция за год в 12 раз больше (71,76%). На самом деле годовая инфляция в этом случае составит свыше 100,7% (1,0598¹² - 1).

    Рассмотрим  ситуацию, в которой необходимо прибегнуть к антисипативному методу начисления процентов.

      Например, коммерсант предлагает вместо оплаты наличными выписать на стоимость закупленных материалов вексель в сумме 500 тыс. рублей со сроком оплаты через 90 дней, который может быть учтен в банке по простой учетной ставкой 25% годовых (коммерческие проценты с точным числом дней ссуды). Для определения суммы, которую понадобится проставить в этом векселе, ему необходимо начислить проценты на стоимость товаров, используя антисипативный метод.

      Сумма векселя составит 533,333 тыс.  рублей (500 * 1 / (1 – 90 / 360 * 0,25). Если  продавец в этот же день  учтет этот вексель в банке  (на оговоренных условиях), то  получит на руки ровно 500 тыс.  рублей (533,333 * (1 – 90 / 360 * 0,25)). Таким образом, начисление антисипативных процентов используется для определения наращенной суммы, которая затем будет дисконтироваться по той же самой ставке, по которой производилось начисление. Такое чисто техническое использование наращения по учетной ставке является преобладающим в практических расчетах.

    Наряду  с расчетом будущей и современной  величины денежных средств, часто возникают задачи определения других параметров финансовых операций: их продолжительности, и величины процентной или учетной ставок. Например, может возникнуть вопрос: сколько времени понадобится, чтобы данная сумма при заданном уровне процентной ставки удвоилась, или при каком уровне учетной ставки в течение года исходная сумма возрастет в полтора раза? Решение подобных задач сводится к преобразованию соответствующей формулы наращения (дисконтирования) таким образом, чтобы вычислить значение неизвестного параметра. Например, если надо рассчитать продолжительность ссуды по известным: первоначальной и будущей суммам, а также уровню простой процентной ставки, то преобразуя формулу начисления простых декурсивных процентов (S = P * (1 + ni)), получим формулу (5) из табл. 2.2.1. (Все формулы и их нумерация приведены в табл. 2.2.1). По такой же формуле будет определяться срок до погашения обязательства при математическом дисконтировании.

    Определение срока финансовой операции для антисипативного  начисления процентов и банковского  учета производится по формуле (6) из табл. 2.2.1. Например, нужно определить через какой период времени произойдет удвоение суммы долга при начислении на нее 20% годовых простых а) при декурсивном методе начисления процентов; б) при использовании антисипативного метода. Временная база в обоих случаях принимается равной 365 дней (точные проценты). Применив формулы (5) и (6), получим:

    а) t = (2 – 1) / 0,2 * 365 = 1825 дней (5 лет);

    б) t = (1 – 1 / 2) / 0,2 * 365 = 912,5 дней (2,5 года)

    Эти же формулы можно применить для  определения срока до погашения  обязательств при дисконтировании.

      Например, по векселю номиналом 700 тыс. рублей банк выплатил 520 тыс. рублей, произведя его учет по простой ставке 32% годовых. Чему равен срок до погашения векселя? Применив формулу (6), получим:

    t = (1 – 520 / 700) / 0,32 * 360 = 289 дней 

    Товар, стоимостью 1,5 млн. рублей оплачивается на условиях коммерческого кредита, предоставленного под 15% годовых (простая процентная ставка, временная база 360 дней). Сумма оплаты по истечении срока кредита составила 1 млн. 650 тыс. рублей. Чему равен срок предоставленного кредита? Из формулы (5) следует:

    t = (1,65 / 1,5 – 1) / 0,15 * 360 = 240 дней  

     

    Таблица 2.2.1

    Формулы расчета продолжительности финансовых операций и процентных (учетных) ставок по ним