Учет фактора времени

    4. Методы наращения  и дисконтирования  по простым и  сложным процентам. 

    Необходимость учета фактора времени требует  применения специальных объективных  методов его оценки. Учет фактора  времени осуществляется с помощью  методов наращения и дисконтирования, основу которых составляет методологический инструментарий финансовых вычислений.

    Операции  наращения денег по процентной ставке более просты и понятны, так как  с ними приходится сталкиваться довольно часто, беря или давая деньги взаймы. Однако для финансового менеджмента значительно более важное значение, имеет дисконтирование денежных потоков, приведение их будущей стоимости к современному моменту времени для обеспечения сопоставимости величины распределенных по времени платежей.

      В принципе, дисконтирование –  это наращение “наоборот”, однако  для финансовых расчетов важны  детали, поэтому необходимо более  подробно рассмотреть как прямую, так и обратную задачу процентных  вычислений. Прежде чем рассматривать  их применительно к денежным потокам, следует усвоить наиболее элементарные операции с единичными суммами (разовыми платежами).

    Процентная  ставка показывает степень интенсивности  изменения стоимости денег во времени. Абсолютная величина этого  изменения называется процентом, измеряется в денежных единицах (например, рублях) и обозначается I. Если обозначить будущую сумму S, а современную (или первоначальную) P, то I = S – P. Процентная ставка i является относительной величиной, измеряется в десятичных дробях или %, и определяется делением процентов на первоначальную сумму:

     (1)

    Можно заметить, что формула расчета  процентной ставки идентична расчету  статистического показателя “темп  прироста”. Действительно, если абсолютная сумма процента (I) представляет собой прирост современной величины, то отношение этого прироста к самой современной величине и будет темпом прироста первоначальной суммы.

      Наращение первоначальной суммы  по процентной ставке называется декурсивным методом начисления процентов.

    Кроме процентной существует учетная ставка d (другое название – ставка дисконта), величина которой определяется по формуле:

     , (2)

    где D – сумма дисконта.

    Сравнивая формулы (2) и (3) можно заметить, что  сумма процентов I и величина дисконта D определяются одинаковым образом – как разница между будущей и современной стоимостями. Однако, смысл, вкладываемый в эти термины неодинаков, если в первом случае речь идет о приросте текущей стоимости, своего рода “наценке”, то во втором определяется снижение будущей стоимости, “скидка” с ее величины. (Diskont в переводе с немецкого означает “скидка”). Неудивительно, что основной областью применения учетной ставки является дисконтирование, процесс, обратный по отношению к начислению процентов. Тем не менее, иногда она используется и для наращения. В этом случае говорят об антисипативных процентах.

    При помощи рассмотренных выше ставок могут начисляться как простые, так и сложные проценты. При начислении простых процентов наращение первоначальной суммы происходит в арифметической прогрессии, а при начислении сложных процентов – в геометрической. Вначале более подробно рассмотрим операции с простыми процентами.

    Начисление  простых декурсивных и антисипативных процентов производится по различным  формулам:  

    декурсивные проценты: (3)  

    антисипативные  проценты: , (4)  

    где n – продолжительность ссуды, измеренная в годах.

    Для упрощения вычислений вторые сомножители  в формулах (3) и (4) называются множителями наращения простых процентов:

      (1 + ni) – множитель наращения декурсивных процентов;

     1 / (1 – nd) – множитель наращения антисипативных процентов.

    Например, ссуда в размере 1 млн. рублей выдается сроком на 0,5 года под 30% годовых.

      В случае декурсивных процентов наращенная сумма (S_i) будет равна:

     1,15 млн. рублей (1 * (1 + 0,5 * 0,3), а сумма начисленных процентов (I) – 0,15 млн. рублей (1,15 – 1).

      Если же начислять проценты  по антисипативному методу, то наращенная величина (S_d) составит 1,176 млн. рублей (1 * (1 / (1 – 0,5 * 0,3), а сумма процентов (D) 0,176 млн. рублей. Наращение по антисипативному методу всегда происходит более быстрыми темпами, чем при использовании процентной ставки. Поэтому банки используют этот метод для начисления процентов по выдаваемым ими ссудам в периоды высокой инфляции. Однако у него есть существенный недостаток: как видно из формулы (4), при n = 1 / d, знаменатель дроби обращается в нуль и выражение теряет смысл.

    Вообще, начисление процентов с использованием ставки, предназначенной для выполнения прямо противоположной операции – дисконтирования – имеет оттенок некой “неестественности” и иногда порождает неразбериху (аналогичную той, которая может возникнуть у розничного торговца, если он перепутает правила определения скидок и наценок на свои товары). С позиции математики никакой сложности здесь нет, преобразовав (1), (2) и (4), получаем:

     (5)

    Соблюдая  это условие, можно получать эквивалентные результаты, начисляя проценты как по формуле (3), так и по формуле (4).

    Антисипативным  методом начисления процентов обычно пользуются в чисто технических целях, в частности, для определения суммы, дисконтирование которой по заданным учетной ставке и сроку, даст искомый результат.

    Как правило, процентные ставки устанавливаются  в годовом исчислении, поэтому  они называются годовыми. Особенностью простых процентов является то, что  частота процессов наращения  в течение года не влияет на результат. То есть, нет никакой разницы, начислять 30% годовых 1 раз в год или начислить 2 раза по 15% годовых. Простая ставка 30% годовых при одном начислении в году называется эквивалентной простой ставке 15% годовых при начислении 1 раз в полгода. Данное свойство объясняется тем, что процесс наращения по простой процентной ставке представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом a₁ = P и разностью d = (P * i).

    P, P + (P * i), P + 2 * (P * i), P + 3 * (P * i), …, P + (k – 1) * (P * i)

    Наращенная  сумма S есть не что иное, как последний k-й член этой прогрессии (S = a_k = P + n * P * i), срок ссуды n равен k – 1. Поэтому, если увеличить n и одновременно пропорционально уменьшить i, то величина каждого члена погрессии, в том числе и последнего, останется неизменной.

    Однако  продолжительность ссуды (или другой финансовой операции, связанной с  начислением процентов) n необязательно должна равняться году или целому числу лет. Напротив, простые проценты чаще всего используются при краткосрочных (длительностью менее года) операциях. В этом случае возникает проблема определения длительности ссуды и продолжительности года в днях. Если обозначить продолжительность года в днях буквой K (этот показатель называется временная база), а количество дней пользования ссудой t, то использованное в формулах (3) и (4) обозначение количества полных лет n можно будет выразить как t/K. Подставив это выражение в (3) и (4), получим:

    для декурсивных процентов: (6)  

    для антисипативных процентов: , (7)  

    В различных случаях могут применяться  различные способы подсчета числа  дней в году (соглашение по подсчету дней). Год может приниматься равным 365 или 360 дням (12 полных месяцев по 30 дней в каждом). Проблема усугубляется наличием високосных лет.

    Например, обозначение ACT/360 (actual over 360) указывает  на то, что длительность года принимается равным 360 дням. Однако возникает вопрос, а как при этом определяется продолжительность ссуды? Например, если кредит выдается 10 марта со сроком возврата 17 июня этого же года, как считать его длительность – по календарю или исходя из предположения, что любой месяц равен 30 дням? Безусловно, в каждом конкретном случае может быть выбран свой оригинальный способ подсчета числа дней, однако на практике выработаны некоторые общие принципы, знание которых может помочь сориентироваться в любой конкретной ситуации.

    Если  временная база (K) принимается равной 365 (366) дням, то проценты называются точными. Если временная база равна 360 дням, то говорят о коммерческих или обыкновенных процентах. В свою очередь подсчет длительности ссуды может быть или приближенным, когда исходят из продолжительности года в 360 дней, или точным – по календарю или по специальной таблице номеров дней в году. Определяя приближенную продолжительность ссуды, сначала подсчитывают число полных месяцев и умножают его на 30. Затем добавляют число дней в неполных месяцах. Общим для всех способов подсчета является правило: день выдачи и день возврата кредита считаются за 1 день (назовем его граничный день). В приведенном выше условном примере точная длительность ссуды составит по календарю 99 дней (21 день в марте + 30 дней в апреле + 31 день в мае + 16 дней в июне + 1 граничный день). Тот же результат будет получен, если использовать таблицу номеров дней в году (10 марта имеет порядковый номер 69, а 17 июня – 168). Если же использовать приближенный способ подсчета, то длительность ссуды составит 98 дней (21 + 2 * 30 + 16 + 1).

    Наиболее  часто встречаются следующие  комбинации временной базы и длительности ссуды (цифры в скобках обозначают соответственно величину t и K):

1. Точные проценты с точным числом дней (365/365).
2. Обыкновенные (коммерческие) проценты с точной длительностью ссуды (365/360).
3. Обыкновенные (коммерческие) проценты с приближенной длительностью ссуды (360/360).

    Различия  в способах подсчета дней могут показаться несущественными, однако при больших суммах операций и высоких процентных ставках они достигают весьма приличных размеров.

      Предположим, что ссуда в размере  10 млн. рублей выдана 1 мая с  возвратом 31 декабря этого года  под 45% годовых (простая процентная  ставка).

      Определим наращенную сумму этого кредита по каждому из трех способов. Табличное значение точной длительности ссуды равно 244 дня (365 – 121); приближенная длительность – 241 день (6 * 30 + 30 + 30 + 1).

1. 10 * (1 + 0,45 * 244/365) = 13,008 млн. рублей
2. 10 * (1 + 0,45 * 244/360) = 13,05 млн. рублей
3. 10 * (1 + 0,45 * 241/360) = 13,013 млн. рублей

    Разница между наибольшей и наименьшей величинами (13,05 – 13,008) означает, что должник  будет вынужден заплатить дополнительно 42 тыс. рублей только за то, что согласился (или не обратил внимания) на применение 2 способа начисления процентов.

    Обратной  задачей по отношению к начислению процентов является расчет современной  стоимости будущих денежных поступлений (платежей) или дисконтирование. В  ходе дисконтирования по известной будущей стоимости S и заданным значениям процентной (учетной) ставки и длительности операции находится первоначальная (современная, приведенная или текущая) стоимость P. В зависимости от того, какая именно ставка – простая процентная или простая учетная – применяется для дисконтирования, различают два его вида: математическое дисконтирование и банковский учет.

    Метод банковского учета получил свое название от одноименной финансовой операции, в ходе которой коммерческий банк выкупает у владельца (учитывает) простой или переводный вексель по цене ниже номинала до истечения означенного на этом документе срока его погашения. Разница между номиналом и выкупной ценой образует прибыль банка от этой операции и называется дисконт (D). Для определения размера выкупной цены (а, следовательно, и суммы дисконта) применяется дисконтирование по методу банковского учета. При этом используется простая учетная ставка d. Выкупная цена (современная стоимость) векселя определяется по формуле:

     (8)

    где t – срок, остающийся до погашения векселя, в днях.

      Второй сомножитель этого выражения  (1 – (t / k) * d) называется дисконтным множителем банковского учета по простым процентам. Как правило, при банковском учете применяются обыкновенные проценты с точной длительностью ссуды (2 вариант).