Учет фактора времени

    Например, владелец векселя номиналом 25 тыс. рублей обратился в банк с предложением учесть его за 60 дней до наступления срока погашения. Банк согласен выполнить эту операцию по простой учетной ставке 35% годовых. Выкупная цена векселя составит:

    P = 25000 * (1 – 60/360 * 0,35) = 23541,7 руб.,

    а сумма дисконта будет равна 

    D = S – P = 25000 – 23541,7 = 1458,3 руб. 

    При математическом дисконтировании используется простая процентная ставка i. Расчеты выполняются по формуле:

     (9)

    Выражение 1 / (1 + (t / k) * i) называется дисконтным множителем математического дисконтирования по простым процентам.

    Этот  метод применяется во всех остальных (кроме банковского учета) случаях, когда возникает необходимость  определить современную величину суммы  денег, которая будет получена в  будущем.

      Например, покупатель обязуется оплатить поставщику стоимость закупленных товаров через 90 дней после поставки в сумме 1 млн. рублей. Уровень простой процентной ставки составляет 30% годовых (обыкновенные проценты). Следовательно, текущая стоимость товаров будет равна:

    P = 1 / (1 + 90 / 360 * 0,3) = 0,93 млн. рублей

    Применив  к этим условиям метод банковского  учета, получим:

    P = 1 * (1 – 90 / 360 * 0,3) = 0,925 млн. рублей 

    Второй  вариант оказывается более выгодным для кредитора. Следует помнить, что каких-то жестких требований выбора того либо иного метода выполнения финансовых расчетов не существует. Никто не может запретить участникам финансовой операции выбрать в данной ситуации метод математического дисконтирования или банковского учета. Существует, пожалуй, единственная закономерность – банками, как правило, выбирается метод, более выгодный для кредитора (инвестора).

    Основной  областью применения простых процентной и учетной ставок являются краткосрочные  финансовые операции, длительность которых  менее 1 года. Вычисления с простыми ставками не учитывают возможность реинвестирования начисленных процентов, потому что наращение и дисконтирование производятся относительно неизменной исходной суммы P или S.

      В отличие от них сложные ставки процентов учитывают возможность реинвестирования процентов, так как в этом случае наращение производится по формуле не арифметической, а геометрической прогрессии, первым членом которой является начальная сумма P, а знаменатель равен (1 + i).

    P, P * (1 + i), P * (1 + i)², P * (1 + i)³ , …, P * (1 + i)ⁿ,

    где число лет ссуды n меньше числа членов прогрессии k на 1 (n = k – 1).

    Наращенная  стоимость (последний член прогрессии) находится по формуле:

     (10),

    где (1 + i) ⁿ – множитель наращения декурсивных сложных процентов.

    С позиций финансового менеджмента  использование сложных процентов  является более предпочтительным, т.к. признание возможности собственника в любой момент инвестировать  свои средства с целью получения  дохода является краеугольным камнем всей финансовой теории. При использовании простых процентов эта возможность часто не учитывается, поэтому результаты вычислений получаются менее корректными. Тем не менее, при краткосрочных финансовых операциях по-прежнему широко применяются вычисления простых процентов. Некоторые математики считают это досадным пережитком, оставшимся с тех пор, когда у финансистов не было под рукой калькуляторов, и они были вынуждены прибегать к более простым, хотя и менее точным способам расчета. Представляется возможным и несколько иное объяснение данного факта. При длительности операций менее 1 года (n < 1) начисление простых процентов обеспечивает получение результатов даже более выгодных для кредитора, чем использование сложных процентов. Выше уже отмечалась закономерность выбора банками именно таких, более выгодных для кредитора способов. Поэтому было бы наивно недооценивать вычислительные мощности современных банков и интеллектуальный потенциал их сотрудников, полагая, что они используют грубые методы расчетов только из-за их низкой трудоемкости. Трудно представить себе банкира, хотя бы на секунду забывающего о собственной выгоде.

    Сама  по себе сложная процентная ставка i ничем не отличается от простой и рассчитывается по такой же формуле (1). Сложная учетная ставка определяется по формуле (2). Так же как и в случае простых процентов возможно применение сложной учетной ставки для начисления процентов (антисипативный метод):

     , (11)

    где 1 / (1 – d)^n – множитель наращения сложных антисипативных процентов.

    Однако  практическое применение такого способа  наращения процентов весьма ограничено, и он относится скорее к разряду финансовой экзотики.

    Как уже отмечалось, наиболее широко сложные проценты применяются при анализе долгосрочных финансовых операций (n > 1). На большом промежутке времени в полной мере проявляется эффект реинвестирования, начисления “процентов на проценты”. В связи с этим вопрос измерения длительности операции и продолжительности года в днях в случае сложных процентов стоит менее остро. Как правило, неполное количество лет выражают дробным числом через количество месяцев (3/12 или 7/12), не вдаваясь в более точные подсчеты дней. Поэтому в формуле начисления сложных процентов число лет практически всегда обозначается буквой n, а не выражением t/K, как это принято для простых процентов. Наиболее щепетильные кредиторы, принимая во внимание большую эффективность простых процентов на коротких отрезках времени, используют смешанный порядок начисления процентов в случае, когда срок операции (ссуды) не равен целому числу лет: сложные проценты начисляются на период, измеренный целыми годами, а проценты за дробную часть срока начисляются по простой процентной ставке.

     , (12)

    где a – число полных лет в составе продолжительности операции,

    t – число дней в отрезке времени, приходящемся на неполный год,

    K –временная база.

    В этом случае вновь возникает необходимость  выполнения календарных вычислений по рассмотренным выше правилам.

    Например, ссуда в 3 млн. рублей выдается 1 января 1997 года по 30 сентября 1999 года под 28% годовых (процентная ставка). В случае начисления сложных процентов за весь срок пользования деньгами наращенная сумма составит:

    S = 3 * (1 + 0,28)^(2 + 9/12) = 5,915 млн. рублей 

    Если  же использовать смешанный способ (например, коммерческие проценты с точным числом дней), то получим:

    S = 3 * (1 + 0,28)^2 * (1 + 272 / 360 * 0,28) = 6 млн. рублей

    Таким образом, щепетильность кредитора  в данном случае оказалась вовсе  не излишней и была вознаграждена  дополнительным доходом в сумме 85 тыс. рублей.

    Важной  особенностью сложных процентов  является зависимость конечного результата от количества начислений в течение года. Здесь опять сказывается влияние реинвестирования начисленных процентов: база начисления возрастает с каждым новым начислением, а не остается неизменной, как в случае простых процентов.

      Например, если начислять 20% годовых 1 раз в год, то первоначальная сумма в 1 тыс. рублей возрастет к концу года до 1,2 тыс. рублей (1 * (1+ 0,2)). Если же начислять по 10% каждые полгода, то будущая стоимость составит 1,21 тыс. рублей (1 * (1 + 0,1) * (1 + 0,1)), при поквартальном начислении по 5% она возрастет до 1,216 тыс. рублей. По мере увеличения числа начислений (m) и продолжительности операции эта разница будет очень сильно увеличиваться. Если разделить сумму начисленных процентов при ежеквартальном наращении на первоначальную сумму, то получится 21,6% (0,216 / 1 * 100), а не 20%. Следовательно, сложная ставка 20% при однократном наращении и 20% (четыре раза по 5%) при поквартальном наращении приводят к различным результатам, то есть они не являются эквивалентными. Цифра 20% отражает уже не действительную (эффективную), а номинальную ставку. Эффективной процентной ставкой является значение 21,6%. В финансовых расчетах номинальную сложную процентную ставку принято обозначать буквой j. Формула наращения по сложным процентам при начислении их m раз в году имеет вид:

     , (13)

    Например, ссуда размером 5 млн. рублей выдана на 2 года по номинальной сложной процентной ставке 35% годовых с начислением процентов 2 раза в год. Будущая сумма к концу срока ссуды составит:

    S = 5 * (1 + 0,35 / 2)^(2 * 2) = 9,531 млн. рублей.

    При однократном начислении ее величина составила бы лишь 9,113 млн. рублей (5 * (1 + 0,35)^2; зато при ежемесячном начислении возвращать пришлось бы уже 9,968 млн. рублей (5 * 1 + (0,35 / 12)^(12 * 2)).

    При начислении антисипативных сложных  процентов, номинальная учетная  ставка обозначается буквой f, а формула наращения принимает вид:

     (14)

    Выражение 1 / (1 – f / m)^mn множитель наращения по номинальной учетной ставке.

    Дисконтирование по сложным процентам также может  выполняться двумя способами  – математическое дисконтирование и банковский учет. Последний менее выгоден для кредитора, чем учет по простой учетной ставке, поэтому используется крайне редко. В случае однократного начисления процентов его формула имеет вид:

     , (15)

    где (1 –d)ⁿ – дисконтный множитель банковского учета по сложной учетной ставке.

    при m > 1 получаем

     , (16)

    где f – номинальная сложная учетная ставка,

    (1 – f / m)^mn – дисконтный множитель банковского учета по сложной номинальной учетной ставке.

    Значительно более широкое распространение  имеет математическое дисконтирование  по сложной процентной ставке i. Для m = 1 получаем

     , (17)

    где 1 / (1 + i)ⁿ – дисконтный множитель математического дисконтирования по сложной процентной ставке.

    При неоднократном начислении процентов в течение года формула математического дисконтирования принимает вид:

     , (18)

    где j –номинальная сложная процентная ставка,

    1 / (1 + j / m)^mn – дисконтный множитель математического дисконтирования по сложной номинальной процентной ставке.

    Например, требуется определить современную стоимость платежа в размере 3 млн. рублей, который должен поступить через 1,5 года, процентная ставка составляет 40%:

    при m = 1 P = 3 / (1 + 0,4)^1,5 = 1,811 млн. рублей

    при m = 2 (начисление 1 раз в полугодие) P = (3 / (1 + 0,4 / 2)^(2 * 1,5) = 1,736 млн. рублей

    при m = 12 (ежемесячное начисление) P = (3 / (1 + 0,4 / 12)^(12 * 1,5) = 1,663 млн. рублей.

    По  мере увеличения числа начислений процентов в течение года (m) промежуток времени между двумя смежными начислениями уменьшается – при m = 1 этот промежуток равен 1 году, а при m = 12 – только 1 месяцу. Теоретически можно представить ситуацию, когда начисление сложных процентов производится настолько часто, что общее его число в году стремится к бесконечности, тогда величина промежутка между отдельными начислениями будет приближаться к нулю, то есть начисление станет практически непрерывным. Такая на первый взгляд гипотетическая ситуация имеет важное значение для финансов и при построении сложных аналитических моделей (например при разработке масштабных инвестиционных проектов) часто применяют непрерывные проценты.

    Непрерывная процентная ставка (очевидно, что при непрерывном начислении речь может идти только о сложных процентах) обозначается буквой δ (читается “дельта”), часто этот показатель называют “сила роста”. Формула наращения по непрерывной процентной ставке имеет вид: