Теория статистики

 

                                      (6.19)

 

      (6.20)

 

Дисперсия альтернативного  признака равна произведению доли единиц, обладающих признаком, и доли единиц, не обладающих им.

 

Пример 6.3. На 10000 населения приходится 4000 мужчин и 6000 женщин. Определить среднее квадратическое отклонение по полу.

Решение: Доля мужчин в населении p=4000/10000=0,4; доля женщин q=6000/10000=0,6. Тогда дисперсия , а среднее квадратическое отклонение .

 

Пример 6.4. Налоговой инспекцией одного из районов города проведено 86 проверок коммерческих фирм и в 37 обнаружены финансовые нарушения. Определить среднее квадратическое отклонение числа нарушений.

Решение: По условию n=86, m=37, тогда доля фирм, в которых обнаружены нарушения, составит p=37/86=0,43; q=1-0,43=0,57. Дисперсия - а среднее квадратическое отклонение

Правило сложения дисперсий  распространяется и на дисперсии  доли признака, то есть доли единиц с  определенным признаком в совокупности, разбитой на части (группы).

 

Внутригрупповая дисперсия доли определяется по формуле:

 

                                               (6.21)

 

Средняя из внутригрупповых дисперсий рассчитывается так:

 

,                               (6.22)

 

где n_i – численность единиц в отдельных группах.

Формула межгрупповой дисперсии имеет следующий  вид:

 

,                                         (6.23)

 

– доля изучаемого признака во всей совокупности, которая определяется по формуле:

 

.                                                   (6.24)

 

Общая дисперсия определяется по формуле:

 

.                                               (6.25)

 

Три вида дисперсий объединены между собой следующим образом:

 

.                                             (6.26)

 

Это правило сложения дисперсии доли признака.

 

Пример 6.5. Имеются следующие данные об удельном весе основных рабочих в трех цехах фирмы:

 

Цех	Удельный вес основных рабочих  в % (pi)	Численность всех рабочих в %
1 2 3	80 75 90	100 200 150
Итого	-	450

 

Определить общую дисперсию доли основных рабочих по всей фирме, используя правило сложения дисперсий.

Решение: 1) Определим долю рабочих в целом по фирме (формула 6.24).

.

2) Общая дисперсия  доли основных рабочих по фирме  в целом будет равна (формула 6.25):

.

3) Внутрицеховые дисперсии  рассчитаем, применив формулу 6.21.

4) Средняя из внутригрупповых  дисперсий будет равна (формула  6.22.)

.

5) Межгрупповую дисперсию определим по формуле 6.23.

.

Проверка вычислений показывает: 0,154 = 0,15 + 0,004.

Показатели дифференциации и концентрации

 

Анализ вариации в  рядах распределения целесообразно  дополнить показателями дифференциации.

Для оценки дифференциации значений признака ряда используются децильный коэффициент дифференциации и коэффициент фондов.

Децильный коэффициент равен отношению девятой децили к первой децили. Децильный коэффициент широко применяют при измерении соотношения уровней дохода 10% наиболее обеспеченного и 10% наименее обеспеченного населения (в разах).

Коэффициент фондов равен отношению среднего уровня 10-й децили к среднему уровню 1-й децили. Он дает более точный уровень дифференциации.

Государственная статистика регулярно публикует коэффициент фондов для характеристики дифференциации доходов. Однако в исследовательской работе чаще используется децильный коэффициент дифференциации. Его применение особенно эффективно в случае, если, например, в распределении доходов в начале первого дециля присутствуют крайне низкие доходы, а десятый дециль завершается аномально высокими доходами, которые существенно влияют на сумму доходов в этих децилях. В такой ситуации правильнее применять децильный коэффициент дифференциации, а не коэффициент фондов.

К показателям дифференциации близки по значению показатели концентрации: коэффициент Джини и коэффициент Герфиндаля.

Коэффициент концентрации Джини рассчитывается по формуле:

,                                   (6.27)

где p_i – накопленная доля (частость) численности единиц ряда

q_i – накопленная доля значений признака, приходящаяся на все единицы ряда со значеними признака не более x_i.²

Коэффициент Джини может  принимать значения от 0 до 1, поэтому  результат следует разделить либо на 100, если p_i или q_i выражен в процентах, либо на 10000, если оба показателя выражены в процентах. Чем больше концентрация признака, тем ближе коэффициент Джини к 1. Коэффициент Джини используют для характеристики степени неравномерности распределения совокупности (например, населения) по уровню признака (например, доходов).

 

Коэффициент Герфиндаля вычисляется на основе данных о доле изучаемого признака в i-той группе в совокупном объеме признака:

 

  или   ,                         (6.28)

где  – доля выручки i-той группы в общем объеме всех значений признака;

    – объём значений признака в i-той группе.

Показатель Н зависит от числа единиц в группах.

 

 

 

 

Пример 6.6. Имеются данные о полученной балансовой прибыли 50 крупнейших банков России (по состоянию на 01.01.1998 г.) (в млн. руб.):

 

1	-	974,2	11	-	188,8	21	-	143,9	31	-	85,4	41	-	69,3
2	-	609,2	12	-	187,3	22	-	134,6	32	-	84,5	42	-	66,4
3	-	588,3	13	-	186,8	23	-	120,9	33	-	82,4	43	-	66,2
4	-	562,9	14	-	171,1	24	-	112,2	34	-	79,6	44	-	59,7
5	-	436,3	15	-	167,9	25	-	108,5	35	-	74,3	45	-	59,1
6	-	432,5	16	-	164,3	26	-	101,6	36	-	74,0	46	-	58,3
7	-	283,6	17	-	160,3	27	-	101,3	37	-	73,5	47	-	57,4
8	-	265,8	18	-	159,9	28	-	97,4	38	-	73,2	48	-	53,8
9	-	231,5	19	-	157,5	29	-	97,4	39	-	73,0	49	-	51,4
10	-	211,7	20	-	147,6	30	-	92,0	40	-	71,5	50	-	51,2

 

Величина балансовой прибыли Сбербанка России на 01.07.97 –  4353,283 млн. руб.

1. Постройте вариационный ряд, образовав 7-8 интервалов произвольно.
2. Рассчитайте средний размер балансовой прибыли на один банк на основе средней арифметической, моды и медианы.
3. Рассчитайте показатели вариации.
4. Измерьте дифференциацию банков на основе децильного коэффициента и коэффициента фондов.
5. Рассчитайте коэффициент концентрации Джини и Герфиндаля.

 

Решение:

1. Распределение 50 банков  РФ по размеру балансовой прибыли  (БП) на 01.01.1998 г.

 

БП, млн. руб. xk-1-xk	Коли-чество банков		Сере-дина интер- вала xi	xifi	На-копл. час-тоты Vi, %	На-копл. час-тос- ти pi	Доля БП групп банков в общем объеме БП
	fi	в % к ито- гу						на- раст. ито- гом, qi
А	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
50-60	7	14	55	385	7	14	0,042	0,042	0,02	116487
60-80	10	20	70	700	17	34	0,076	0,118	0,006	129960
80-100	6	12	90	540	23	46	0,059	0,177	0,003	53016
100-150	8	16	125	1000	31	62	0,109	0,286	0,012	27848
150-300	13	26	225	2925	44	88	0,318	0,604	0,101	21853
300-500	2	4	400	800	46	92	0,087	0,691	0,008	93312
500-800	3	6	650	1950	49	98	0,212	0,902	0,045	651468
800-1000	1	2	900	900	50	100	0,098	1,0	0,010	512656
Итого	50	100	-	9200	-	-	1	-	0,187	1606600

 

2. Средние показатели:

а) средний размер балансовой прибыли на один банк рассчитаем по средней арифметической взвешенной:

 

б) моду рассчитаем по формуле (5.6):

 

.

 

Модальный интервал – 150-300, т.к. частота этого интервала, равная 13, является максимальной.

 

;

 

в) медиану рассчитаем по формуле (5.5):

 

.

 

Медианный интервал – 100-150, т.к. накопленная  частота этого интервала, равная 31, - первая накопленная частота, превышающая половину суммы частот ряда.

 

 

3. Показатели вариации:

а) дисперсия (по формуле 6.6):

 

= ;

 

б) среднее квадратическое отклонение (по формуле 6.7):

 

;

 

в) коэффициент вариации (по формуле 6.11):

 

 

V>35%, что свидетельствует о неоднородности совокупности.

 

4. Показатели дифференциации:

а) для нахождения децильного коэффициента определим вначале  первый и девятый децили по формуле 5.4:

 

.

 

Интервал, соответствующий  первому децилю, – 50-60, т.к. накопленная  частота этого интервала, равная 7, первая накопленная частота, превышающая 0,1 суммы частот.

 

 

Интервал, соответствующий  девятому децилю, – 300-500, т.к. накопленная частота этого интервала, равная 14, первая накопленная частота, превышающая 0,9 суммы частот.

 

Тогда децильный коэффициент  составит:    ;

б) т.к. 10% самых крупных  и 10% самых мелких банков составляют одну и ту же величину (в нашем примере ), то фондовый коэффициент составит (по данным исходной таблицы):

 

.

 

5. Показатели концентрации:

а) коэффициент Джини  рассчитаем по формуле 6.27, произведя  предварительные расчеты

 

1,652	1,428
6,018	5,428
13,156	10,974
37,448	25,168
60,808	55,568
82,984	67,718
98	90,02