Примечание:

Q i-j – трудоёмкость работы в человекоднях;

W i-j – количество исполнителей (кол. человек);

i – индекс предшествующего события;

j – индекс следующего события.                                                             

2.2 Построение и оптимизация  сетевой модели

Рассчитываем  время выполнения работы, используя  данные  из таблицы по формуле:t_ij = Q_ij/W_ij

Результаты  расчётов в часах  следующие:

t_0-1= 20:3 = 6,7

t_0-2= 40:7 = 5,7

t_0-3= 10:2 = 5

t_0-4= 20:1 = 20

t_1-5= 16:4 = 4

t_1-6= 12:2 = 6

t_2-7= 0

t_3-7= 12:2 = 6

t_4-8= 16:4 = 4

t_4-9= 20:1 = 20

t_5-10= 12:2 = 6

t_5-13= 6:1 = 6

t_6-11= 16:4 = 4

t_7-11= 30:5 = 6

t_8-3= 0

t_9-12= 40:2 = 20

t_10-13= 20:5 = 4

t_11-13= 16:4 = 4

t_12-14= 20:1  = 20

t_13-14= 20:1 = 20 

 

Рис.1. Общий вид сетевой модели:

цифры в кружках – номера событий; стрелки  между событиями – работы; дробные числа над стрелками: числитель – трудоёмкость работы (Q ij) в человекочасах( или человекоднях), знаменатель – количество исполнителей(W ij), человек; число под дробью(t_ij) – продолжительность выполнения работы в часах (или днях). 

2.3 Определение и  анализ системных характеристик исходной сетевой модели.

Как цепочки  событий от начального до конечного  события, определим все возможные  полные пути сетевой модели (см.рис.1)

L_1:  0 – 1 – 5 – 10 – 13 – 14;

L_2:  0 – 1 – 5 – 13 – 14;

L_3: 0 – 1 – 6 – 11 – 13 – 14;

L_4: 0 – 2 – 7 – 11 – 13 – 14;

L_5: 0 – 3 – 7 – 11 – 13 – 14;

L_6: 0 – 4 – 8 – 3 – 7 – 11 – 13 – 14;

L_7: 0 – 4 – 9 – 12 – 14.  

Возможных путей семь. Произведём расчёты, с помощью которых вычислим продолжительности каждого пути. Для этого воспользуемся формулой:

,

где t_ij  - продолжительности  работ данного пути (в часах).

T_L1 = 6,7+4+6+4+20=40,7

T_L2 = 6,7+4+6+20=36,7

T_L3 = 6,7+6+4+4+20=40,7

T_L4 = 5,7+0+6+4+20=35,7

T_L5 = 5+6+6+4+20=41

T_L6 = 20+4+0+6+6+4+20=60

T_L7 = 20+20+20+20=80 

Выделим критический путь L_кр. Путь с наибольшей продолжительностью по времени будет являться критическим. Это путь L₇ с продолжительностью   T_L7 = 80 ч.

 Найдём среднее  значение продолжительности пути  T_Lср. Для этого воспользуемся формулой: 

,

где n – количество путей.

Тогда T_Lср = 334,8/7 = 47,8 (ч).

Имея  величину T_Lср, рассчитаем резерв времени R_Li, для каждого пути L_i. Резерв времени вычисляем по формуле:

R_L1 = 47,8 – 40,7 = 7,1

R_L2 = 47,8 – 36,7 = 11,1

R_L3 = 47,8 – 40,7 = 7,1

R_L4 = 47,8 – 35,7 = 12,1

R_L5 = 47,8 – 41 = 6,8

R_L6 = 47,8 – 60 = - 12,2

R_L7 = 47,8 – 80 = - 32,2 

Исходные  продолжительности  путей и их резервы 

                                                                                     Таблица 2

 

Отрицательные значения R_L6 и R_L7 свидетельствует о том, что эти пути критические и условный дефицит времени составляет 12,2 ч. и 32,2 ч. Соответственно.

Рассчитаем  характеристики событий. При определении  ранних сроков наступления событий  двигаемся по сетевому графику слева направо, используем формулу:

T_р0 = 0

T_р1 = 6,7 = 6,7

T_р2 = 5,7 = 5,7

T_р3 = 20 + 4 + 0 = 24

T_р4 = 20 = 20

T_р5 = 6,7 + 4 = 10,7

T_р6 = 6,7 + 6 = 12,7

T_р7 = 20 + 4 + 0 + 6 = 30

T_р8 = 20 + 4 = 24

T_р9 = 20 + 20 = 40

T_р10 = 6,7 + 4 + 6 = 16,7

T_р11 = 20 + 4 + 0 + 6 + 6 = 36

T_р12 = 20 + 20 + 20 = 60

T_р13 = 20 + 4 + 0 + 6 + 6 + 4 = 40

T_р14 = 20 + 20 + 20 + 20 = 80 

Для определения  поздних сроков наступления событий  T_пi двигаемся по сетевому графику справа налево и используем формулу: 

T_п0 = 0

T_п1 (14-13-11-6-1) = 80 – (20 + 4 + 4 + 6) = 46

T_п2 (14-13-11-7-2) = 80 – (20 + 4 + 6 + 0) = 50

T_п3 (14-13-11-7-3) = 80 – (20 + 4 + 6 + 6) = 44

T_п4 (14-12-9-4) = 80 – (20 + 20 + 20) = 20

T_п5 (14-13-10-5) = 80 – (20 + 4 + 6) = 50

T_п6 (14-13-11-6) = 80 – (20 + 4 + 4) = 52

T_п7 (14-13-11-7) = 80 – (20 + 4 + 6) = 50

T_п8 (14-13-11-7-3-8) = 80 – (20 + 4 + 6 + 6 + 0) = 44

T_п9 (14-12-9) = 80 – (20 + 20) = 40

T_п10 (14-13-10) = 80 – (20 + 4) = 56

T_п11 (14-13-11) = 80 – (20 + 4) = 56

T_п12 (14-12) = 80 – 20 = 60

T_п13 (14-13) = 80 – 20 = 60

T_п14 (14) = 80  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ранние  и поздние сроки  наступления событий

      Таблица 3

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Вычислим максимальный запас времени, на который можно  отсрочить начало или увеличить длительность каждой работы без увеличения длительности критического пути. Этот запас называется свободным резервом времени и обозначается R_ij. Для этого воспользуемся формулой:

R_0-1 = T_п1 – T_р0 – t_0-1 = 46 – 0 – 6,7 = 39,3

R_0-2 = T_п2 – T_р0 – t_0-2 = 50 – 0 – 5,7 = 44,3

R_0-3 = T_п3 – T_р0 – t_0-3 = 44 – 0 – 5 = 39

R_0-4 = T_п4 – T_р0 – t_0-4 = 20 – 0 – 20 = 0

R_1-5 = T_п5 – T_р1 – t_1-5 = 50 – 6,7 – 4 = 39,3

R_1-6 = T_п6 – T_р1 – t_1-6 = 52 – 6,7 – 6 = 39,3

R_2-7 = T_п7 – T_р2 – t_2-7 = 50 – 5,7 – 0 = 44,3

R_3-7 = T_п7 – T_р3 – t_3-7 = 50 – 24 – 6 = 20

R_4-8 = T_п8 – T_р4 – t_4-8 = 44 – 20 – 4 = 20

R_4-9 = T_п9 – T_р4 – t_4-9 = 40 – 20 – 20 = 0

R_5-10 = T_п10 – T_р5 – t_5-10 = 56 – 10,7 – 6 =39,3

R_5-13 = T_п13 – T_р5 – t_5-13 = 60 – 10,7 – 6 = 43,3

R_6-11 = T_п11 – T_р6 – t_6-11 = 56 – 12,7 – 4 = 39,3

R_7-11 = T_п11 – T_р7 – t_7-11 = 56 – 30 – 6 = 20

R_8-3 = T_п3 – T_р8 – t_8-3 = 44 – 24 – 0 = 20

R_9-12 = T_п12 – T_р9 – t_9-12 = 60 – 40 – 20 = 0

R_10-13 = T_п13 – T_р10 – t_10-13 = 60 – 16,7 – 4 = 39,3

R_11-13 = T_п13 – T_р11 – t_11-13 = 60 – 36 – 4 = 20

R_12-14 = T_п14 – T_р12 – t_12-14 = 80 – 60 – 20 = 0

R_13-14 = T_п14 – T_р13 – t_13-14 = 80 – 40 – 20 = 20

2.4. Оптимизация сетевой модели.

 

Оптимизация сетевой модели по критерию «минимум времени» позволяет решить задачу сокращения времени выполнения всего комплекса работ. Минимизация времени выполнения всего проекта возможна только за счёт сокращения продолжительности выполнения работ, лежащих на критическом пути L_кр. Для этого с ненагруженных путей мы должны снять исполнителей и равномерно распределить их по критическому пути и близким к критическому (подкритическим) путям.  

Введём  новые обозначения: 

W_ij↓ - исполнители, снятые с работы ij;

W_ij↑ – исполнители, назначенные на работу ij ;

W`_ij – новое количество исполнителей на работе ij;

t`_ij – новая продолжительность работы ij.

При перераспределении  исполнителей необходимо соблюдать  условия:

1. W`_ij = W_ij + W_ij↑ - для критического пути;
2. W`_ij = W_ij + W_ij↓ - для ненагруженных путей;
3. = - общая сумма исполнителей, снятых с ненагруженных работ, и добавленных на работы критического пути.

 

Количество  исполнителей W_ij↓, которых возможно снять с работ, вычилим по формуле:

С учётом округления до целого получим:

W_0-1↓(р) = 3 – 20 : (6,7 + 0,5*39,3) = 2

W_0-2↓(р) = 7 – 40 : (5,7 + 0,5*44,3) = 6

W_0-3↓(р) = 2 – 10 : (5 + 0,5*39) = 2

W_0-4↓(р) = 1 – 20 : (20 + 0,5*0) = 0

W_1-5↓(р) = 4 – 16 : (4 + 0,5*39,3) = 3

W_1-6↓(р) = 2 – 12 : (6 + 0,5*39,3) = 1

W_2-7↓(р) = 0 – 0 : (0 + 0,5*44,3) = 0

W_3-7↓(р) = 2 – 12 : (6 + 0,5*20) = 1

W_4-8↓(р) = 4 – 16 : (4 + 0,5*20) = 3

W_4-9↓(р) = 1 – 20 : (20 + 0,5*0) = 0

W_5-10↓(р) = 2 – 12 : (6 + 0,5*39,3) = 1

W_5-13↓(р) = 1 – 6 : (6 + 0,5*43,3) = 1

W_6-11↓(р) = 4 – 16 : (4 + 0,5*39,3) = 3

W_7-11↓(р) = 5 – 30 : (6 + 0,5*20) = 3

W_8-3↓(р) = 0 – 0 : (0 + 0,5*20) = 0

W_9-12↓(р) = 2 – 40 : (20 + 0,5*0) = 0

W_10-13↓(р) = 5 – 20 : (4 + 0,5*39,3) = 4

W_11-13↓(р) = 4 – 16 : (4 + 0,5*20) = 3

W_12-14↓(р) = 1 – 20 : (20 + 0,5*0) = 0

W_13-14↓(р) = 1 – 20 : (20 + 0,5*20) = 0 

Из возможных  вариантов W_ij↓ выберем работы ij, с которых наиболее удобно снять исполнителей. Для этого проведём оптимизацию данного проекта безмашинным способом, переставляя исполнителей с ненагруженных путей L_i на работы ij критического пути L_кр. 

Результаты  перераспределения трудовых ресурсов(исполнителей)