Самоменеджмент

Формула средней  арифметической (простой) имеет вид 

(5.2) 

где n - численность  совокупности. 

Например, средняя  заработная плата работников предприятия вычисляется как средняя арифметическая:

 

Определяющими показателями здесь являются заработная плата каждого работника и  число работников предприятия. При  вычислении средней общая сумма  заработной платы осталась прежней, но распределенной как бы между всеми работниками поровну. К примеру, необходимо вычислить среднюю заработную плату работников небольшой фирмы, где заняты 8 человек: 

При расчете  средних величин отдельные значения признака, который осредняется, могут  повторяться, поэтому расчет средней величины производится по сгруппированным данным. В этом случае речь идет об использовании средней арифметической взвешенной, которая имеет вид 

(5.3) 

Так, нам необходимо рассчитать средний курс акций какого-то акционерного общества на торгах фондовой биржи. Известно, что сделки осуществлялись в течение 5 дней (5 сделок), количество проданных акций по курсу продаж распределилось следующим образом: 

1 - 800 ак. - 1010 руб. 

2 - 650 ак. - 990 руб. 

3 - 700 ак. - 1015 руб. 

4 - 550 ак. - 900 руб. 

5 - 850 ак. - 1150 руб. 

Исходным соотношением для определения среднего курса  стоимости акций является отношение  общей суммы сделок (ОСС) к количеству проданных акций (КПА): 

ОСС = 1010 ·800+990·650+1015·700+900·550+1150·850= 3 634 500; 

КПА = 800+650+700+550+850=3550. 

В этом случае средний  курс стоимости акций был равен 

Необходимо знать  свойства арифметической средней, что  очень важно как для ее использования, так и при ее расчете. Можно  выделить три основных свойства, которые  наиболее всего обусловили широкое применение арифметической средней в статистико-экономических расчетах. 

Свойство первое (нулевое): сумма положительных отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна сумме  отрицательных отклонений. Это очень важное свойство, поскольку оно показывает, что любые отклонения (как с +, так и с -), вызванные случайными причинами, взаимно будут погашены. 

Доказательство: 
 

Свойство второе (минимальное): сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа (а), т.е. есть число минимальное. 

Доказательство. 

Составим сумму  квадратов отклонений от переменной а: 

(5.4) 

Чтобы найти  экстремум этой функции, необходимо ее производную по а приравнять нулю: 
 

Отсюда получаем: 
 

(5.5) 

Следовательно, экстремум суммы квадратов отклонений достигается при . Этот экстремум - минимум, так как функция не может иметь  максимума. 

Свойство третье: средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной:  при а = const. 

Кроме этих трех важнейших свойств средней арифметической существуют так называемые расчетные  свойства, которые постепенно теряют свою значимость в связи с использованием электронно-вычислительной техники: 

если индивидуальное значение признака каждой единицы умножить или разделить на постоянное число, то средняя арифметическая увеличится или уменьшится во столько же раз; 

средняя арифметическая не изменится, если вес (частоту) каждого  значения признака разделить на постоянное число; 

если индивидуальные значения признака каждой единицы уменьшить  или увеличить на одну и ту же величину, то средняя арифметическая уменьшится или увеличится на ту же самую величину. 

Средняя гармоническая. Эту среднюю называют обратной средней  арифметической, поскольку эта величина используется при k = -1. 

Простая средняя  гармоническая используется тогда, когда веса значений признака одинаковы. Ее формулу можно вывести из базовой  формулы, подставив k = -1: 

(5.6) 

К примеру, нам  нужно вычислить среднюю скорость двух автомашин, прошедших один и тот же путь, но с разной скоростью: первая - со скоростью 100 км/ч, вторая - 90 км/ч. Применяя метод средней гармонической, мы вычисляем среднюю скорость: 

В статистической практике чаще используется гармоническая взвешенная, формула которой имеет вид 

(5.7) 

Данная формула  используется в тех случаях, когда  веса (или объемы явлений) по каждому  признаку не равны. В исходном соотношении  для расчета средней известен числитель, но неизвестен знаменатель. 

Например, при расчете средней цены мы должны пользоваться отношением суммы реализации к количеству реализованных единиц. Нам не известно количество реализованных единиц (речь идет о разных товарах), но известны суммы реализаций этих различных товаров. Допустим, необходимо узнать среднюю цену реализованных товаров:Вид товара Цена за единицу, руб. Сумма реализаций, руб.

а 50 500

б 40 600

с 60 1200 
 

Получаем  
 

Если здесь  использовать формулу средней арифметической, то можно получить среднюю цену, которая будет нереальна: 

Средняя геометрическая. Чаще всего средняя геометрическая находит свое применение при определении  средних темпов роста (средних коэффициентов  роста), когда индивидуальные значения признака представлены в виде относительных  величин. Она используется также, если необходимо найти среднюю между минимальным и максимальным значениями признака (например, между 100 и 1000000). Существуют формулы для простой и взвешенной средней геометрической. 

Для простой  средней геометрической 

Для взвешенной средней геометрической 

(5.9) 

Средняя квадратическая величина. Основной сферой ее применения является измерение вариации признака в совокупности (расчет среднего квадратического  отклонения). 

Формула простой  средней квадратической 

(5.10) 

Формула взвешенной средней квадратической 

(5.11) 

В итоге можно  сказать, что от правильного выбора вида средней величины в каждом конкретном случае зависит успешное решение  задач статистического исследования. Выбор средней предполагает такую  последовательность: 

а) установление обобщающего показателя совокупности; 

б) определение  для данного обобщающего показателя математического соотношения величин; 

в) замена индивидуальных значений средними величинами; 

г) расчет средней  с помощью соответствующего уравнения. 
 
 

7.2.

Медиана и мода - структурные (распределительные) средние величины 
 

Для определения  структуры совокупности используют особые средние показатели, к которым  относятся медиана и мода, или  так называемые структурные средние. Если средняя арифметическая рассчитывается на основе использования всех вариантов значений признака, то медиана и мода характеризуют величину того варианта, который занимает определенное среднее положение в ранжированном вариационном ряду. 

Медиана (Ме) - это  величина, которая соответствует  варианту, находящемуся в середине ранжированного ряда. 

Для ранжированного ряда с нечетным числом индивидуальных величин (например, 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10) медианой будет величина, которая расположена  в центре ряда, т.е. пятая величина. 

Для ранжированного ряда с четным числом индивидуальных величин (например, 1, 5, 7, 10, 11, 14) медианой будет средняя арифметическая величина, которая рассчитывается из двух смежных величин. Для нашего случая медиана равна (7+10) : 2= 8,5. 

То есть для  нахождения медианы сначала необходимо определить ее порядковый номер (ее положение в ранжированном ряду) по формуле 

(7.3) 

где n - число  единиц в совокупности. 

Численное значение медианы определяют по накопленным  частотам в дискретном вариационном ряду. Для этого сначала следует указать интервал нахождения медианы в интервальном ряду распределения. Медианным называют первый интервал, где сумма накопленных частот превышает половину наблюдений от общего числа всех наблюдений. 

Численное значение медианы обычно определяют по формуле 

(7.4) 

где xМе - нижняя граница медианного интервала; i - величина интервала; S-1 - накопленная частота  интервала, которая предшествует медианному; f - частота медианного интервала. 

Модой (Мо) называют значение признака, которое встречается  наиболее часто у единиц совокупности. Для дискретного ряда модой будет являться вариант с наибольшей частотой. Для определения моды интервального ряда сначала определяют модальный интервал (интервал, имеющий наибольшую частоту). Затем в пределах этого интервала находят то значение признака, которое может являться модой. 

Чтобы найти  конкретное значение моды, необходимо использовать формулу 

(7.5) 

где xМо - нижняя граница модального интервала; iМо - величина модального интервала; fМо - частота  модального интервала; fМо-1 - частота интервала, предшествующего модальному; fМо+1 - частота интервала, следующего за модальным. 

Мода имеет  широкое распространение в маркетинговой  деятельности при изучении покупательского  спроса, особенно при определении  пользующихся наибольшим спросом размеров одежды и обуви, при регулировании ценовой политики. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Показатели вариации 

Вариация - это  различие значений величин X у отдельных  единиц статистической совокупности. Для изучения силы вариации рассчитывают следующие показатели вариации: размах вариации, среднее линейное отклонение, линейный коэффициент вариации, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, квадратический коэффициент вариации.

Размах вариации 

Размах вариации – это разность между максимальным и минимальным значениями X из имеющихся в изучаемой статистической совокупности:

 
 

Недостатком показателя H является то, что он показывает только максимальное различие значений X и  не может измерять силу вариации во всей совокупности.

Cреднее линейное  отклонение 

Cреднее линейное отклонение - это средний модуль отклонений значений X от среднего арифметического значения. Его можно рассчитывать по формуле средней арифметической простой - получим среднее линейное отклонение простое:

 

Например, студент  сдал 4 экзамена и получил следующие оценки: 3, 4, 4 и 5. Ранее уже была рассчитана средняя арифметическая = 4. Рассчитаем среднее линейное отклонение простое: Л = (|3-4|+|4-4|+|4-4|+|5-4|)/4 = 0,5. 

Если исходные данные X сгруппированы (имеются частоты f), то расчет среднего линейного отклонения выполняется по формуле средней арифметической взвешенной - получим среднее линейное отклонение взвешенное:

 

Вернемся к  примеру про студента, который  сдал 4 экзамена и получил следующие  оценки: 3, 4, 4 и 5. Ранее уже была рассчитана средняя арифметическая = 4 и среднее линейное отклонение простое = 0,5. Рассчитаем среднее линейное отклонение взвешенное: Л = (|3-4|*1+|4-4|*2+|5-4|*1)/4 = 0,5.