Естественно считать, что увеличение x(t+dt) – x(t) объема знаний учащегося пропорционально  потраченному на это времени u(t)dt и  накопленным умениям y(t). Следовательно,

      , (1)

     где коэффициент k1 > 0 зависит от индивидуальных особенностей учащегося.  

     Увеличение  знаний за то же время пропорционально  потраченному на это времени (1 - u(t))dt, имеющимся умениям y(t) и знаниям x(t). Следовательно,

      . (2)

     Коэффициент k₂ > 0 также зависит от индивидуальности. Учащийся тем быстрее приобретает умения, чем больше он уже знает и умеет. Тем быстрее усваивает знания, чем больше умеет. Но нельзя считать, что чем больше они запомнил, тем быстрее запоминает. На правую часть уравнения (1) влияют только приобретенные в прошлом активные знания, примененные при решении задач и перешедшие в умения. Отметим, что модель (1) – (2) имеет смысл применять на таких интервалах времени, чтобы, например, пять минут можно было считать бесконечно малой величиной.  

     Можно управлять процессом обучения, выбирая  при каждом t значение функции u(t) из отрезка [0; 1]. Рассмотрим две задачи.  

     1. Как возможно быстрее достигнуть  заданного уровня знаний x1 и умений y₁? Другими словами, как за кратчайшее время перейти из точки фазовой плоскости (x₀; y₀) в точку (x₁; y₁)?  

     2. Как быстрее достичь заданного  объема знаний, т.е. выйти на прямую x = x₁? 

     Двойственная  задача: за заданное время достигнуть как можно большего объема знаний. Оптимальные траектории движения для  второй задачи и двойственной к ней  совпадают (двойственность понимается в обычном для математического  программирования смысле).  

     С помощью замены переменных z = k₂x, w = k₁k₂y перейдем от системы (1) – (2) к более простой системе дифференциальных уравнений, не содержащей неизвестных коэффициентов:

      . (3)

     (Описанная  линейная замена переменных эквивалентна  переходу к другим единицам  измерения знаний и умений, своим  для каждого учащегося.) 

     Решения задач 1 и 2, т.е. наилучший вид управления u(t), находятся с помощью математических методов оптимального управления, а именно, с помощью принципа максимума Л.С.Понтрягина. В задаче 1 для системы (3) из этого принципа следует, что быстрейшее движение может происходить либо по горизонтальным (u = 1) и вертикальным (u = 0) прямым, либо по особому решению - параболе w = z2 (u = 1/3). При  движение начинается по вертикальной прямой, при  - по горизонтальной,  при  - по параболе. По каждой из областей {z₂ > w} и {z₂ < w} проходит не более одного вертикального и одного горизонтального отрезка оптимальной траектории.  

     Используя теорему о регулярном синтезе, можно  показать, что оптимальная траектория выглядит следующим образом. Сначала  надо выйти на «магистраль» - добраться  до параболы w = z₂ по вертикальной (u = 0) или горизонтальной (u = 1) прямой. Затем пройти основную часть пути по магистрали (u = 1/3). Если конечная точка лежит под параболой, добраться до нее по горизонтали, сойдя с магистрали. Если она лежит над параболой, заключительный участок траектории является вертикальным отрезком. В частности, в случае  оптимальная траектория такова. Сначала надо выйти на магистраль – добраться по вертикальной (u = 0) прямой до параболы. Затем двигаться по магистрали (u = 1/3) от точки  до точки . Наконец, по горизонтали (u = 1) выйти в конечную точку. 

     В задаче 2 из семейства оптимальных  траекторий, ведущих из начальной  точки (z0; w0) в точки луча (z1; w1), w0 < w1 < +∞, выбирается траектория, требующая  минимального времени. При z1 < 2z0 оптимально w1 = z₀ (z₁ – z₀), траектория состоит из вертикального и горизонтального отрезков. При z₁ > 2z0 оптимально , траектория проходит по магистрали w = z₂ от точки до точки . Чем большим объемом знаний z₁ надо овладеть, тем большую долю времени надо двигаться по магистрали, отдавая при этом 2/3 времени увеличению умений и 1/3 времени – накоплению знаний. 

     Полученное  для основного участка траектории оптимального обучения значение u = 1/3 можно  интерпретировать приблизительно так: на одну лекцию должно приходиться два семинара, на 15 мин. объяснения 30 мин. решения задач. Результаты, полученные в математической модели, вполне соответствуют эмпирическим представлениям об оптимальной организации учебного процесса. Кроме того, модель определяет численные значения доли времени (1/3), идущей на повышение знаний, и доли материала (1/2), излагаемого на заключительных лекциях (без проработки на семинарах).  

     При движении по магистрали, т.е. в течение  основного периода учебного процесса, оптимальное распределение времени между объяснениями и решением задач одно и то же для всех учащихся, независимо от индивидуальных коэффициентов k1 и k2. Этот факт устойчивости оптимального решения показывает возможность организации обучения, оптимального одновременно для всех учащихся. При этом время движения до выхода на магистраль зависит, естественно, от начального положения (x0; y0) и индивидуальных коэффициентов k₁ и k₂. 

     Таким образом, модель процесса управления обучением (1) – (2) позволила получить ряд практически полезных рекомендаций, в том числе выраженных в числовой форме. При этом не понадобилось уточнять способы измерения объемов знаний и умений, имеющихся у учащегося. Достаточно было согласиться с тем, что эти величины удовлетворяют качественным соотношениям, приводящим к уравнениям (1) и (2).

     Выводы: Для управленческой деятельности, особенно в процессе принятия решений, наиболее полезны модели, которые выражаются словами или формулами, алгоритмами и иными математическими средствами. Математические методы управления можно разделить на несколько групп:

• методы оптимизации;
• методы, учитывающие неопределенность, прежде всего вероятностно-статистические;
• методы построения и анализа имитационных моделей;
• методы анализа конфликтных ситуаций (теории игр).

     Математическое  моделирование процессов управления предполагает последовательное осуществление  трех этапов исследования: 1. от исходной практической проблемы до теоретической  чисто математической задачи; 2.  внутриматематическое изучение и решение  этой задачи; 3. переход от математических выводов обратно к практической проблеме. 

     Заключение

     Моделирование – процесс исследования реальной системы, включающий построение модели, изучение ее свойств и перенос полученных сведений на моделируемую систему. Модель – это некоторый материальный или абстрактный объект, находящийся в определенном объективном соответствии с исследуемым объектом, несущий о нем определенную информацию и способный его замещать на определенных этапах познания.

     Существуют  различные виды моделей:

     - концептуальное моделирование, т.е. предварительное содержательное описание исследуемого объекта, которое не содержит управляемых переменных, играет вспомогательную роль. Модели имеют вид схем, отражающих наши представления о том, какие переменные наиболее существенны и как они связаны между собой;

     - математическое моделирование, т.е. процесс установления соответствия реальному объекту некоторого набора математических символов и выражений. Математические модели наиболее удобны для исследования и количественного анализа, позволяют не только получить решение для конкретного случая, но и определить влияние параметров системы на результат решения;

     - имитационное моделирование, т.е. воспроизведение (с помощью ЭВМ) алгоритма функционирования сложных объектов во времени, поведения объекта. Имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания. Это искусственный эксперимент, при котором вместо проведения испытаний с реальным объектом проводятся опыты на математических моделях.

     Выделяют  следующие основные этапы построения математических моделей:

     1. Содержательное описание моделируемого объекта. Такое предварительное, приближенное представление объекта исследования называется концептуальной моделью. Этот этап является основой для последующего формального описания объекта.

     2. Формализация операций. На основе содержательного описания определяется и анализируется исходное множество характеристик объекта, выделяются наиболее существенные из них. Затем выделяют управляемые и неуправляемые параметры, вводят символьные обозначения. Определяется система ограничений, строится целевая функция модели. Таким образом, происходит замена содержательного описания формальным (символьным, упорядоченным).

     3. Проверка адекватности модели. По результатам проверки модели на адекватность принимается решение о возможности ее практического использования или о проведении корректировки.

     4. Корректировка модели. На этом этапе уточняются имеющиеся сведения об объекте и все параметры построенной модели. Вносятся изменения в модель и вновь выполняется оценка адекватности.

     5. Оптимизация модели. Сущность оптимизации (улучшения) моделей состоит в их упрощении при заданном уровне адекватности. В основе оптимизации лежит возможность преобразования моделей из одной формы в другую. Основными показателями, по которым возможна оптимизация модели, являются время и затраты средств для проведения исследований и принятия решений с помощью модели.

     Практическим  использованием многочисленных моделей процессов управления обычно занимаются информационно-аналитические подразделения, службы контроллинга, качества и надежности, маркетинга и др.

     Список  литературы

1. Авилов  А.В. Рефлексивное управление. Методологические основания. - М., 2003.
2. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие. - М., 2002.
3. Блюмгардт А. Модели корпоративного управления. - Киев: Наук. думка, 2003.
4. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. – М., 1969.
5. Большаков А.С. Моделирование в менеджменте: Учеб. пособие. - М., 2000.
6. Гончаров В. В. Менеджмент в рамках основных фаз управленческого цикла. - М., 1998.
7. Друкер П.Ф. Задачи менеджмента в XXI веке. - М., 2001.
8. Кузин Б.И., Юрьев В.Н., Шахдинаров Г.М. Методы и модели управления фирмой: Учеб. для вузов. - СПб., 2001.
9. Мескон М.Х., Альберт М., Хедоури Ф. Основы менеджмента/ Пер. с англ. – М., 2002.
10. Микитский Ю. Анализ организации управления на предприятии // Менеджмент в России и за рубежом. – 1999.
11. Неуймин Я.Г. Модели в науке и технике. История, теория, практика. - Л., 1984.
12. Орлов А.И. Менеджмент. – М., 2003.
13. Репин В.В., Елиферов В.Г. Процессный подход к управлению: Моделирование бизнес-процессов. – М., 2005.