Моделирование объекта управления

1. Моделирование объекта управления

1.1. Статические характеристики и модели объекта управления

 

Объекты управления, за исключением  самых примитивных, состоят из нескольких или многих элементов, взаимодействующих  между собой. При моделировании  объекта, для упрощения работы, целесообразно  выделить в его структуре элементы, взаимодействующие друг с другом однонаправлено, описать (промоделировать) их отдельно, а затем получить модель всего объекта объединением моделей  элементов.

При нормально отлаженном производственном процессе САР основную часть времени работает в установившемся режиме. При этом объект управления, прежде всего, проявляется своими статическими свойствами, тем как он ведет себя при постоянных или очень медленно меняющихся воздействиях. Инерционно-динамические свойства объекта в установившемся режиме работы САР проявляются сравнительно не сильно, в отличие от переходного  режима работы.

Поэтому очень важно  иметь статическую характеристику объекта управления, чтобы построить  полную модель объекта в статике. Особенность реальных объектов управления состоит в том, что они могут  иметь несколько входных воздействий (управляющих и возмущающих величин), а также несколько выходных, управляемых. То есть  управляемые величины объекта представляют собой функции нескольких переменных и эти функции, как правило, нелинейные. Традиционные аналитические методы описания и моделирования таких многомерных нелинейных объектов довольно трудоемки и не применялись широко в инженерной практике. Традиционно объект старались как можно быстрее линеаризовать, а потом исследовать и оптимизировать относительно его работы по приращениям воздействий в выбранной рабочей точке.

С появлением в арсенале инженера компьютерных программ объектно - ориентированного моделирования (ООМ), например VisSim, ПК «МВТУ», Simulink и др., появилась возможность моделирования многомерных нелинейных объектов в полном объеме при относительно малой трудоемкости этих работ.

Двумерную статическую  характеристику объекта управления можно задать графически в виде семейства  линий, таблицей или двумерной аналитической  функцией, а также представить  в трехмерном пространстве.

 Статические характеристики очень многих нелинейных объектов управления в довольно широкой окрестности рабочей точки являются монотонными. Поэтому можно выделить два основных типа статических характеристик: монотонно возрастающие и монотонно убывающие. Это обстоятельство является существенным при линеаризации моделей, когда дифференциальный коэффициент усиления (статический коэффициент линейной модели) соответствующей ветви модели объекта может быть не только положительным, но и отрицательным. При управлении объектом, имеющим отрицательный коэффициент усиления по каналу управления, это следует учитывать, изменяя на противоположный знак ошибки регулирования.

 

1. Построение статических характеристик устройства формирования высоты слоя окатышей (УФВСО)

 

В качестве объекта управления выбрана часть оборудования обжиговой печи, включающая в себя устройство формирования высоты слоя окатышей (УФВСО), распределяющее ровным слоем окатыши по ширине ленты конвейера, и его привод (ДПТ с редуктором) (рис. 1). Регулирующим органом в этом случае является управляемый выпрямитель, подающий напряжение на якорь ДПТ. Такой выбор, в общем-то, произволен и определяется удобством описания объекта: в качестве объекта управления могло бы быть выбрано просто УФВСО. Тогда его управляющей величиной была бы скорость движения ленты конвейера, а регулирующим органом - ДПТ.

 

Рис. 1. Детализированная функциональная схема объекта управления САР  ПВСО –

подсистемы подачи окатышей

 

Тем не менее, будем считать  для определенности, что объект управления это УФВСО плюс его привод. Привод (ДПТ с редуктором) и УФВСО в  объекте включены последовательно. Поэтому рассмотрим модель объекта управления по частям.

УФВСО это нелинейное безинерционное звено.

Особенностью рассматриваемого звена (УФВСО) является то, что его двумерную статическую характеристику можно получить аналитически.

В качестве исходных данных взяты технические характеристики обжиговой конвейерной машины ОК-108 (Таблица 1)[3]. Вычисления и построение графиков выполнены в пакете Mathcad и представлены на рис.3.2.

Получив аналитическое  выражение нелинейной двумерной  статической характеристики УФВСО  можно перейти к построению графиков статических характеристик устройства отдельно по каналам управления и  возмущения и их линеаризации.

Линеаризация статической  характеристики необходима для построения линейной модели САР. Эта модель позволит оптимизировать регулятор САР.

В основе линеаризации нелинейных уравнений лежит предположение  о том, что в исследуемом динамическом процессе переменные (x) изменяются так, что их отклонения от установившихся значений (x⁰) остаются во времени достаточно малыми (рис. 3.3). Данное условие для САУ обычно выполняется, так как этого требует сама идея работы замкнутой автоматической системы [9].

 

 

 

Рис. 3. 2. Вывод формулы нелинейной двумерной статической характеристики

               устройства формирования высоты слоя окатышей

 

Рис. 3.3. К вопросу линеаризации 

 

Суть линеаризации заключается  в том, что для выбранной рабочей  точки, часто соответствующей номинальному режиму работы объекта управления, строится модель, отражающая реакцию  объекта (изменение управляемой  величины) на малое и очень медленное  приращение воздействий. При наличие гладкой функции двух переменных H(P,V), описывающей статическую зависимость изменения высоты слоя окатышей  (H) от скорости подачи окатышей (P) и скорости движения конвейера (V) линеаризация основывается на вычислении дифференциала статической характеристики в рабочей точке при Pp и Vp, за счет использования первых членов разложения функции в ряд Тейлора [10]:

                       

                                                                 _(3.1)

где: и   - частные производные  от функции  H (P,V), вы-

                                             численные при P = Pp и V = Vр  (рабочая точка).

 

Анализ выражения показывает, что при таких приращениях  воздействий  (ΔP и ΔV) изменение управляемой величины (H) пропорционально изменению воздействия. В этом суть линеаризации: для малых приращений объект по каждому из воздействий превращается в отдельное пропорциональное звено, а общая реакция на совокупность изменений управляющей и возмущающей величин находится как сумма соответствующих им изменений управляемой величины.

Таким образом, статический  коэффициент усиления линейной модели элемента САР или объекта управления это дифференциальный коэффициент  усиления элемента по отдельному воздействию, определенный для некоторой рабочей  точки объекта. Для линейной модели нелинейного элемента с несколькими  входными величинами и одной выходной справедлив принцип суперпозиции реакций  объекта.

Возможно применение и графической интерпретации рассматриваемого метода линеаризации, используя полученные графики статических характеристик УФВСО (рис. 3.4). Для обжиговой печи выберем рабочую точку, соответствующую скорости загрузки 100 т/час и скорости ленты конвейера 1.4 м/мин, что дает высоту слоя H равную 360 мм (рис. 3.4).

Приращения высоты слоя окатышей, вызванные приращениями воздействий, определяют коэффициенты усиления устройства по соответствующим параметрам.

По верхнему семейству  характеристик (рис. 3.4) определяется статический  коэффициент усиления УФВСО в  рабочей точке по каналу управления (скорости конвейера):

k_ск = - 250 мм/(м/мин), а по нижнему семейству характеристик определяется статический коэффициент усиления устройства по каналу возмущения (подаче окатышей): k_ок = 3.5 мм/(т/час).

Особенность УФВСО в том, что его статические характеристики по каналу управления являются убывающими. Убывание это сравнительно плавное, с относительно малым изменением крутизны, что может позволить линеаризовать характеристики в рабочей точке с экстраполяцией на прилежащую область.

Наконец, MathCAD позволяет представить двумерную статическую характеристику в трехмерном пространстве (рис. 3.5).   Такое изображение 2D-статической характеристики позволяет показать как рабочую точку, так и линию оптимального управления (линия пересечения статической характеристики и плоскости Н = 360 мм), отображающую правильное соотношение между подачей окатышей и скоростью ленты, обеспечивающее требуемое значение высоты слоя окатышей.

 

Рис. 3. 4. Двумерные графики нелинейной статической характеристики

                устройства формирования высоты  слоя окатышей 

 

Рис. 3. 5. Пространственные графики двумерной нелинейной 2D - статической

                характеристики устройства формирования высоты слоя окатышей

                

3.1.1.2. Линейная  статическая модель устройства  формирования 

             высоты  слоя окатышей (УФВСО)

Учитывая полученные выше коэффициенты усиления по каналам управления и  возмущения, линейная статическая модель устройства формирования высоты слоя окатышей (УФВСО), при линеаризации в рабочей точке, примет вид (рис. 3.6):

Рис. 3.6. Линейная статическая модель устройства формирования высоты слоя  окатышей (УФВСО)

                 

Эта модель - поведенческая. Она показывает, как влияют в статике  управляющая величина и возмущение на управляемую величину, но не отражает внутреннюю структуру объекта, а значит и взаимодействие между этими элементами. И это вовсе не является недостатком модели, это ее свойство. Просто ее нужно применять там, где удобно, где и не требуется знание внутренних взаимодействий.

3.1.1.3. Нелинейная  статическая модель устройства  формирования

             высоты слоя окатышей (УФВСО)

 

Нелинейная модель значительно  более полно описывает реальный объект управления. Линейная модель адекватна в области рабочей точки, т.е. может характеризовать свойства САР и поведение объекта управления в переходном и установившемся режимах при относительно малых и медленных возмущениях, т.е. в процессе нормальной работы САР. Нелинейная модель может правильно показать, как поведет себя САР и объект далеко от рабочей точки (номинального режима), например при запуске технологического процесса с нуля.

 

3.1.1.4. Статическая  модель двигателя постоянного  тока 

 

Первым из двух элементов  объекта управления - подсистемы загрузки окатышей в обжиговую печь является привод: исполнительный электродвигатель с редуктором, преобразующим с точки зрения управления частоту вращения вала в скорость ленты конвейера (см. рис. 3.1). Обычно для приводов ленты конвейера обжиговых машин применяют двигатели постоянного тока (ДПТ) независимого или параллельного возбуждения в продуваемом исполнении [3].

ДПТ широко используются в  качестве как самостоятельных объектов управления в системах автоматизированного  электропривода, так и элементов  этих объектов, а также и как  исполнительные механизмы и регулирующие органы. Поэтому имеет смысл рассмотреть  модель ДПТ отдельно, а затем включить ее в модель объекта управления вместе с УФВСО.

3.1.1.5. Статическая  модель объекта управления САР высоты слоя окатышей

 

              Учитывая, что подсистема формирования слоя окатышей это, как было показано выше (рис. 3.1), совокупная модель ДПТ и УФВСО, включенных последовательно, можно сформировать нелинейную статическую модель объекта управления  САР (рис.3.21а, б).

 

 

Рис. 3.21а. Статическая модель подсистемы подачи окатышей (УФВСО с приводом)      

 

Рис. 3.21б. Статическая модель подсистемы подачи окатышей (УФВСО с приводом),       но заключенная в составной блок

 

Используя нелинейную статическую  модель подсистемы подачи окатышей выполним эксперимент для получения ее статических  характеристик по каналам  управления и возмущения (рис.3.22).

 

Рис. 3.22. Статические характеристики объекта управления САР стабилизации высоты слоя окатышей. Характеристики по управлению имеют отрицательный наклон и слабо выраженную нелинейность, что в принципе может позволить аппроксимировать их прямыми линиями

 

              Полученные характеристики позволяют  линеаризовать подсистему формирования  слоя окатышей и в статике  описать ее уравнениями: 

                   

                             (3.7.)

                          или для приращений в рабочей  точке

                         

3.1.2. Динамические  характеристики и модели объекта  управления 

               Динамическая модель УФВСО - та  же самая, что и статическая,  поскольку это устройство в  данном рассмотрении безинерционное. Поэтому динамические характеристики объекта управления будет в данном случае определять только входящий в него ДПТ.