Методы принятия управленческих решений

       Принцип выделения одного оптимизируемого критерия  формально может быть записан следующим образом:

,где

fi-оптимизируемый критерий при условиях:

;

fqdop. - допустимое значение критерия.

Один из критериев является оптимизируемым и выбирают тот вариант, при котором достигается максимум этого критерия. На другие критерии накладываются ограничения.

       Принцип последовательной уступки. Предположим, что локальные критерии расположены в порядке убывающей важности: сначала основной критерий f1, затем другие, вспомогательные критерииf2,f3,… Как и ранее, считаем, что каждый их них нужно обратить в максимум. Процедура построения компромиссного решения сводится к следующему. Сначала находят решение, обращающее в максимум главный критерий f1. Затем, исходя из практических соображений, например, из точности, с которой известны исходные данные, назначают некоторую “уступку” f1, допустимую для того,чтобы обратить в максимум второй критерий f2. Налагаем на критерий f2 требование, чтобы он был меньше, чем f1max-f1, где f1max– максимально возможное значение f1, и при этом ограничении ищем вариант, обращающий в максимум f2. Далее снова назначают “уступку” в критерии f2, ценой которой можно максимизировать f3 и т. д.

      Такой способ построения компромиссного решения хорош тем, что здесь отчётливо видно, ценой какой ”уступки” в одном критерии приобретается выигрыш в другом. Свобода выбора решения, приобретаемая ценой даже незначительных “уступок”, может оказаться существенной, так как в районе максимума обычно эффективность решения меняется очень слабо.

       Ранее предполагалось, что лучшим считается большее значение локальных критериев, то есть решалась задача максимизации интегрального критерия.

       В том случае,  если лучшим считается меньшее значение критериев, то от задачи максимизации следует перейти к задаче минимизации. Если ряд критериев необходимо максимизировать, а остальные минимизировать, то для выражения интегрального критерия можно использовать соотношение:

либо

,где

fq,-локальные критерии, которые необходимо максимизировать;

fq,-локальные критерии, которые необходимо минимизировать.

       В некоторых случаях минимизируемые критерии удаётся заменить на обратные им, и тогда решается только задача максимизации. Важным этапом решения рассматриваемой задачи является этап нормализации критериев, а также задания и учёта их приоритетов.

Способы нормализации критериев.

       Проблема нормализации критериев возникает во всех задачах векторной оптимизации, в которых локальные критерии оптимальности имеют различные единицы измерения. Исключение составляют те задачи, в которых в качестве схемы компромисса применяется принцип относительной уступки.

       В основу нормализации критериев положено понятие “идеального вектора”, то есть вектора с “идеальными” значениями параметров

.

В нормализованном пространстве критериев вместо действительного значения критерия fq рассматривается безразмерная величина:

Если лучшим считается большое значение критерия и если 

Успешное решение проблемы нормализации во многом зависит от того, насколько правильно и объективно удаётся определить идеальные значения . Способ выбора идеального вектора  и определяет способ нормализации. Рассмотрим основные способы нормализации.

     Способ 1: идеальный вектор определяется заданными величинами критериев: 

Недостатком этого способа является сложность и субъективность назначения , что приводит к субъективности оптимального решения.

     Способ 2: в качестве идеального вектора выбирают вектор, параметрами которого являются максимально возможные значения локальных критериев:

Недостатком этого способа является то, что он существенно зависит от максимально возможного уровня локальных критериев. В результате равноправие критериев нарушается и предпочтение автоматически отдаётся варианту с наибольшим значением локального критерия.

    Способ 3: в качестве параметров идеального вектора принимают максимально возможный разброс соответствующих локальных критериев, то есть 

Известны и другие способы нормализации. Нормализация критериев по существу является преобразованием пространства критериев, в котором задача выбора варианта приобретает большую ясность.

Способы задания и учёта приоритета критериев.

       Приоритет локальных критериев может быть задан с помощью ряда приоритета, вектора приоритета, весового вектора.

       Ряд приоритета   является упорядоченным множеством индексов локальных критериев ={1,2,…,k}

Критерии, индексы которых стоят слева, доминируют над критериями, индексы которых стоят справа. При этом доминирование является качественным: критерий f1 всегда более важен, чем f2 и т.д.

       В этом случае, если среди критериев имеются равноприоритетные, они выделяются в ряде приоритета скобками, например: ={1,2,(3,4),…,k}

       Приоритет критериев может быть задан вектором приоритета:  

компоненты которого представляют собой отношения, определяющие степень относительного превосходства по важности двух соседних критериев из ряда приоритетов, а именно: величина λqопределяет, на сколько критерий fq важнее критерия fq+1. Если некоторые критерии  fq и fq+1 равнозначны, то соответствующая компонента λq=1. Для удобства вычислений обычно полагают λk=1. Вектор приоритета  определяется в результате попарного сравнения локальных критериев, предварительно упорядоченных в соответствии с рядом приоритета . Очевидно, что любая компонента вектора приоритета  удовлетворяет соотношению: λq≥1,  q=1,…,k.

           Весовой вектор:  представляет собой k-мерный вектор, компоненты которого связаны соотношениями:

Компонента αq вектора  имеет смысл весового коэффициента, определяющего относительное превосходство критерия fq над всеми остальными. Компоненты векторов  связаны соотношениями

                                    .

Приоритет критериев проще задавать с помощью вектора приоритета, поскольку его компоненты определяются сравнением важности только двух соседних критериев, а не всей совокупности критериев, как при задании весового вектора. Причем это удобно делать последовательно, начиная с последней пары критериев, положив λк=1. Можно показать, что при λк=1

Если приоритет критериев задан в виде ряда, то при выборе оптимального варианта применяют принцип «жесткого приоритета», при котором осуществляется последовательная оптимизация. При этом не допускается повышение уровня критериев с низкими приоритетами, если происходит хотя бы небольшое снижение значения критерия с более высоким приоритетом.

Если заданы вектор приоритета  или весовой вектор , то при выборе оптимального варианта можно использовать принцип «гибкого приоритета». При этом оценка варианта производится по взвешенному векторному критерию, где в качестве компонент вектора критериев {f1, f2,…, fk} используются компоненты вектора {α1f1, α2f2,…, αkfk}. В этом случае могут быть применимы все рассмотренные принципы выбора варианта в области компромиссов (принцип равенство, справедливой уступки и т.д.) с заменой fq на αqfq.

Примером многокритериальной задачи принятия решений может служить рассмотренная ранее задача выбора метода кодирования картографической информации в следующей интерпретации. Алгоритмы, реализующие тот или иной метод кодирования (линейная интерполяция, интерполяция классическими многочленами, кубические сплайны  и т.п.), характеризуются следующими локальными критериями: погрешность интерполяции – f1, время реализации алгоритма – f2, требуемый объем памяти – f3 и т.п. Пусть для проектировщика эти локальные критерии в данной ситуации имеют следующую относительную важность: λ1, λ2, λ3, и т.д. соответственно. Тогда при использовании метода абсолютной уступки для случая трех локальных критериев лучшим будет такой метод кодирования, для которого:

где: i – i-й метод кодирования, i=1,…,n.