Математические модели в маркетинге

Рассмотрим  пример. Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор конечной продукции

A = , Y =.

 

Необходимо найти  коэффициенты полных материальных затрат и вектор валовой продукции, а  также заполнить схему межотраслевого материального баланса.

Определим матрицу  коэффициентов полных материальных затрат, используя формулу и методы матричной алгебры:

B = .

2. Найдем величины  валовой продукции трех отраслей, используя формулу:

X = B= =

.

3. Для определения  элементов первого квадранта  материального межотраслевого баланса  в нашей задаче воспользуемся  формулой, вытекающей из формулы:  x_ij = a_ij. Из этой формулы следует, что для получения первого столбца первого квадранта нужно элементы первого столбца заданной матрицы А умножить на Х₁ = 775,3, элементы второго столбца А - на Х₂ = 510,1, а третьего столбца - на Х₃ = 729,6.

Составляющие  третьего квадранта находятся с  учетом формулы как разность между  объемами валовой продукции и  суммами элементов соответствующих  столбцов найденного первого квадранта.

Четвертый квадрант в нашей задаче состоит из одного показателя и служит, в частности, для контроля правильности расчета: сумма элементов второго квадранта  должна в стоимостном материальном балансе совпадать с суммой элементов  третьего квадранта.

 

Таблица 25.2. Межотраслевой  баланс производства и распределения  продукции

Применение  балансовых моделей  в задачах маркетинга. Одной из главных функций маркетинга является производственная, которая предполагает в первую очередь организацию материально-технического снабжения на основе анализа хозяйственных связей. Основным видом моделей согласования ресурсов и потребностей в материально-техническом снабжении являются балансовые модели, аналогичные рассмотренной выше модели межотраслевого баланса в стоимостном выражении.

Чаще всего  используются межпродуктовые балансы в натуральном выражении, в которых первый раздел отражает источники формирования ресурсов продукции, а второй показывает направления использования ресурсов на текущее производственное потребление и конечное потребление. Эти балансы позволяют определить потребность в продукции каждой отрасли и взаимоувязанные объемы производства продукции, обеспечивают согласование ресурсов с потребностью на всех стадиях переработки продукции с учетом прямых и косвенных связей.

В общем виде модель межпродуктового баланса имеет вид:

 

; i =,

что по форме  совпадает с моделью межотраслевого баланса в стоимостном выражении, однако здесь все величины даны в  натуральных измерителях. Для примера  приведем значения некоторых коэффициентов  прямых материальных затрат а_ij: на изготовление одного грузового автомобиля расходуется в среднем 2,5т стального проката, 0,5т чугуна, 2 тыс. кВт X_j

Существует другой метод расчета отраслевых индексов динамики цен, основанный на модели прямого  счета. Здесь выполняются равенства:

x*_ij = r_t; X*_j = r_j.

Следовательно, систему уравнений можно переписать в виде:

r_j; j = 1,2 … n.

А если учесть, что  по определению коэффициента прямых материальных затрат Х_ij = X_j а_ij, то систему можно представить в следующем виде:

r_j, j=1,2 … n.

Разделив левые  и правые части уравнений на X_j, получим:

r_{j =}; j = 1,2 … n.

 

Обозначим через  r = вектор-строку индексов динамики отраслевых перспективных цен, через G = - вектор-строку, компонентами которого являются величины g_j =. Тогда систему уравнений можно написать в матричном виде:

r = r

где А - матрица коэффициентов прямых материальных затрат.

Решение матричного уравнения таково:

r = ^-1 =

где В= ^-1 - матрица коэффициентов полных материальных затрат.

Рассмотрим конкретный пример. Пусть исходные данные будут те же, что и в предыдущем примере. Планируется перейти на новые отраслевые цены таким образом, чтобы условно чистый доход в отраслях в этих ценах составил Z*₁ = 179,0; Z*₂ = 189,0; Z*₃ = 300,0. Используя модель прямого счета, надо определить индексы динамики отраслевых цен в сравнении с базисным годом, обеспечивающие достижение запланированных уровней условно чистого дохода во всех отраслях.

1. Находим матрицу  коэффициентов полных материальных  затрат В = ^-1. В данном случае она будет такой:

В =

 

2. Найдем величины  валовой продукции трех отраслей  в действующих отраслевых ценах.  Воспользовавшись результатами  счета в первом же примере,  определяем, что Х₁ = 775,3; X₂ = 510,1; X₃ = 729,6.

Находим составляющие вектора-строки G:

G₁ = = 0,23; G₂ = G₃ = = 0,41.

4. В соответствии  с формулой искомые индексы  динамики отраслевых цен в  сравнении с базисным годом  будут равны:

r = =.

Таким образом, чтобы достичь запланированных  уровней условно чистого дохода, отраслевые цены в трех отраслях должны увеличиться соответственно на 13, 18, 8%.

Если сопоставить  запланированные уровни условно  чистого дохода с соответствующими уровнями этой величины в действующих  отраслевых ценах, то можно определить, что при определенных выше индексах динамики отраслевых цен величина условно  чистого дохода увеличиться в  трех отраслях на 15, 23 и 3% соответственно. Это свидетельствует о тесной взаимоувязанности цен в межотраслевом балансе.

1.3 Оптимизационные  модели в маркетинге

Оптимизационными  задачами, в экономике  называются экономико-математические задачи, цель которых  состоит в нахождении наилучшего с точки  зрения некоторого критерия варианта использования наличных ресурсов. Решаются такие задачи с помощью оптимизационных моделей методами математического программирования.

В отличие от дескриптивных, т.е. описательных моделей, примером которых  могут служить  рассмотренные выше балансовые модели, оптимизационные  модели наряду с уравнениями  или неравенствами, описывающими взаимосвязи  между переменными, содержат также критерий для выбора, называемый функционалом, или целевой функцией. Таким образом, общая структура этих моделей состоит из целевой функции, принимающей значения в пределах ограниченной условиями задачи области, и из ограничений, характеризующих эти условия. Целевая функция в самом общем виде определяется тремя моментами: управляемыми переменными, неуправляемыми параметрами и видом зависимости между ними. Если обозначить критерий оптимальности через U, управляемые переменные -=, параметры - = заданные пределы изменения управляемых переменных - M, то общий вид оптимизационной модели будет следующим:

U = f()ext;

M

Задачи  вида решаются методами математического  программирования, которое  включает в себя линейное, нелинейное, динамическое, целочисленное программирование и т.д. Выбор методов  математического  программирования для  решения оптимизационных  задач определяется видом целевой  функции f, видом ограничений, определяющих область М, и специальными ограничениями на управляемые переменные. Решение задачи получения уравнения обычно называется оптимальным решением, или оптимальным планом.

Рассмотрим прежде всего оптимизационные задачи, сводящиеся к задачам линейного программирования. В общем виде такая задача может быть сформулирована, например, следующим образом.

Найти вектор = максимизирующий линейную целевую функцию;

f= , ограничениям а также удовлетворяющий линейным функциональным ограничениям:

i =

Кроме того, искомый вектор должен удовлетворять  и прямым ограничениям:

x_j

Задача  может быть записана в канонической форме, при которой функциональные ограничения имеют  вид равенств. Это  достигается путем  прибавления к  левым частям этих ограничений т дополнительных неотрицательных переменных. ЗЛП в канонической форме решается симплексным методом, в то же время для некоторых ЗЛП специального вида разработаны соответствующие методы решения. Некоторые из них не связаны непосредственно с алгоритмом симплексного метода, как, например, метод потенциалов для решения транспортной задачи; другие же в качестве составных элементов используют вычислительные процедуры симплексного метода. В качестве примера последних можно привести метод Гомори для решения задач линейного целочисленного программирования.

Оптимизационные задачи, сводящиеся к задачам линейного  программирования, широко используются в процессе экономико-математического  моделирования. Однако задачами линейного  программирования не исчерпываются все  виды оптимизационных  экономических задач, так как во многих случаях целевая  функция задачи и  ограничения на область  допустимых решений  не удовлетворяют  условиям линейности. Тогда применяются  специальные методы нелинейного программирования, например метод множителей Лагранжа, динамического  и имитационного  программирования и  др.

Перейдем  к рассмотрению конкретных прикладных задач  маркетинга, решаемых на основе оптимизационных  моделей.

Статическая модель оптимизации  прикрепления потребителей к поставщикам. Основной математической моделью  оптимального прикрепления потребителей к поставщикам  является так называемая транспортная задача линейного программирования, которая в общем  виде формулируется  следующим образом:

В т пунктах отправления, которые в дальнейшем будем называть поставщиками, сосредоточено определенное количество единиц некоторого однородного продукта, которое обозначим a_i.

Данный  продукт потребляется в n пунктах, которые будем называть потребителями; объем потребления обозначим через b_j =.