Математические методы в менеджменте и маркетинге

    ,

    где -постоянные коэффициенты (константы, параметры уравнения).

    Уравнение прямой описывает такую связь  между двумя переменными, при которой с изменением независимой переменной на какую-либо постоянную величину зависимая переменная изменяется на другую постоянную величину (в частности, при изменении х на одну единицу, величина у изменяется на а единиц).

    Если  качественный анализ изучаемой зависимости  допускает прямолинейный характер связи двух переменных, то это предположение проверяется затем непосредственно на количественных данных.

    Для этого необходимо иметь ряд фактических  значений переменной X и соответствующих ей величин зависимой переменной у. Поскольку корреляционная связь с достаточной четкостью и полнотой проявляется лишь в массе случаев, количество наблюдений, на основании которых строится модель, должно быть достаточно велико. Считается, что число наблюдений должно, по меньшей мере, в 5-6 раз превышать количество параметров уравнения.

    Вывод о прямолинейном характере связи  проверяется вначале путем простого сопоставления по имеющимся данным вариации зависимой и независимой переменных, а также графическим способом. При графическом способе каждое наблюдение отмечается в виде точки в прямоугольной системе координат, в которой по оси абсцисс отсчитываются значения х, по оси ординат - значения у. При достаточно большом количестве наблюдений расположение точек на графике позволяет определить правильность или ошибочность представления о линейном характере связи между изученными переменными.

    Для выявления уравнения прямой при данной конкретной зависимости между х и у необходимо определить численные значения постоянных величин уравнения (), при которых прямая будет наилучшим образом соответствовать имеющимся фактическим данным. Критерий, по которому отыскивается «наилучшая прямая», в известной мере условен. В качестве такого критерия принято брать минимум суммы квадратов отклонений фактических значений у от вычисленных по уравнению прямой.

    Минимуму  квадратов отклонений соответствует  единственная прямая, коэффициенты которой отыскиваются так называемым методом наименьших квадратов.

    Таким образом, если связь между х и у характеризуется прямой вида , то первой задачей корреляционного исчисления является определение таких значений , при которых сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений , от расчетных будет минимальной, то есть:

    Уравнение прямой можно записать следующим образом:

    ;

      подставляя значение в условие минимизации суммы квадратов,  получим: 

    Рассматриваемая сумма квадратов представляет собой  функцию, в которой и являются известными величинами (исходными данными), а - неизвестными (искомыми) величинами.

    В точке минимума функции первая производная  равна 0. Поэтому для расчета искомых коэффициентов прямой необходимо приравнять нулю частные производные данной функции по . Обозначив функцию в целом через и отбросив подписанные индексы у х и у, имеем:

    ,

    ,

    После упрощения и почленного суммирования получаем:

    ;

    .

    Это так называемая система нормальных уравнений, решение которой приводит к определению величины коэффициентов и все остальные входящие в систему величины рассчитываются на основании фактических исходных данных; N обозначает число единиц наблюдения.

    Зависимость может отражаться кривой, имеющей  минимум.

    Так, при изучении связи между размером предприятий и себестоимостью единицы их продукции логично предположить, что до известного предела увеличение размера предприятия способствует снижению себестоимости, а дальнейший его рост приведет к росту себестоимости в связи с усилением действия отрицательных особенностей предприятий-гигантов.

    Отыскание этого минимума, т. е. оптимального размера предприятия, становится важной задачей самого моделирования. Простейшей кривой, описывающей подобного рода зависимости, является парабола второго порядка, характеризуемая уравнением:

    .

    При более сложном характере зависимости  анализируется возможность применения параболы третьего порядка: .

    Вообще, любая зависимость между двумя  переменными может быть описана с помощью параболы n-го порядка:

    .

    Кроме того, часто используются следующие  кривые:

    ; и т. д.

    При использовании любой формы криволинейной  корреляционной зависимости теснота связи между переменными может быть определена с помощью индекса корреляции (i), который

    определяется  аналогично коэффициенту корреляции, т. е. по формуле:  

    ,где - средний квадрат отклонений фактических значений у от значений, вычисленных по уравнению кривой;

    - средний квадрат  отклонений фактических  значений у от их средней арифметической величины.

    Индекс  корреляции по величине изменяется от 0 до 1/ Определенного знака он не имеет, так как на протяжении кривой линии характер связи может изменяться: на одних участках кривой корреляция переменных положительная, на других -отрицательная. Индекс корреляции ~ условная величина, рассчитываемая лишь по отношению к конкретной форме кривой, и его абсолютное значение всегда может быть доведено до единицы.

    Например, если в качестве кривой взять параболу, в уравнении которой количество постоянных коэффициентов равно числу исходных единиц наблюдения, то кривая пройдет через все точки графика, а величина индекса корреляции достигнет единицы. Однако было бы ошибочно считать это признаком выявления кривой, наилучшим образом характеризующей изучаемую зависимость. Слишком сложные уравнения регрессии, как правило, лишены реального экономического содержания, так как в них теряется различие между нетипичным и существенным, а случайность возводится в закономерность.

    Поэтому усложнение уравнения допустимо  лишь в определенных пределах. Параметры уравнения должны поддаваться определенному экономическому толкованию.

    Корреляционный  анализ основывается обычно на достаточно большой совокупности исходных данных, которая, однако, не охватывает все аналогичные, однородные в качественном отношении данные.

 

Дисперсионный анализ

    Дисперсионный анализ  – метод, позволяющий анализировать влияние различных факторов на исследуемую переменную. Был разработан  Р. Фишером в 1925 году.

    Целью дисперсионного анализа является проверка значимости различия между средними с помощью сравнения дисперсий. Дисперсию измеряемого признака разлагают на независимые слагаемые, каждое из которых характеризует влияние того или иного фактора или их взаимодействия. Последующее сравнение таких слагаемых позволяет оценить значимость каждого изучаемого фактора, а также их комбинации.

    При проведении исследования рынка часто  встает вопрос о сопоставимости результатов. Например, проводя опросы по поводу потребления какого-либо товара в  различных регионах страны, необходимо сделать выводы, на сколько данные опроса отличаются или не отличаются друг от друга. Сопоставлять отдельные показатели не имеет смысла и поэтому процедура сравнения и последующей оценки производится по некоторым усредненным значениям и отклонениям от этой усредненной оценки. Изучается вариация признака. За меру вариации может быть принята дисперсия. Дисперсия σ2 – мера вариации, определяемая как средняя из отклонений признака, возведенных в квадрат.

    В дисперсионном анализе выделяют:

• Модель I, в которой уровни факторов фиксированные;
• Модель II, в которой факторы случайны

    Вследствие  варьирования фактора можно исследовать  его влияние на величину отклика. Сейчас общая теория дисперсионного анализа разработана для моделей I.

    В зависимости от количества факторов, определяющих вариацию результативного  признака, дисперсионный анализ подразделяют на однофакторный и многофакторный.

    Основными схемами организации исходных данных с двумя и более факторами  являются:

    - перекрестная классификация, характерная  для моделей I, в которых каждый  уровень одного фактора сочетается  при планировании эксперимента  с каждой градацией другого  фактора; 

    - иерархическая (гнездовая) классификация,  характерная для модели II, в которой  каждому случайному, наудачу выбранному  значению одного фактора соответствует  свое подмножество значений второго  фактора. 

    Если  одновременно исследуется зависимость  отклика от качественных и количественных факторов, т.е. факторов смешанной природы, то используется ковариационный анализ.

    При обработке данных эксперимента наиболее разработанными и поэтому распространенными  считаются две модели. Их различие обусловлено спецификой планирования самого эксперимента. В модели дисперсионного анализа с фиксированными эффектами  исследователь намеренно устанавливает  строго определенные уровни изучаемого фактора. Термин «фиксированный эффект»  в данном контексте имеет тот  смысл, что самим исследователем фиксируется количество уровней  фактора и различия между ними. При повторении эксперимента он или  другой исследователь выберет те же самые уровни фактора. В модели со случайными эффектами уровни значения фактора выбираются исследователем случайно из широкого диапазона значений фактора, и при повторных экспериментах, естественно, этот диапазон будет другим.

    Таким образом, данные модели отличаются между  собой способом выбора уровней фактора, что, очевидно, в первую очередь влияет на возможность обобщения полученных экспериментальных результатов. Для  дисперсионного анализа однофакторных  экспериментов различие этих двух моделей  не столь существенно, однако в многофакторном дисперсионном анализе оно может  оказаться весьма важным.

    При проведении дисперсионного анализа  должны выполняться следующие статистические допущения: независимо от уровня фактора  величины отклика имеют нормальный (Гауссовский) закон распределения и одинаковую дисперсию. Такое равенство дисперсий называется гомогенностью. Таким образом, изменение способа обработки сказывается лишь на положении случайной величины отклика, которое характеризуется средним значением или медианой. Поэтому все наблюдения отклика принадлежат сдвиговому семейству нормальных распределений.

    Говорят, что техника дисперсионного анализа  является "робастной". Этот термин, используемый статистиками, означает, что данные допущения могут быть в некоторой степени нарушены, но несмотря на это, технику можно использовать.

    При неизвестном законе распределения  величин отклика используют непараметрические (чаще всего ранговые) методы анализа.

    В основе дисперсионного анализа лежит  разделение дисперсии на части или  компоненты. Вариацию, обусловленную  влиянием фактора, положенного в  основу группировки, характеризует  межгрупповая дисперсия σ2. Она является мерой вариации частных средних  по группам  вокруг общей средней и определяется по формуле:

     ,

    где k - число групп;

    nj - число единиц в j-ой группе;

     - частная средняя по j-ой группе;

     - общая средняя по совокупности единиц.

    Вариацию, обусловленную влиянием прочих факторов, характеризует в каждой группе внутригрупповая  дисперсия σj2.

     .

    Между общей дисперсией σ02, внутригрупповой  дисперсией σ2 и межгрупповой дисперсией существует соотношение:

    σ02 = + σ2.

    Внутригрупповая дисперсия объясняет влияние  неучтенных при группировке факторов, а межгрупповая дисперсия объясняет  влияние факторов группировки на среднее значение по группе.