Практикум по теории вероятности в среде MAHCAD

Автор: Пользователь скрыл имя, 06 Мая 2012 в 12:01, курс лекций

Описание работы

Настоящий учебно-методическое пособие предлагает цикл работ для выполнения на персональном компьютере. При решении задач по теории вероятностей используется пакет Mathcad, выбор данного пакета не случаен. Он представляет собой интегрированную многофункциональную систему, предназначенную для проведения разнообразных вычислений. Этот пакет получил широкое распространение благодаря чрезвычайной простоте интерфейса. Mathcad содержит:

Содержание

Введение
Функции и инструменты М a t h c a d
Случайные величины. Функции распределения
Наиболее распространенные распределения дискретных
случайных величин
Задание 2.1
3. Непрерывные случайные величины
Наиболее распространённые распределения непрерывных
случайных величин
Задание 3.2
Задание 3.3
Задание 3.4
4. Квантили
Задание 4.5
5. Числовые характеристики случайных величин
Задание 5.6
6. Моменты
Задание 6.7
Задание 6.8
Литература

Скачать полностью (167.14 Кб) Сколько стоит заказать работу?
Работа содержит 1 файл

Практикум по т.в в среде MAHCAD.doc

— 484.50 Кб (Скачать)

имеет F-распределение с плотностью вероятности 
 
 
 

              Задание 3.4

       Постройте графики плотности распределения и функции распределения Фишера для указанных значений n и m.

          Порядок выполнения задания

  1. Постройте графики плотности распределения Фишера для указанных значений n и m.
  2. Постройте графики функции распределения Фишера для указанных значений n и m.

            4. Квантили

       При решении практических задач часто  требуется найти значение x, при котором функция распределения принимает заданное значение, т. е. требуется решить уравнение (x) = p. Решения такого уравнения в теории вероятностей называются квантилями.

       Квантилью xp (p-квантилью, квантилью уровня p) случайной величины , имеющей функцию распределения (x), называют решение xp уравнения ( x ) = p,   p (0,1).

       Для некоторых p уравнение (x) = p может иметь несколько решений, для некоторых - ни одного. Это означает, что для соответствующей случайной величины некоторые квантили определены неоднозначно, а некоторые квантили не существуют.

       Квантили, наиболее часто встречающиеся в  практических задачах, имеют свои названия:

    медиана   квантиль уровня 0.5;

    нижняя  квартиль - квантиль уровня 0.25;

    верхняя квартиль - квантиль уровня 0.75;

    децили - квантили уровней 0.1, 0.2, …, 0.9;

    процентили - квантили уровней 0.01, 0.02, …, 0.99. 

       Для тех распределений, для которых  в Mathcad представлены встроенные функции плотности распределения и функции распределения, определены и встроенные функции вычисления квантилей.

     Ниже  приведены вычисленные в Mathcad медиана, верхняя и нижняя квартили и 0.95-квантиль для стандартного нормального распределения N(0,1).

    qnorm(0.5, 0, 1) = 0 медиана

    qnorm(0.25, 0, 1) = -0.67     нижняя квартиль

    qnorm(0.75, 0, 1) = 0.674    верхняя квартиль

    qnorm(0.95, 0, 1) = 1.645   0.95-квантиль

              Задание 4.5

     Найдите медиану, верхнюю и нижнюю квартили и p квартиль для заданного уровня p и для заданного распределения.

          Порядок выполнения задания

  1. Постройте графики плотности распределения для заданного распределения с указанными значениями параметров.
  2. Постройте  графики  функции  распределения  для  заданного распределения с указанными значениями параметров.

      5. Числовые характеристики  случайных величин

      Каждая  случайная величина полностью определяется своей функцией распределения. В то же время при решении практических задач достаточно знать несколько числовых параметров, которые позволяют представить основные особенности случайной величины в сжатой форме. К таким величинам относятся, в первую очередь, математическое ожидание и дисперсия.

Математическое  ожидание случайной  величины

      Математическое  ожидание  - число,  вокруг  которого  сосредоточены значения случайной величины.

Если  ξ - дискретная случайная величина с распределением,

то ее математическим ожиданием – оно обозначается M ξ- называется величина

если  число значений случайной величины конечно. Если число значений

случайной величины счетно, то

При этом если ряд в правой части равенства  расходится или сходится условно, то говорят, что случайная величина ξ не имеет математического ожидания.

       Математическое   ожидание   непрерывной   случайной   величины   с плотностью вероятностей pξ (x) вычисляется по формуле

       
 

       При этом если интеграл в правой части равенства расходится, то говорят, что случайная величина ξ не имеет математического ожидания.

       При вычислении математического ожидания случайной величины полезны следующие  его свойства:

  • математическое ожидание константы равно этой константе, т. е. Мс = с;
  • математическое ожидание - линейный функционал случайной величины, т. е. при произвольных постоянных a и b верно равенство М(aξ + bη) = aMξ + bMη;
  • математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий,

    т. е. М(ξ · η) = Мξ · Мη.

       Приведем    формулы    математических    ожиданий    для    наиболее известных распределений:

  • биноминальное распределение: (P(ξ = k) = Cnkpkqn-k): Mξ = np;
  • геометрическое распределение: (P(ξ = k) = qkp): M ξ = ;
  • пуассоновское распределение:

    • равномерное распределение:

       
       

    • экспоненциальное (показательное) распределение:
     
    • нормальное  распределение:

    • распределение хи-квадрат (χ2-распределение) с n степенями свободы:

    • распределение  Стьюдента  (t-распределение)  с  n  степенями свободы:

    • F- распределение  Фишера с n и m степенями свободы:

       
       

    Дисперсия случайной величины

           Дисперсия случайной величины характеризует меру разброса значений случайной величины около ее математического ожидания. Если случайная величина ξ имеет математическое ожидание Мξ , то дисперсией случайной   величины   ξ  называется   величина   Dξ   =  M(ξ-Mξ)2.   Легко показать, что Dξ = Mξ2-(Mξ)2. Эта универсальная формула одинаково хорошо применима как для дискретных случайных величин, так и для непрерывных. Величина Mξ2 вычисляется по формулам:

         

    для дискретных и непрерывных случайных величин соответственно.

           Еще одним параметром для определения  меры разброса значений случайной   величины   является   среднеквадратическое   отклонение   σξ

    связанное с дисперсией соотношением .

    Перечислим  основные свойства дисперсии:

    • дисперсия любой случайной величины неотрицательна: ;
    • дисперсия константы равна нулю: Dc = 0;
    • для произвольной константы ;
    • дисперсия  суммы (разности)  двух  независимых  случайных величин равна сумме их дисперсий: 

           Приведем  формулы для дисперсий наиболее известных стандартных 

    распределений:

    • биноминальное распределение: ;
    • геометрическое распределение: ;
    • пуассоновское распределение: ;
    • равномерное распределение: ;
    • экспоненциальное (показательное) распределение: ;
    • нормальное распределение: ;
    • распределение  хи-квадрат (χ2-распределение)  с  n  степенями свободы: Dξ2 = 2n;
    • распределение  Стьюдента  с  n  степенями  свободы: ;
    • F-распределение Фишера с n и m степенями свободы: .

      Задание 5.6

           Вычислите математическое ожидание и дисперсию  случайной величины ξ = S(η), которая представляет собой площадь указанной в задании геометрической фигуры для случайной величины η, имеющей заданное распределение.

           Порядок выполнения задания

    1. Запишите выражение для функции ξ = S(η) от случайной величины η, определяющей площадь фигуры.
    2. Вычислите математическое ожидание случайной величины ξ
    3. Вычислите математическое ожидание случайной величины ξ2.
    4. Вычислите дисперсию случайной величины ξ = S(η) по формуле

      . 

    Пример  выполнения задания

           Случайная величина η распределена равномерно на промежутке [0,1]. Найдем математическое ожидание и дисперсию площади квадрата со стороной η, т. е. характеристики случайной величины ξ = S(η) = η2.

    Математическое  ожидание площади квадрата ξ

               .

    Математическое ожидание квадрата случайной величины ξ

          .

    Дисперсия площади квадрата ξ

         .

           Указание. Математическое ожидание и дисперсию площади 
    квадрата со стороной η вычислите символьно по формулам

           . Определите искомые математическое

    ожидание  и дисперсию как функции переменной ξ.

    6. Моменты

           В теории вероятностей и математической статистике, помимо математического ожидания и дисперсии, используются и другие числовые характеристики случайных величин. В первую очередь это начальные и центральные моменты.

           Начальным моментом k-го порядка  случайной величины x называется математическое ожидание k-й степени случайной величины ξ ,т. е. ak = Mξ k.  

           Центральным моментом  k-го порядка  случайной величины ξ называется величина μk, определяемая формулой μk = M(ξ - Mξ)k.

           Заметим, что математическое ожидание случайной  величины -начальный момент первого  порядка, a 1 = Mξ , а дисперсия – центральный момент второго порядка: μ2 = M (ξ - Mξ )2 = Dξ .

           Существуют  формулы, позволяющие выразить центральные моменты случайной величины через ее начальные моменты. Одна из таких формул приведена выше: Dξ = M(ξ - Mξ)2= μ2 - a12.

           В дальнейшем будет использована формула  μ3 = α 3– 3α2 α 1+2α13. Нетрудно понять, что если плотность распределения вероятностей

    случайной величины симметрична относительно прямой х = Мξ, то все ее центральные моменты нечетного порядка равны нулю.

            В теории вероятностей и математической статистике в качестве меры асимметрии распределения служит коэффициент асимметрии, который определяется формулой: 
     

    где  μ3  - центральный момент третьего  порядка;

    - среднеквадратичное отклонение.

           Коэффициент асимметрии - безразмерная величина, а  по его знаку можно судить о  характере асимметрии.

           Указание. Для того чтобы вычислить значение коэффициента асимметрии, выделите выражение для него, щелкните в строке Floating Point в меню Symbolics и укажите в окне диалога число десятичных знаков в выводе.

                                Задание 6.7

         Вычислите коэффициент асимметрии случайной величины   ξ     с заданным распределением.

            Порядок выполнения задания

    1. Определите    значения    параметров    распределения    случайной величины.
    2. Определите центральный момент третьего порядка как функцию параметров распределения случайной величины.
    3. Определите центральный момент второго порядка как функцию параметров распределения случайной величины.
    4. Вычислите коэффициент асимметрии.
    5. Постройте график плотности вероятности.

    Эксцесс

           Нормальное  распределение наиболее часто используется в теории вероятностей и математической статистике, и поэтому график плотности вероятностей нормального распределения стал своего рода эталоном, с которым сравнивают другие распределения. Одним из параметров, определяющих отличие сравниваемого распредления от нормального, является эксцесс.

    Эксцесс случайной величины ξ определяется равенством

          . 

           У нормального распределения, естественно,   = 0. Если   > 0, то это означает, что график плотности вероятностей pξ(x) сильнее «заострен», чем у нормального распределения, если же < 0, то «заостренность» графика pξ(x) меньше, чем у нормального распределения.

    Задание 6.8

    Вычислите эксцесс случайной величины ξ    с заданным распределением.

    Порядок выполнения задания

    1. Определите     значения     параметров     распределения     случайной величины.
    2. Определите центральный момент четвертого порядка как функцию параметров распределения случайной величины.
    3. Определите  центральный  момент второго  порядка как  функцию параметров распределения случайной величины.
    4. Вычислите коэффициент асимметрии.
    5. Постройте график плотности вероятности.

          Указание. Mathcad не справляется с вычислением интегралов функций, заданных разными выражениями на разных промежутках. Поэтому при вычислении моментов используйте свойство интеграла по симметричному промежутку от чётной функции. Для того чтобы определить плотность вероятностей равномерного распределения, щёлкните по кнопке в панели , введите в первой строке выражение для функции, щёлкните по кнопке и введите условие; аналогично определите во второй строке функцию на втором промежутке.

          Литература

    1. Андронов А.М. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник для вузов / А.М. Андронов, Е.А. Копытов, Л.Я. Гринглаз. – СПб. : Питер, 2004. – 461 с.
    2. Плис А.И. Mathcad: математический практикум для экономистов и инженеров / А.И. Плис, Н.А. Сливина. – М. : Финансы и статистика, 2000. – 656 с.

        3. Боровиков В. STATISTICA: искусство анализа данных на 
    компьютере / В. Боровиков. – СПб. : Питер, 2001. – 656 с.


    Информация о работе Практикум по теории вероятности в среде MAHCAD