Практикум по теории вероятности в среде MAHCAD

 
 
 
 
 
 
 
 

Компьютерные  практикум по теории вероятностей в  среде MATHCAD 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

СОДЕРЖАНИЕ

Введение   

1. Функции и инструменты М a t h c a d  
2. Случайные величины. Функции распределения  

Наиболее  распространенные распределения дискретных

случайных величин  

Задание 2.1  

3. Непрерывные случайные величины  

Наиболее  распространённые распределения непрерывных

случайных величин  

Задание 3.2  

Задание 3.3  

Задание 3.4  

4. Квантили  

Задание 4.5  

5. Числовые характеристики случайных величин  

Задание 5.6  

6. Моменты  

Задание 6.7  

Задание 6.8  

Литература     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

       Настоящий учебно-методическое пособие предлагает цикл работ для выполнения на персональном компьютере. При решении задач  по теории вероятностей используется пакет Mathcad, выбор данного пакета не случаен. Он представляет собой интегрированную многофункциональную систему, предназначенную для проведения разнообразных вычислений. Этот пакет получил широкое распространение благодаря чрезвычайной простоте интерфейса. Mathcad содержит:

• обширную библиотеку встроенных математических функций;
• инструменты построения графиков различных типов;
• удобно организованную интерактивную систему получения справки;
• используется традиционный для математики способ записи функций

и выражений;

• Mathcad   представляет   пользователю   оперативные   возможности электронной таблицы текстового процессора.

1. Функции и инструменты  MATHCAD

       Прежде  чем приступать к решению задач  теории вероятностей в Mathcad, познакомимся с инструментами, которые предоставляет пакет для их решения.

       Напомним, что дискретная случайная величина , принимающая значения x₁ < x₂ < … < x_i < … с вероятностями p₁, p₂, …, p_i ..., может быть задана распределением - таблицей вида

       Такие таблицы в среде Mathcad удобно хранить в виде матрицы размерности 2×n. Функция распределения случайной величины, имеющей приведённое выше распределение, имеет вид:

 

       Ниже  приведён фрагмент рабочего документа с определением распределения случайной величины, её функции распределения и графиком функции распределения для случайной величины, имеющей следующее распределение: 
 

	1	0	7	4	-2
P	0.1	0.5	0.1	0.1	0.2

 

Распределение случайной величины

Функция распределения случайной величины 
 
 
 

 

      
 

       Функция распределения случайной величины, определённая другим способом:

      
 

 
 
 
 
 

График  функции распределения случайной  величины

 

 

       Указание. Распределение случайной величины сохранено в матрице А:A_1,i - значения случайной величины; A_2,i - соответствующие вероятности; i = 1,2,3,4,5. Функцию распределения, заданную разными выражениями на разных интервалах изменения аргументов, можно определить следующим образом: разверните панель программных элементов щелчком по кнопке и панель знаков отношений - щелчком по кнопке и не закрывайте их, пока не закончите определение функции. Введите имя функции переменной x и знак присваивания, щелкните в панели программных элементов по кнопке , введите в помеченной позиции   нуль,   щелкните   по   кнопке     и   введите   неравенства,

определяющие  первый интервал изменения аргумента (символ можно ввести щелчком по соответствующей кнопке в панели ); затем перейдите во вторую строку определения функции, введите A₂₁ - имя переменной, содержащей значение p₁, или число 0.2 - значение p₁, выделите, нажимая клавишу <SPACE> выражение для функции, щелкните по кнопке , введите неравенства, определяющие второй интервал изменения аргумента (знак можно ввести щелчком по соответствующей кнопке в панели отношений); выделите, нажимая клавишу <SPACE> вторую строку определения функции, щелкните по кнопке и введите, действуя, как описано выше, определение функции на следующем интервале. В рабочем документе приведены два способа определения функции – с использованием имен переменных и с использованием конкретных значений этих переменных. Графики функций распределений построены стандартным для декартовых графиков способом. Следует помнить, что MathCad не совсем корректно строит графики ступенчатых функций, соединяя отрезками прямых значения функции в точке скачка. Более точный график функции распределения представляет собой отрезки, параллельные оси абсцисс, с «выколотым» правым концом.

       Распределение дискретного случайного вектора  также удобно хранить в матрице  размерности (m+1)×(n+1). Первоначальному  элементу первой строки этой матрицы  присваивается нулевое значение, остальные элементы первой строки содержат значения случайной компоненты , элементы первого столбца – значения случайной компоненты , а остальные элементы – соответствующие вероятности: элемент, расположенный в (j+1)-м столбце (i+1)-й строки содержит значение вероятности p_ij того, что случайный вектор ( , ) принимает значение (x_i, y_i).

       Для проведения вычислений со случайными величинами (непрерывными и дискретными) в MathCad есть богатая библиотека встроенных функций наиболее распространенных стандартных распределений. Каждое распределение представлено в библиотеке тремя функциями — плотностью вероятностей, функцией распределения и функцией, обратной к функции распределения.

       Например, для работы с нормальным распределением предназначены функции dnorm(x, , ), pnorm(x, , ) и qnorm(x, , ). Значением функции dnorm(x, , ) является значение в точке х плотности вероятностей случайной величины , имеющей нормальное распределение с математическим ожиданием М = , и дисперсией D = ²; значение функции pnorm(x, , ) - значение функции распределения этой же случайной величины ; значением функции qnorm(x, , ) служит решение уравнения F(x) = р, где F(x) - функция распределения, определенная функцией pnorm(x, , ), т. е. значением qnorm(x, , ) является квантиль уровня р нормально распределенной случайной величины. Имена всех встроенных функций, определяющих плотности вероятностей, начинаются с буквы d, определяющих функции распределения - с буквы р, определяющих квантили - с буквы q.

      Ниже  приведены список всех распределений, представленных в библиотеке MathCad, и имена соответствующих функций:

бета-распределение - dbeta(x,s₁, s₂), pbeta(x,s₁,s₂), qbeta(p,s₁,s₂);

биномиальное  распределение — dbinom(k,n,p), pbinom(k,n,p),

qbinom(p,n,r);

распределение Коши - dcauchy(x,l,s), pcauchy(x,l,s), dcauchy(p,l,s);

_Х²-распределение - dchisq(x,d), pchisq(x,d), qchisq(p,d);

экспоненциальное  распределение - dexp(x,r), pexp(x,r), qexp(p,r);

распределение Фишера (F-распределение) - dF(x,d₁,d₂), pF(x,d₁,d₂),

qF(x,d₁,d₂);

гамма-распределение - dgamma(x,s), pgamma(x,s), qgamma(p,s);

геометрическое  распределение - dgeom(x,p), pgeom(x,p), qgeom(p,r);

логнормальное распределение - dlnorm(x, , ), plnorm(x, , ),

qlnorm(p, , );

логистическое распределение - dlogis(x,l,s), plogis(x,l,s), qlogis(p,l,s);

отрицательное биномиальное распределение - dnbinom(k,n,p),

pnbinom(k,n,p), qnbinom(p,n,r);

нормальное распределение - dnorm(x, , ), рпогт(x, , ), qnorm(p, , ); распределение Пуассона - dpois(x, ), ppois(x, ), qpois(p, ); распределение Стьюдента - dt(x,d), pt(x,d), qt(p,d); равномерное распределение - dunif(x,a,b), punif(x,a,b), qunif(p,a,b); распределение Вейбулла - dweibull(x,s), pweibull(x,s), qweibull(p,s).

       Кроме    того,    в     библиотеке    встроенных    функций    Mathcad, естественно, есть функция Лапласа .

Для вычисления числовых характеристик дискретных и непрерывных случайных величин  применяются операторы интегрирования

и дифференцирования, вычисления конечных сумм и суммирования рядов, которые вызываются щелчком мыши по кнопке в панели   и заполнением соответствующих помеченных  полей.  Примеры использования этих операций  при решении задач теории  вероятностей  приведены в последующих разделах.

2. Случайные величины. Функции распределения 

       Теория  вероятностей  изучает  математические  модели  случайных явлений  окружающего  нас  мира.  Одно  из  центральных  понятий  теории вероятностей  –  понятие  случайной  величины.  Случайной  величиной называется числовая функция, заданная на множестве случайных событий.

       Например,  случайной  величиной  является  число  очков,  выпавших при бросании игральной кости, или рост случайно выбранного из учебной группы студента. В первом случае мы имеем дело с дискретной случайной величиной (она принимает значения из дискретного числового множества) M  =  {1,  2,  3,  4,  5,  6};  во  втором  случае  – с непрерывной  случайной величиной (она принимает значения из непрерывного числового множества – из  промежутка  числовой  прямой  I  =  [100,  230]). В  дальнейшем  случайные величины будем обозначать греческими буквами. 

Функция распределения случайной  величины 

       Каждая  случайная  величина  полностью  определяется  своей

функцией  распределения.

       Если    – случайная величина,  то  функция

F(x)  =  F (x)  =  P( < x) называется функцией распределения случайной величины  . Здесь P( < x) – вероятность того, что случайная величина принимает значение, меньшее x.

       Функция  распределения  любой  случайной  величины  обладает

следующими  свойствами:

• F(x) определена на всей числовой прямой R;
• F(x) не убывает, т. е. если x₁ ≤ x₂, то F(x₁) ≤ F(x₂);
• F(–∞)  =  0  и F(+∞)  =  1,  т.  е.  и
• F(x) непрерывна слева, т.е.

       Важно  понимать,  что  функция  распределения  является «паспортом» случайной  величины:  она  содержит  всю  информацию  об  этой  случайной величине,  и  поэтому  изучение  случайной  величины  заключается  в исследовании ее функции распределения, которую часто называют просто распределением.  Таким  образом,  когда  говорят  о  нормальном распределении,  то  подразумевают  случайную  величину,  имеющую нормальную функцию распределения.

 

       

       Указание. Следует отметить, что Mathcad, изображая ступенчатые функции, соединяет отрезком прямой значения функций в точках разрыва. Разрывные функции принято изображать иначе – помечая стрелкой направление разрыва (стрелка вправо – функция непрерывна в точке справа, стрелка влево – для точек, где функция непрерывна слева). На рис. 1 приведен график функции распределения в общепринятом виде.