Практикум по теории вероятности в среде MAHCAD

                                Рис. 1

       Если  функция распределения F (x) непрерывна, то случайная величина называется непрерывной случайной величиной. Если функция распределения F (x) непрерывно дифференцируема, то более наглядное представление о случайной величине дает плотность вероятности случайной величины p (x), которая связана с функцией распределения F (x) формулами:

 

Отсюда,  в  частности,  следует,  что  для  любой  случайной  величины

Интеграл

       Если    – дискретная случайная величина, принимающая значения x₁,

x₂,…, x_i,… с вероятностями p₁, p₂,…, p_i,… , то таблица вида

называется  рядом распределения дискретной случайной величины или просто распределением дискретной случайной величины. В практических задачах именно такая форма представления распределения наиболее удобна. 

       Вероятность того, что значение случайной величины попадет в интервал (a,b ), вычисляется для непрерывной случайной величины по формуле

     P(a<

<b)=F (b)-F (a)=

дискретной случайной  величины – по формуле

.

Наиболее  распространенные распределения дискретных случайных величин 

       Познакомимся  с дискретными случайными величинами, которые чаще всего  используются  при  решении  практических  задач.  Эти  случайные величины  имеют  биномиальное,  геометрическое  и  пуассоновское распределения.

       Биномиальное  распределение (схема  Бернулли). Пусть проводится серия из n независимых испытаний, каждое из которых заканчивается либо «успехом»,  либо «неуспехом».  Пусть  в  каждом  испытании (опыте) вероятность  успеха  p,  а вероятность  неудачи  –

q  = 1  – p.  С таким испытанием можно связать случайную величину x, равную числу успехов в серии из n испытаний. Эта величина принимает целые значения от 0 до n. Ее  распределение называется  биномиальным  и определяется  формулой Бернулли

где 0<p<1, q=1-p, k=0,1,…,n,

       Нетрудно убедиться, что

       В Mathcad для вычисления плотности вероятности и функции распределения случайной величины, имеющей биномиальное распределение, предназначены функции dbinom(k, n, p) и pbinom(k, n, p), значения которых – соответственно p_k и F(k).

       Геометрическое  распределение. Со схемой испытаний Бернулли можно связать еще одну случайную величину: – число испытаний до первого успеха. Эта величина принимает бесконечное множество значений от 0 до +∞, и ее распределение определяется формулой

p_k = P( = k) = q^kp, k = 0, 1,…, 0 < p < 1, q = 1 – p. 

       Используя формулу суммы бесконечно убывающей  геометрической прогрессии, легко показать, что

В Mathcad для вычисления плотности вероятности и функции распределения случайной величины, имеющей геометрическое распределение, предназначены функции dgeom(k, p) и pgeom(k, p), значения которых - соответственно p_k и F(k).

       Пуассоновское распределение. Пуассоновское распределение имеет случайная величина , принимающая значения k =0,1,2,… с вероятностями

где >   0 - параметр пуассоновского распределения.

При любых  >  0   ,

       В Mathcad для вычисления вероятности и функции распределения случайной величины, имеющей пуассоновское распределение, предназначены функции dpois(k, ) и ppois(k, ), значения которых -соответственно p_k и F(k).

Задание 2.1

• Для указанных значений параметров вычислите и постройте графически     биномиальное,     геометрическое    и    пуассоновское распределения. Проверьте для них равенство

 

• Постройте графики функций распределения. Вычислите вероятность попадания значений случайной величины в указанный интервал. Для каждого распределения найдите значение k, для которого величина

P( = k) максимальна. Исследуйте зависимость этой вероятности от параметров распределения.

       Порядок выполнения задания

1. Введите параметры распределения.
2. Определите интервал изменения значений случайной величины.
3. Определите вектор, номера компонент которого равны значениям случайной величины, и присвойте компонентам вектора значения вероятности соответствующих значений.
4. Определите функцию распределения случайной величины.

 
       

5. Постройте графики распределения и функции  распределения случайной величины.
6. Найдите по графику наиболее вероятное значение случайной величины.
7. Введите в рабочий документ наибольшее значение вероятности 
   (значение вероятности в точке, вычисленной в предыдущем пункте).
8. Вычислите сумму всех значений вероятностей.
9. Вычислите вероятность попадания значения случайной величины в указанный интервал как разность соответствующих значений функции распределения.

       10.  Измените значения параметров распределения и повторите 
вычисления. Сравните полученные результаты.

       11. Выполните вычисления пп. 1–10 для всех приведенных в задании 
распределений.

       Указание. Для того, чтобы определить по графику распределения наиболее вероятное значение случайной величины, щёлкните в меню Format (Формат) в пункте Graph (График) по строке Trace (Следование), установите перекрестье маркера на точке максимума распределения и выведите в рабочий документ вероятность значения, указанного в окне X-Value (Величина X). 

       3. Непрерывные случайные  величины

       Наиболее  распространённые распределения  непрерывных

случайных величин

       Равномерное распределение. Непрерывная случайная величина , принимающая значение на отрезке [a,b], распределена равномерно на [a,b], если плотность распределения (x) и функция распределения случайной величины x имеют соответственно вид

      

       В Mathcad значения в точке x плотности распределения и функции распределения случайной величины, имеющей равномерное распределение на отрезке [a,b], вычисляются встроенными функциями соответственно dunif( x,a,b) и punif( x,a,b).

      Экспоненциальное (показательное) распределение. Непрерывная случайная величина имеет показательное распределение с параметром > 0,   если плотность распределения имеет вид

      
 

       Отсюда  видно, что показательно распределённая случайная величина принимает только неотрицательные значения. Функция распределения такой случайной величины имеет вид

      
 

       В Mathcad значения в точке x плотности распределения и функции распределения случайной величины, имеющей экспоненциальное распределение с параметром , вычисляются встроенными функциями соответственно dexp(x, ) и pexp(x, ).

       Нормальное  распределение. Это распределение играет исключительно важную роль в теории вероятностей и математической статистике. Случайная величина нормально распределена с параметрами a и , > 0, если её плотность распределения имеет вид

       

       Если  случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами a и , то будем записывать это в виде ~N(a, ). Случайная величина имеет стандартное нормальное распределение, если a = 0 и

 = 1, ~ N(0,1).

Плотность стандартного нормального распределения имеет вид

 

а его  функция распределения F, (x) = Ф(x), где Ф(x) - функция Лапласа:

 

Функция распределения нормальной величины ~N(a, ) также выражается через функцию Лапласа:  

       В MathCad значения в точке x плотности распределения и функции распределения нормальной случайной величины с параметрами a, вычисляются встроенными функциями соответственно dnorm(x,a, ) и pnorm(x,a, ).

       Распределение хи-квадрат ( χ ²-распределение ) Пусть ₁, ₂,… _n - независимые случайные величины, каждая из которых имеет стандартное   нормальное   распределение   N(0,1).   Составим   случайную

величину  Её распределение называется χ²-распределением с n степенями свободы. Для справочных целей приведём здесь выражение плотности распределения этой случайной величины: 
 

гдеГ(x)-гамма-функция Эйлера. 
 

 
 

       В Mathcad значения в точке x плотности распределения и функции -распределения с n степенями свободы вычисляется встроенными функциями соответственно dchisq(x,n) и pchisq(x,n).

Задание 3.2

      Постройте графики плотности распределения  и функции распределения χ² с указанным числом степеней свободы.

Порядок выполнения задания

1. Постройте   графики   плотности   распределения  χ²   с   указанным числом степеней свободы.
2. Постройте графики функции распределения χ² с указанным числом степеней свободы.

      Распределение Стьюдента. Пусть случайная величина имеет стандартное нормальное распределение, а случайная величина -распределение с n степенями свободы. Если и независимы, то про

случайную величину говорят, что она имеет распределение

Стьюдента  с   числом   степеней   свободы   n.   Доказано,   что   плотность вероятности этой величины вычисляется по формуле

 
 
 

При больших  n распределение Стьюдента практически не отличается от N(0,1).

      В Mathcad значения в точке x плотности распределения и функции Стьюдента с n степенями свободы вычисляются встроенными функциями соответственно dt(x,n) и pt(x,n).

Задание 3.3

      Постройте графики плотности распределения  и функции распределения Стьюдента  с указанным числом степеней свободы.

Порядок выполнения задания

       1. Постройте    графики    плотности    распределения    Стьюдента    с указанным  числом степеней свободы.

       2. Постройте графики функции распределения  Стьюдента с указанным числом  степеней свободы.

       F-распределение Фишера. Пусть случайные величины и независимы  и  имеют распределение    с  n  и  m степенями  свободы

соответственно.     Тогда     случайная     величина