Доказательство и опровержение

Простые — это натуральные числа больше единицы, делящиеся только на себя и на единицу. Простые числа - это как бы «первичные элементы», на которые все целые числа (больше 1) могут быть разложены. Естественно предположить, что ряд простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11,13,... — бесконечен. Для доказательства данного тезиса допустим, что это не так, и посмотрим, к чему ведет такое допущение. Если ряд простых чисел конечен, существует последнее простое число ряда — А. Образуем далее другое число: В = (2 • 3 • 5 •... • А) + 1. Число В больше А, поэтому В не может быть простым числом. Значит, В должно делиться на простое число. Но если В разделить на любое из чисел 2, 3, 5, .... А, то в остатке получится 1. Следовательно, В не делится ни на одно из указанных простых чисел и является, таким образом, простым. В итоге, исходя из предположения, что существует последнее простое число, мы пришли к противоречию: существует число одновременно и простое, и не являющееся простым. Это означает, что сделанное предположение ложно и правильно противоположное утверждение: ряд простых чисел бесконечен.

     В этом косвенном доказательстве из антитезиса выводится логическое противоречие, что прямо говорит о ложности антитезиса и соответственно об истинности тезиса. Такого рода доказательства широко используются в математике.

Если  имеется в виду только та часть  подобных доказательств, в которой  показывается ошибочность какого-либо предположения, они именуются по традиции приведением к абсурду. Ошибочность предположения вскрывается  тем, что из него выводится откровенная нелепость.

Имеется еще одна разновидность косвенного доказательства, когда прямо не приходится искать ложные следствия. Дело в том, что для доказательства утверждения  достаточно показать, что оно логически  вытекает из своего собственного отрицания.

Этот  прием опирается на закон Клавия, говорящий, что если из ложности утверждения  вытекает его истинность, то утверждение  истинно.

К примеру, если из допущения, что дважды два  равно пяти, выведено, что это не так, тем самым доказано, что дважды два не равняется пяти. 

3.3. РАЗДЕЛИТЕЛЬНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

     Во всех рассмотренных косвенных доказательствах выдвигаются две альтернативы: тезис и антитезис. Затем показывается ложность последнего, в итоге остается только тезис.

     Можно не ограничивать число принимаемых во внимание возможностей только двумя. Это приведет к так называемому разделительному косвенному доказательству, или доказательству через исключение. Оно применяется в тех случаях, когда известно, что доказываемый тезис входит в число альтернатив, полностью исчерпывающих все возможные альтернативы данной области.

     Например, нужно доказать, что одна величина равна другой. Ясно, что возможны только три варианта: или две величины равны, или первая больше второй, или, наконец, вторая больше первой. Если удалось показать, что ни одна из величин не превосходит другую, два варианта будут отброшены и останется только третий: величины равны.

     Доказательство идет по простой схеме: одна за другой исключаются все возможности, кроме одной, которая и является доказываемым тезисом. В стандартных косвенных доказательствах альтернативы — тезис и антитезис — исключают друг друга в силу законов логики. В разделительном доказательстве взаимная несовместимость возможностей и то, что ими исчерпываются все мыслимые альтернативы, определяются не логическими, а фактическими обстоятельствами. Отсюда обычная ошибка разделительных доказательств: рассматриваются не все возможности.

          Заканчивая разговор о косвенных  доказательствах, обратим внимание  на их своеобразие, ограничивающее  в известной мере их применимость.

    Нет сомнения, что косвенное доказательство представляет собой эффективное средство обоснования. Но, имея с ним дело, мы вынуждены все время сосредоточиваться не на верном положении, справедливость которого необходимо обосновать, а на ошибочных утверждениях. Сам ход доказательства состоит в том, что из антитезиса, являющегося ложным, мы выводим следствия до тех пор, пока не придем к утверждению, ошибочность которого несомненна. 

4. ОПРОВЕРЖЕНИЕ

Опровержение  логическая операция, направленная на разрушение доказательства путем установления ложности или необоснованности ранее  выдвинутого тезиса.

     Суждение, которое надо опровергнуть, называется тезисом опровержения. Суждения, с помощью которых опровергается тезис, называются аргументами опровержения.

    Существуют три способа опровержения тезиса: 1) опровержение (прямое и косвенное); 2) критика аргументов; 3) выявление несостоятельности демонстрации.

     1. Опровержение тезиса (прямое и косвенное). Их три способа:

а) опровержение фактами - должны быть приведены действительные события, явления, статистические данные, результаты  эксперимента, научные данные, которые противоречат тезису, то есть опровергаемому суждению;

б) установление ложности (или противоречивости) следствий, вытекающих из тезиса - доказывается, что из данного тезиса вытекают следствия, противоречащие истине, этот прием называется “сведение к абсурду”;

в) опровержение тезиса через доказательство антитезиса - по отношению к опровергаемому тезису (суждению а) выдвигается противоречащее ему суждение (то есть не-а) и суждение не-а (антитезис) доказывается, если антитезис истинен, то тезис ложен, третьего не дано.

     2. Критика аргументов.

Подвергаются  критике аргументы, которые были выдвинуты оппонентом в обоснование  его тезиса. Доказывается ложност  или несостоятельность этих аргументов.

     3. Выявление несостоятельности демонстрации.

Этот  способ опровержения состоит в том, что показывает ошибки в форме  доказательства. Наиболее распространённой ошибкой является подбор таких аргументов, из которых истинность опровергаемого тезиса не вытекает. Доказательство может быть построено неправильно, если нарушено какое-либо правило умозаключения или сделано “поспешное обобщение”.

Обнаружив ошибки в ходе демонстрации, мы опровергаем  её ход, но не опровергаем сам тезис. Доказательство же истинности тезиса должен дать тот, кто его выдвинул.

5. ОШИБКИ  В ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ

     Ошибка в доказательстве –  вещь довольно обычная. Проводя  доказательства, мы опираемся на нашу логическую интуицию, на стихийно усвоенное знание законов логики. Как правило, оно нас не подводит. Но в отдельных случаях оно может оказаться ненадежным.

     Наше логическое чутье и наши  навыки доказательства не так  безупречны, как это зачастую  кажется. Полезно поэтому не  упускать случая, чтобы их усовершенствовать.

     Ясное понимание доказательства  предполагает определенное представление  о рассуждениях, имеющих форму  доказательства, но на самом деле  им не являющихся. Такие «несостоявшиеся  доказательства» - результат ошибок, допущенных в ходе доказательства. Знакомство с наиболее типичными  из них способствует совершенствованию  практических навыков доказательства  и позволяет лучше понять, что  представляет собой «безошибочное»  доказательство.

     Доказательство – это логическая, дедуктивная связь принятых аргументов  и выводимого из них тезиса. Логические ошибки в доказательстве  можно разделить не относящиеся  к тезису, к аргументам и к  их связи. Последние – это формальные ошибки, ошибки логически ущербного рассуждения, когда тезис не вытекает из аргументов. 

5.1. ФОРМАЛЬНОЕ НЕСОВЕРШЕНСТВО

     Ошибки, обычно встречающиеся в  доказательствах, самым общим  образом можно разделить на  относящиеся к содержанию доказательства  и относящиеся к его логической  форме.

     Содержательная ошибка – это  использование в доказательстве  ложных посылок. Если хотя бы  одна из посылок верна, то  доказательство теряет всякую  силу.

     Формальная ошибка имеет место  тогда, когда умозаключение не  опирается на логический закон  и заключение не вытекает из  принятых посылок. Иногда эту  ошибку сокращенно так и называют  – «не вытекает».

     Лучшее средство предупреждения  формальных ошибок – изучение  теории умозаключения, знание  законов логики и совершенствование  практических навыков их применения. 

5.2. ОШИБКИ В ОТНОШЕНИИ  ТЕЗИСА

     Характерная ошибка в отношении  тезиса – подмена тезиса, неосознанное  или умышленное замещение его  в ходе доказательства каким-то  другим утверждением. Подмена тезиса ведет к тому, что доказывается не то, что требовалось доказать.

    Тезис может сужаться, в таком  случае он останется недоказанным. Например, для доказательства того, что сумма углов треугольника  равна двум прямым, недостаточно  доказать, что эта сумма не  больше 180 градусов. Для обоснования  того, что человек должен быть  честным, мало доказать, что разумному  человеку не следует лгать.

     Тезис может также расширяться.  В этом случае нужны дополнительные  основания. И может оказаться,  что из них вытекает не только  исходный тезис, но и какое-то  иное, уже неприемлемое утверждение.  «Кто доказывает слишком много,  тот ничего не доказывает»  - эта пословица как раз и  имеет в виду такую опасность.

     Иногда случается полная подмена  тезиса. Критикуя одного из ораторов во время дебатов о свободе печати, К.Маркс указывает на подмену им тезиса: «Чтобы действительно оправдать цензуру, оратор должен был бы доказать, что цензура составляет сущность свободы печати. Вместо этого он доказывает, что свобода не составляет сущности человека». 
 
 

5.3. ОШИБКИ В ОТНОШЕНИИ  АРГУМЕНТОВ

     Наиболее частая ошибка – это  попытка обосновать тезис с  помощью ложных аргументов.

     Тигры, как известно не летают. Но рассуждение «Только птицы летают; тигры не птицы; следовательно, тигры не летают» не является доказательством этого факта. В рассуждении используется неверная посылка, что способны летать только птицы: летают и многие насекомые, и самолеты и др. С помощью  же посылки «Только птицы летают» можно вывести не только истинное, но и ложное заключение, скажем, что майские жуки, поскольку они не птицы, не летают.

     Довольно распространенной ошибкой  является «круг в доказательстве»:  справедливость доказываемого положения  обосновывается посредством этого же положения, высказанного, возможно, в несколько иной форме. Если за основание доказательства принимается то, что еще нужно доказать, обосновываемая мысль выводится из самой себя, и получается не доказательство, а пустое хождение по кругу.

     Если доказывать, что человек  есть разумное животное, тем, что  он рассуждать может, и что  он рассуждать может – тем,  что он есть разумное животное, то это и будет круг в  доказательстве.

      
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

     Подводя итоги, можно сказать, что поставленные в контрольной работе задачи, выполнены. В первой главе данной работы дано определение доказательству, далее перечислены виды доказательств и раскрыта их сущность. О доказательстве в логике говорится много, об опровержении только вскользь, хотя опровержение представляет собой как бы зеркальное отображение доказательства, поэтому в этой работе одна из глав посвящена опровержению. И завершает контрольную работу глава, описывающая ошибки, которые встречаются в доказательствах.

     Раскрывая логическую сущность доказательства, мы рассмотрели типичное для формальной логики построение доказательного рассуждения при заранее сформулированном положении с оценкой тезиса в качестве истинного или ложного суждения. Задача доказывающего сводится к подбору достаточных аргументов и выведению из них с логической необходимостью данного тезиса. Такой процесс доказательства преследует либо дидактические цели убеждения (слушателей, читателей) в истинности известного научного положения, либо научную цель проверки суждения, истинность которого еще не установлена.