Общие теоремы динамики точки и системы. Количество движения точки и системы. Теорема об изменении кинетической энергии точки

              Для поперечных сил, независимо от направления координатных осей, устанавливается следующее правило знаков: если результиру­ющая поперечная сила Qy вращает рассматриваемую часть балки по ходу часовой стрелки, то она считается положительной, в обратном случае  отрицательной (рис. 8, б).

              Из условия равновесия Mx = 0; y = 0 отсеченной части системы, расположенной левее от сечения z1 (первый участок), (см. рис. 7, в), получим:

Mx (z1) = Ra z1;     Qy = Ra .

              Для определения Mx и Qy на втором участке рассмотрим рав­новесие отсеченной части балки, расположенной правее от сечения z2 (см. рис. 7, б), т.е. Mx = 0; y = 0 откуда и определим:

Mx (z2) = Rb (a + b  z2);     Qy =  Rb .

              Эпюры Mx и Qy изображены на рис. 9. Заметим, что эпюры изгибающих моментов Mx , как и поперечных сил Qy строятся на оси бруса, однако в отличие от эпюры поперечных сил знак момента не указывается, а ординаты изгибающего момента откла­дываются co стороны растянутых волокон.

Рис. 9

 Основные дифференциальные соотношения
теории изгиба

              Пусть брус нагружен произвольным образом распределенной нагрузкой q = f (z) (рис. 10, а).

Рис. 10

              Выделим из бруса элемент длиной dz и приложим по его краям положительные внутренние усилия (рис. 10, б). В пределах малого отрезка dz нагрузку q можно считать распределенной равномерно. Приравняем нулю сумму проекций всех сил на вертикальную ось y и сумму моментов всех сил относительно поперечной оси x, прохо­дящей через точку С (рис. 10, б), получим:

Qy + q dz  Qy  d Qy = 0 ;

Mx + Qy dz + q dzdz/2  Mx  d Mx = 0.

              Производя упрощения и отбрасывая величины высшего поряд­ка малости, получим:

откуда

.                                                                     

              Из следует, что при q = const функция Qy будет линей­ной, а функция Mx  квадратичной. Если на какихто участках бруса распределенная нагрузка отсутствует, т.е. q = 0, то получим, что Qy = const, а Mx является линейной функцией от z.

              В сечениях, где приложена сосредоточенная сила, эпюра Qy претерпевает скачок на величину внешней силы. И наконец, в тех сечениях, где Qy принимает нулевое значение и меняет знак, функция Mx достигает экстремальных значений.

Напряжения при чистом изгибе

              Рассмотрим наиболее простой случай изгиба, называемый чис­тым изгибом. Как было отмечено выше, под чистым изгибом понимается такой вид сопротивления, при котором в поперечных сечениях бруса возникают только изгибающие моменты, а попе­речные силы равны нулю. Для тех участков бруса, где соблюдается данное условие, изгибающий момент, согласно второго выражения , вдоль продольной оси z принимает постоянное значение. Так как в любом сечении стержня при чистом изгибе Mx(z) = const, то для однородного бруса постоянного поперечного сечения изменение кривизны постоянно вдоль оси z. Под действием изгибающих мо­ментов ось бруса искривляется. Исходя из этого, ось бруса прини­мает форму дуги окружности с радиусом кривизны  (рис. 11). В данном случае с высокой степенью точности справедлива гипотеза плоских сечений. Следовательно, точки, расположенные до изгиба в плоскости поперечного сечения бруса, в результате изгиба пере­местятся в пространстве таким образом, что их совокупность снова образует плоскость.

              Процесс формирования деформаций при чистом изгибе может рассматриваться как результат поворота плоских поперечных сече­ний друг относительно друга.

              Рассмотрим два смежных сечения, отстоящих один от другого на расстоянии dz (рис. 11).

              В результате изгиба эти сечения наклонятся, образуя между со­бой угол d , в связи с чем верхние волокна удлиняются, а ниж­ние  укоротятся. Очевидно, что при этом существует слой, длина которого не изменилась. Назовем его нейтральным слоем и обозначим отрезком СD. При этом CD = CD= dz = d. Произвольный отрезок АВ, расположен­ный от СD на расстоянии y, в результате изгиба удлинится на величину A B   AB. С учетом построений, изображенных на рис. 11, легко определить величину его линейной деформации:

.

              Если предположить, что продольные волокна не давят друг на друга, то каждое из них будет находиться в условиях простого растяжения  сжатия. Тогда переход от деформаций к нормальным напряжениям  можно осуществить посредством закона Гука:                                                                                                                 

Рис. 12

              Устано­вим положение нейт­ральной оси x, от кото­рой происходит отсчет координаты у (рис. 12). Учитывая, что сумма элементарных сил dF по площади попе­речного сечения F дает нормальную силу Nz . Но при чистом изгибе Nz = 0, следовательно:

.

              Как известно, последний интеграл представляет собой статиче­ский момент сечения относительно нейтральной линии (оси x). Статический момент равен нулю, значит, нейтральная линия про­ходит через центр тяжести сечения.

              Выразим момент внутренних сил относительно нейтральной оси Mx через . Очевидно, что

.

              C учетом выражения получим:

.                                         

Откуда

                            ,                                                       

где  кривизна нейтрального волокна; EIx  жесткость бруса.

              Из формулы, исключая 1/, окончательно получим:

.                                                                     

Откуда следует, что нормальные напряжения  в поперечном сече­нии бруса при его изгибе изменяются по линейному закону в зависимости от координаты y и принимают максимальное значение на уровне крайних волокон (при y = ymax):

,

где   момент сопротивления сечения.

              Энергия упругих деформаций бруса при изгибе V определяется работой момента Mx на соответствующем угловом перемещении d :

, с учетом и ,

окончательно получим

.

3.Силовые соотношения, условия самоторможения и к.п.д.

винтовой пары.

Зависимость между моментом, приложенным к гайке, и осевой силой винта. Если винт нагружен осевой силой F (рис. 13), то для завинчивания гайки к ключу необходимо приложить момент ТЗАВ, а к стержню винта — реактивный момент Тр, который удерживает стержень от вращения. При этом можно записать

где ТТ — момент сил трения на опорном торце гайки; Тр — момент сил в резьбе. Равенство, так же как и последующие зависимости, справедливо для любых винтовых пар болтов, винтов,  шпилек  и  винтовых  механизмов.

Не   допуская   существенной   по­грешности,    принимают   приведен­ный радиус сил трения на опорном торце   гайки   равным   среднему   радиусу   этого    торца   или  DСР/2.   При  этом

TТ = Ff(DСР/2),             

где DСР = (Dl + dОТВ)/2; Dl — наружный диаметр опорного торца гайки; dОТВ —диаметр отверстия под винт; f—коэффициент трения  на  торце  гайки.

Момент сил в резьбе определим, рассматривая гайку как ползун, поднимающийся по виткам резьбы, как по наклонной плоскости (рис. 14, а). По известной теореме механики, учи­тывающей силы трения, ползун находится в равновесии, если равнодействующая Fn системы внешних сил отклонена от нормали n — n на угол трения ϕ. В нашем случае внешними являются осевая сила F и окружная сила Ft = 2Tp/d2. Здесь Tp —не реактивный, а активный момент со стороны ключа, равный   ТЗАВ — ТT   Далее  (рис.14),  или

где — угол подъема резьбы; — угол трения в резьбе; — приведенный коэффициент трения в резьбе, учитывающий влияние угла профиля. Подставляя значения моментов в формулу, найдем искомую  зависимость:

При отвинчивании гайки окружная сила F1  и силы трения меняют направление (рис. 14,б). При этом получим

Момент   отвинчивания  с   учетом   трения   на   торце   гайки,  по аналогии  с  формулой,

Полученные  зависимости  позволяют  отметить:

1.  По  формуле  можно  подсчитать  отношение осевой силы винта F  к силе FK,  приложенной на ручке ключа,  т. е F/FK,    которое    дает    выигрыш    в    силе.    Для    стандартны метрических    резьб    при    стандартной    длине    ключа    и F/FK = 70...80.

2.   Стержень   винта   не   только   растягивается  силой  F,   но и закручивается  моментом   ТР.

Самоторможение и к. п. д. винтовой пары. Условие самоторможения можно записать в виде Тотв>0, где Тотв определяется по формуле Рассматривая самоторможение только в резьбе без учета трения на торце гайки, получим или

Для крепежных резьб значение угла подъема лежит в пределах 2°30'...3°30', а угол трения изменяется в зави­симости от коэффициента трения в пределах от 6° (при f≈0,1) до 16° (при f≈0,3). Таким образом, все крепежные резьбы — самотормозящие. Ходовые резьбы выполняют как самотор­мозящими,  так  и  несамотормозящими.

Приведенные выше значения коэффициента трения, свидетельствующие о значительных запасах самоторможения, справед­ливы только при статических нагрузках. При переменных нагрузках и особенно при вибрациях вследствие взаимных микросмещений поверхностей трения (например, в результате радиальных упругих деформаций гайки и стержня винта) коэффициент трения существенно снижается (до 0,02 и ниже). Условие самоторможения нарушается. Происходит самоотвин­чивание.

К. п. д. винтовой пары представляет интерес главным образом для винтовых механизмов. Его можно вычислить по отношению работы, затраченной на завинчивание гайки без учета трения, к той же работе с учетом трения. Работа завинчивания равна произведению момента завинчивания на угол поворота гайки. Так как углы поворота равны и в том и в другом случае, то отношение работ равно отношению моментов , в котором определяется по формуле,   а   — по  той  же  формуле,   но  при f=0  и  ϕ = 0:

Учитывая  потери  только  в  резьбе  (TT = 0),  найдем  к. п. д. собственно  винтовой  пары:

самотормозящей паре, где , . Так как большинство   винтовых   механизмов   самотормозящие,   то   их к. п. д -   меньше  0,5.

Формула позволяет отметить, что возрастает с увеличением    и уменьшением  .

Для увеличения угла подъема резьбы в винтовых механизмах применяют многозаходные винты. В практике редко используют винты, у которых больше 20..25°, так как дальнейший прирост к. п. д. незначителен, а изготовление резьбы затруднено. Кроме того, при большем значении становится малым выигрыш в силе или передаточное отношение винтовой  пары.

Для повышения к. п. д. винтовых механизмов используют также различные средства, понижающие трение в резьбе: антифрикционные металлы, тщательную обработку и смазку трущихся поверхностей, установку подшипников под гайку или  упорный  торец  винта,  применение  шариковых   винтовых пар и  пр.

Распределение осевой нагрузки винта по виткам резьбы.  На рис. 15 изображена схема винтовой пары. Осевая нагрузка винта передается через резьбу гайке и уравновешивается реакцией ее опоры. Каждый виток ре­зьбы нагружается соотве­тственно силами F1 F2, ..., Fz, где z — число витков  резьбы  гайки.

Сумма . В общем случае Fi не равны между собой. Задача о распределении нагрузки по виткам статически неопределима. Для ее решения уравнения равновесия дополняют уравнениями деформаций. Впервые она была решена Н. Е. Жуковским в 1902 г. Не излагая это сравнительно сложное решение, ограничиваемся качественной оценкой причин неравномерного распределения нагрузки. В пер­вом приближении полагаем, что стержень винта и гайка абсолютно жесткие, а витки резьбы податливые. Тогда после приложения нагрузки F все точки стержня винта (например, А и В) сместятся одинаково относительно соответствующих точек гайки (например, С и D). Все витки получат равные прогибы, а следовательно, и равные нагрузки (рис. 15, а). Во втором приближении полагаем стержень винта упругим, а гайку оставляем жесткой. Тогда относительное перемещение точек А и D будет больше относительного перемещения точек В и С на значение растяжения стержня на участке АВ. Так как нагрузка витков пропорциональна их прогибу или относительному перемещению соответствующих точек, то нагрузка  первого  витка  больше  второго  и  т. д.             

В действительности все элементы винтовой пары податливы, только винт растягивается, а гайка сжимается. Перемещения точки D меньше перемещений точки С на значение сжатия гайки на участке CD. Сжатие гайки дополнительно увеличит разность относительных перемещений точек А и D, В и С и т. д., а следовательно, и неравномерность нагрузки витков  резьбы.

Все изложенное можно записать с помощью математически символов. Обозначим   перемещения соответствующих точек. Вследствие растяжения участка АВ винта ,  а  вследствие сжатия участка   CD гайки .