Общие теоремы динамики точки и системы. Количество движения точки и системы. Теорема об изменении кинетической энергии точки

Министерство науки и образования РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Московский государственный технологический институт «СТАНКИН»

Егорьевский технологический институт (филиал)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ОСНОВЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ И КОНСТРУИРОВАНИЯ»

ВАРИАНТ 23

Работу выполнил:                                                                           Работу проверил:                                 

Студент гр. М-09-з                                                                                      доцент

__________Е.С.Булычева                                                   _________С.Л.Махов

«____»_____________2011г.                                          «____»____________2011г.

Егорьевск

2011 г.

СОДЕРЖАНИЕ:

1.      Общие теоремы динамики точки и системы. Количество движения точки и системы. Теорема об изменении кинетической энергии точки………………………………………………….…………………….3

2.      Изгиб. Основные понятия и определения. Поперечная сила и изгибающий момент…………………………………….………………..13

3.      Силовые соотношения, условия самоторможения и к.п.д. винтовой пары…………………………………………………………………..……21

4.      Задачи……………………………………………………………..……….27

5.      Список использованных источников……………………………………28

1.      Общие теоремы динамики точки и системы. Количество движения точки и системы. Теорема об изменении кинетической энергии точки.

Рассмотрим движение материальной точки (рис. 1) в инерциальной системе отсчёта под действием сил, обусловленных взаимодействием точек с другими точками и телами (т. е. возникающих в результате взаимодействия материальных объектов). 

Рис.1.

 Заметим, что при движении в неинерциальной системе отсчёта относительные движения частично определяются движением самой системы отсчёта.

Уравнения движения составляются на основе законов Ньютона.

Законы Ньютона – идеализированные законы природы, но для практики это допустимо в очень широких пределах. Введём меры движения.

Количество движения – равно произведению массы m на вектор скорости точки: 

,

где m = const > 0 – мера инертности материи.

Момент количества движения, относительно начала координат (рис. 2):

.

Рис.2.

 Кинетическая энергия материальной точки:

(скаляр)

В дальнейшем покажем, что в ряде случаев движение точки наглядней описывается через  или Т.

При формулировании законов Ньютона обозначаем:

 - сила взаимодействия между точками  и ;

- суммарная сила, приложенная к точке М, взаимодействующей со многими точками.

Первый закон Ньютона: материальная точка пребывает в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения относительно инерциальной системы отсчёта до тех пор, пока действующие на неё силы не изменят это состояние.

То есть изолированная точка либо покоится, либо движется прямолинейно и равномерно. Причина изменения движения – вне самой точки.

 Второй закон Ньютона: производная по времени от количества движения материальной точки геометрически равна силе, приложенной к точке. Или, при постоянной массе, произведение массы точки на её абсолютное ускорение геометрически равно приложенной к материальной точке силе, т. е.

 или , если m = const.

Связь кинематической величины – ускорения с динамической величиной – силой через коэффициент пропорциональности – массу.

Третий закон Ньютона: две любые материальные точки взаимодействуют друг с другом с силами, направленными по прямой, соединяющей эти точки, равными по величине и противоположно направленными (рис. 3).

Рис.3.

 Рассмотрим воздействие точки M1 c остальными точками (рис. 4).

 
Для  имеем ускорение:

Принцип независимости действия сил: ускорение , вызываемое силой  , определяется только этой силой и не зависит от других сил.

Рассмотрим движение свободной материальной точки в инерциальной системе отсчёта в декартовых координатах. Из 2-го закона Ньютона:

            ,     ,                 

причём, Fx, Fy, Fz – могут зависеть от координат, первых производных, времени: .

Если известен закон движения (например из кинематики):

,     ,     ,

то => Fx(t), Fy(t), Fz(t). Это первая (прямая) задача динамики точки.

Если известна сила, то для исследования движения необходимо интегрировать дифференциальные уравнения – это вторая (обратная) задача динамики точки.

 Формы дифференциальных уравнений движения

1) 2-ой закон Ньютона – для количества движения.

2) Умножим на  (векторно):

или  - уравнение момента количества движения.

Производная по времени от момента количества движения геометрически равна моменту силы.

Подробная запись (координатная):

3) Умножим скалярно на элементарные перемещения :

.

- уравнение кинетической энергии.

Дифференциал кинетической энергии точки равен элементарной работе суммы сил, приложенных к точке, на действительном перемещении. Рассмотрим движение n свободных материальных точек относительно инерциальной системы отсчёта (рис. 5).

Рис.5.

- масса точки .

Масса всей системы:

.

Центром масс системы назовём точку С, радиус – вектор которой равен

,

где .

Основные меры движения системы материальных точек:

1. Суммарное количество движения системы (геометрическая сумма количества движения материальных точек).

, где - скорость точки  .

Рассмотрим систему точек с постоянными массами => дифференцируя :

;где  - скорость центра масс.

Итак, 

Количество движения системы  материальных точек равно количеству движения массы всей системы, сосредоточенной в центре масс.

Основные (общие) теоремы динамики систем свободных материальных точек являются уравнениями движения систем свободных материальных точек, т. е. математически дифференциальными уравнениями изменений основных мер движения.

1. Для точки  уравнение движения относительно инерциальной системы отсчёта:

Перенесём все векторы, не изменяя их направления, в центр масс и сложим геометрически:

.

Производная по времени от количества движения системы свободных материальных точек равна геометрической сумме внешних сил. Это теорема об изменении количества движения системы.

Так как  то

.

Это уравнение движения центра масс системы  материальных точек с массой, равной массе всей системы, к которой приложена сумма всех внешних сил (главный вектор внешних сил ) или теорема о движении центра масс.

2. Умножим уравнение движения точки  слева векторно на  и геометрически сложим, перенося векторы в центр масс:

.

Теорема об изменении кинетического момента системы:

Производная по времени от кинетического момента системы свободных материальных точек равна сумме моментов всех внешних сил (главному моменту всех внешних сил).

Существенно: моменты количества движения и моменты сил вычисляются относительно общего неподвижного начала.

3. Умножая скалярно уравнение движения точки  на  и суммируя:

или

.

Теорема об изменении кинетической энергии системы:

Дифференциал кинетической энергии системы свободных материальных точек равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил.

Интегралы уравнений движения системы:

1) Если равен нулю главный вектор внешних сил, то = const, то есть центр масс системы свободных материальных точек движется равномерно и прямолинейно.

2) Если главный момент внешних сил равен нулю, то сохраняется кинетический момент системы свободных материальных точек:

.

3) Если внешние и внутренние силы консервативны, то

Здесь:

 - потенциал внешнего силового поля;

 - потенциал взаимодействия точек;

 - потенциальная энергия системы точек во внешнем поле;

 - потенциальная энергия взаимодействующих точек.

2. Изгиб. Основные понятия и определения. Поперечная сила и изгибающий момент.

              Под изгибом понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникают изгибающие моменты Mx или My . Если изгибающий момент в сечении является единст­венным силовым фактором, то изгиб называется чистым (рис. 5.1, а).

Рис. 6.

              В тех случаях, когда в поперечных сечениях бруса наряду с изгибающим моментом возникают и поперечные силы изгиб назы­вается поперечным. Брус, работающий в основном на изгиб, часто называют балкой. В дальнейшем будем рассматривать такие случаи изгиба балки, при которых, вопервых, поперечное сечение балки имеет хотя бы одну ось симметрии, и, вовторых, вся нагруз­ка лежит в плоскости, совпадающей с осью симметрии балки. Та­ким образом, одна из главных осей инерции лежит в плоскости изгиба, а другая перпендикулярна ей.

              Для того, чтобы правильно ориентироваться в вопросах, связан­ных с расчетом бруса на изгиб, необходимо прежде всего научиться определять законы изменения внутренних силовых факторов, т.е. научиться строить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил.

              Предварительно рассмотрим три основных типа опорных связей балки с основанием:

              1. Шарнирноподвижная опора (рис. 6, б  левая опора бал­ки), ограничивающая лишь вертикальное перемещение опорного узла.

              2. Шарнирнонеподвижная опора (рис. 6, б  правая опора балки), ограничивающая вертикальное и горизонтальное перемеще­ния опоры.

              3. Жесткая заделка (рис. 6, а  опора балки на левом краю), не допускающая поворота и перемещений по вертикали и горизон­тали сечения балки, примыкающего к опоре.

              По запрещенным направлениям во всех этих типах опор воз­никают соответствующие реакции.

              Рассмотрим характерный пример (рис. 7, а) и установим не­обходимые правила. Решение задачи, как правило, начинается с определения полной системы внешних сил. Для этого отбросим опоры и заменим их соответствующими реакциями (рис. 7, б), выполняющими ту же роль, что и опорные закрепления.

Рис. 7

              Заданная система статически определима, следовательно, из ус­ловий равновесия системы, т.е. равенства нулю суммы моментов всех сил относительно шарнирных опор (в шарнирах нет ограниче­ний поворота сечений балки, поэтому изгибающих моментов не возникает) m (A) = 0 и m (В) = 0, определяем вертикальные реакции в опорах:

.

              Для определения НА имеем: откуда НА =0. Для проверки правильности вычислений воспользуемся усло­вием равенства нулю суммы всех вертикальных сил y = 0, откуда получим

,     0 = 0.

              Для определения внутренних силовых факторов  изгибающего момента М (z) и поперечной силы Q (z) как функций от продоль­ной координаты z, воспользуемся методом сечений. Для полу­чения этих зависимостей балку разбивают на участки, границами которых являются следующие точки: начало и конец балки; точки приложения сосредоточенных усилий; начало и конец действия распределенных усилий; сечения, в которых скачкообразно изменя­ется жесткость балки; в точках, где происходит изменение ориен­тации элементов, если имеем дело с стержневой системой со сложной структурой.

Рис. 8.

              Заданная система состоит из двух участков  первого (0  z  a) и второго (a  z  a + b). Следовательно, задавая последовательно сечения, принадлежащие к первому и второму участкам, и рассмат­ривая равновесие отсеченных частей системы при действии на них всех внешних сил и внутренних уси­лий, определим выражения для внутренних сило­вых факторов. При этом, знак изгибающего мо­мента устанавли­вается по знаку кривизны изогну­того бруса (рис. 8, а) и зависит от выбранного направления осей системы координат y0z. Следовательно, в системе координат y0z принятой на рис. 8, а положительный момент вызывает рас­тяжение нижних волокон балки.