Розв’язування задач сфероїдної геодезії

Вихідні дані

	grad	min	sek
В1	60	16	1,1111
L1	74	41	11,1111
A12	316	1	1,1111
s	7500	м

 

 

Сталі величини

 

а

6378245 м

0,00669342

0,00673853

57,29577951

 

Наближення ( 1 )
Позначення  дій	Результати	Позначення  дій	Результати
	6399698,916		1,000828414
	0,04843525		-0,081708771
	-0,094097042
	60,29119293		315,9761209

 

 

 

 

 

 

Позначення  дій	Результати  в наближеннях
	( 2 )	( 3)	( 4 )	( 5 )	( 6 )
	1,000827188	1,000827189	1,000827189	1,000827189	1,000827189
	0,000000225	0,000000225	0,000000225	0,000000225	0,000000225
	0,000000085	0,000000085	0,000000085	0,000000085	0,000000085
	0,000000030	0,000000030	0,000000030	0,000000030	0,000000030
	0,048401728	0,048401670	0,048401670	0,048401670	0,048401670
	-0,094236170	-0,094236242	-0,094236241	-0,094236241	-0,094236241
	-0,081849329	-0,081849378	-0,081849378	-0,081849378	-0,081849378
	0,048401743	0,048401685	0,048401685	0,048401685	0,048401685
	-0,094236175	-0,094236247	-0,094236247	-0,094236247	-0,094236247
l	-0,081849343	-0,081849392	-0,081849392	-0,081849392	-0,081849392
t	60,291176177	60,291176148	60,291176148	60,291176148	60,291176148
	315,976050634	315,976050610	315,976050610	315,976050610	315,976050610
	1,000827188	1,000827189	1,000827189	1,000827189	1,000827189

 

Кінцеві результати

Позначення  дій	Результати
	60,3153770
	74,5921835
	135,9351259

 

 

8. Розв’язування оберненої геодезичної задачі за формулами Гауса із середніми аргументами

 

Завдання. Розв’язати обернену геодезичну задачу, якщо геодезичні координати пункту А N – номер варіанту. Геодезичні координати пункту В вибрати із завдання № 7 : В₂ = , L₂ = .

         Для розв’язування оберненої геодезичної задачі, в якій за значеннями геодезичних координат В₁, L₁ та В₂, L₂ пунктів А та В розраховують значення азимутів А₂₁, А₁₂ та  довжини s геодезичної лінії АВ, найбільш оптимально використовувати обернений алгоритм розв’язування за формулами Гауса із серединіми аргументами:

                         (1)

                            (2)

                (3)

Черговість дій при  розв’язуванні оберненої геодезичної  задачі за формулами Гауса із середніми аргументами:

1. Обчислення різниць координат та середньої широти
2. Обчислення сум поправочних коефіцієнтів у формулах (1) та (2)

                        

3. Обчислення середнього азимуту .

Оскільки b = та l = , то звідси виражаємо допоміжні величини P та Q:

де  - друга функція середньої геодезичної широти; - радіус кривизни меридіанного перерізу в полюсі при ;

- велика піввісь та другий  ексцентриситет еліпсоїду. З останніх  двох рівнянь маємо:  Тому середній азимут

а за знаками величин P та Q визачаємо четверть, в якій розташований напрям .

            4. Обчислення довжини геодезичної  лінії  або

           5.  Обчислення зближення меридіанів t за формулою (3):

           

6. Обчислення азимутів   та .

Наведені формули за точністю результатів розрахунків  дійсні для віддалей такого ж порядку, що й у прямій геодезичній задачі.

У порівнянні з іншими способами розв’язування оберненої геодезичної задачі спосіб Гауса з формулами із середніми аргументами виділяється простотою робочих формул, тому розглядається як найбільш оптимальний. Оскільки за умовою задачі один із серезніх аргументів  В_m можна розрахувати завчасно, то незручність, яка має місце у прямій задачі ( застосування послідовних наближень ), у оберненій задачі відсутня.

 

 

                                                Вихідні дані

	grad	min	sek
B1	60	16	1,1111
L1	74	41	11,1111
B2	60	18	55,3572
L2	74	35	31,8606

 

 

Сталі величини

 

а

6378245 м

0,00673853

57,29577951

 

 

Позначення  дій	Результати	Позначення  дій	Результати
1. Обчислення різниць координат і середньої широти
	0,04840169		60,29117615
	-0,09423625
2. Обчислення  сум поправочних коефіцієнтів
	0,000000225		1,000000310         1,000000055
	0,000000030
	0,000000085
3. Обчислення  середнього азимуту Аm
	6399698,916		-5212,192
	1,000827189		315,9760506
	5392,870	Аm
4. Обчислення  довжини геодезичної лінії s
	-0,08184938		7500,00
5. Обчислення зближення меридіанів t
	0,08818747		1,0000002
			0,088187912
6. Обчислення азимутів
	316,0169753		135,9351259

 

 

9. Пряма задача проекції Гауса – Крюгера

            Завдання. Розв’язати пряму задачу проекції Гауса – Крюгера для мережі двох трикутників, зображених на схемі, якщо геодезичні координати початкового пункту азимут вихідної сторони - , довжина геодезичної лінії метрів. N – номер варіанту.

В проекції Гауса - Крюгера  еліпсоїд розділений меридіанами на зони з постійною різницею довгот. Кожна зона є сфероїдним двокутником з вершинами у полюсах. Середній меридіан зони називають осьовим меридіаном з довготою L₀ . Протяжність зони по довготі складає 6°, а в районах проведення крупне масштабних знімань - 3°.

В кожній зоні зображення осьового меридіану  прийнято за вісь абсцис х, а зображення екватору - за вісь ординат у. Ці криві поверхні еліпсоїду в проекції Гауса - Крюгера на площині зображуються прямими лініями. Вздовж осьового меридіану еліпсоїд зображується на площині без спотворень. Перетин осей абсцис і ординат є початком координат х₀, у₀ для кожної зони. Зображення а точки А в проекції зони на площині описується прямокутними плоскими координатами х,у. В межах території України абсциси х додатні; ординати у додатні східніше та від'ємні західніше осьового меридіану зони. Щоб уникнути від'ємних ординат, точкам осьового меридіану зони умовно присвоюють значення ординати уо = 500 000 м і спереду записують номер зони.

Прямою задачею проекції Гауса - Крюгера називають розв'язування завдання переходу з поверхні еліпсоїду на площину з метою визначення прямокутних координат пунктів, якщо вихідними даними є геодезичні координати В,L початкового пункту А, довжина геодезичної лінії s та азимут А_АВ вихідної сторони АВ мережі геодезичних пунктів.

        Хід дій при розв’язуванні прямої задачі проекції Гауса – Крюгера:

1. Розрахунок номера  зони n, довготи її осьового меридіану L₀ та геодезичних координат    В_А, l початкового пункту А, віднесених до зони його розташування.

2. Розрахунок прямокутних  координат x, y початкового пункту А за його геодезичними координатами в зоні В_А, l:

   (1)

                                             (2)

 

Величину Х можна  розрахувати за формулою:

                                             (3)

3. Розрахунок зближення меридіанів на площині у пункті А за геодезичними координатами В_А, l:

                                   (4)

За величиною  тепер можна виразити наблтжене значення дирекційного кута вихідної сторони АВ на площині:

                                                                                                  (5)

4. Розрахунок масштабу  зображення m  в пункті А на площині за геодезичними координатами В_А, l:

                                                                            (6)

5. Розрахунок наближених довжин сторін геодезичної мережі на площині за виміряними сферичними кутами і довжиною геодезичної лінії s вихідної сторони мережі. ( див. завдання №№ 4,5 ).

6. Розрахунок наближених  значень  плоских прчмокутних координат пунктів за координатами початкового пункту А, наближеним значенням дирекційного кута вихідної сторони АВ, виправленими кутами та наближеними довжинами сторін трикутників на площині.

7. Редукція довжини геодезичної лінії s вихідної сторони АВ з еліпсоїду на площину.

                                                                                (7)

8. Редукція напрчмів  з еліпсоїду на площину.

АВ, АС – геодезичні лінії на еліпсоїді Криві аb, ас – зображення геодезичних ліній АВ, АС на площині.

 

Значення дирекційного кута вихідної сторони АВ на площині:

                                                                     (8)

Поправки за редукцію прямого та зворотного напрчмів геодезичної лінії з еліпсоїду на площину розраховують з формулами:

                (9)

            (10)

9. Зрівнуважування мерижі  і розрахунок остпточних значень x, y плоских прямокутних координат пунктів за координатами початкового пункту, дирекційним кутом та довжиною S вихідної сторони і зрівноваженими кутами та довжинами сторін трикутників на площині.

 

 

 

 

 

 

 

Вихідні дані

Результати  вимірів кутів

№ трикутника	Позначення  кутів	Виміряні сферичні кути
1	А1
	В1
	С1
2	А2
	В2
	С2