Розв’язування задач сфероїдної геодезії

 

Сталі величини

b

6356863,019 м

0,00669342

57,29577951

 

Робочі формули

                                     

Трикутник №1

                                            

                               

                     

Трикутник №2

                                           

                           

       

Відомість наближеного  розв’язування трикутників

 

 

Відомість наближеного  розв'язування трикутників
№тр.	Вершини	Виміряні сферичні кути			-w/3	Виправлені  сферичні кути			синуси кутів	Приблизні довжини					Аддитаменти					Довжини сторін
		grad	min	sek		grad	min	sek
1	С	49	59	51,2	-0,91592	49	59	50,28408	0,766014164	7500					0,00000022950					7500
	В	51	33	2,51	-0,91592	51	33	1,594083	0,783155911	7667,834					0,00000023988					7667,834
	А	78	27	9,18	-0,91592	78	27	8,264083	0,979758371	9592,757					0,00000037544					9592,758
	∑1	180	0	2,89	-2,7478	180	0	0,1422
	ε1			0,142
	w1			2,748
2	D	59	25	19,1	-0,58412	59	25	18,51588	0,860935734	9592,758					0,00000037544				9592,758
	B	51	46	48,52	-0,58412	51	46	47,93588	0,785640788	8753,804					0,00000031264				8753,803
	C	68	47	54,33	-0,58412	68	47	53,74588	0,932312836	10388,060					0,00000044027				10388,060
	∑2	180	0	1,95	-1,7523	180	0	0,1977
	ε2			0,198
	w2			1,752

 
 

              6. Розв’язування прямої геодезичної задачі способом допоміжної точки (спосіб Шрейбера)

           Завдання. Розв’язати пряму геодезичну задачу, якщо геодезична широта пункту А - геодезична довгота пункту А - прямий азимут напряму АВ - , довжина геодезичної лінії метрів. N – номер варіанту.

         Результати геодезичних вимірів визначають відносне взаємне положення геодезичних пунктів за відстанями між ними і кутами фігур, які вони утворюють. Абсолютне положення пунктів на земному еліпсоїді найбільш оптимально визначається їх координатами в геодезичній (географічній) системі. Геодезичні широта, довгота і азимут виражають положення пунктів та орієнтування напрямів між ними відносно ліній меридіанів та паралелей на поверхні земного еліпсоїду. Визначення геодезичних координат і азимутів – мета основних геодезичних робіт.

А   і   В   -   пункти   на   поверхні еліпсоїду  з геодезичними координатами В₁, L₁ та В₂, L₂.  АР - меридіан т.А;    ВР - меридіан т.В. А₁₂  і   А₂₁  -  прямий   і зворотній азимути напряму АВ. s - довжина геодезичної лінії АВ.

Задача, в якій за значеннями величин  В₁, L_{1 ,} А₁₂  та s розраховують значення В₂, L₂ та А₂₁ називається прямою геодезичною задачею.

Задача, в якій за значеннями величин В₁, L_{1 ,} та В₂, L₂ розраховують значення А₁₂  і   А₂₁  та s, називається оберненою геодезичною задачею.

Пряму і обернену геодезичні задачі називають головними геодезичними задачами.

 

При розв'язуванні головних геодезичних задач з метою  забезпечення потрібної точності кінцевих результатів обчислень необхідно  дотримуватись повної відповідності між точністю вихідних даних та точністю робочих формул. Така вимога викликана тим, що формули, які використовуються у вибраному способі розв'язування, є результатом розкладу в ряди тих чи інших диференційних чи тригонометричних співвідношень на поверхні еліпсоїду. В цьому розумінні всі формули є нестрогими і неточними. Використовуючи певне число членів ряду, можна отримати результат розрахунку з різною точністю. Практично, виходячи з точності вихідних даних та заданої точності кінцевого результату обчислень за формулою, встановлюється число членів ряду, які потрібно враховувати у вигляді поправочних коефіцієнтів. Інші члени ряду, як малі величини порівняно з точністю результату розрахунку, відкидаються. Критерієм точності формули є степінь малої величини, якою нехтують у остаточному вигляді формули.

Найчастіше такою малою  величиною є відношення  . Для забезпечення потрібної точності обчислень формулу можна вважати практично точною, якщо вона включає відповідне число поправочних коефіцієнтів та містить десятикратний запас (порядок) точності.

Розв'язування прямої геодезичної  задачі способом допоміжної точки виконується посереднім шляхом – обраховують насамперед різниці координат пунктів, а за ними - абсолютні значення координат. За умови використання робочих формул приведеного нижче вигляду, спосіб забезпечує розрахунок геодезичних координат пунктів у тріангуляції 1 класу з точністю десятитисячних часток секунди, азимутів - з точністю тисячних часток секунди.

С - допоміжна точка поверхні еліпсоїду, розташована на меридіані т.А так, що геодезична лінія СВ має азимут А_СВ = 90° . Точка С має геодезичні координати В₀, L_1.

Черговість дій при  розв'язуванні прямої геодезичної задачі способом допоміжної точки:

 

  1. Обчислення широти точки С

                                           

 

         b – різниця широт пункту А і точки С

 

                                      (1)

 

       де  - перша функція геодезичної широти пункту А;

       - радіус кривизни меридіанного перерізу в п.А;

         2. Обчислення широти пункту В

                                                                                         (2)

       d – різниця широт пункту В і точки С

                   

               (3)

      де  - перша функція геодезичної широти точки С; с – різниця довгот пункту В і точки С

                                                                             (4)

3. Обчислення  довготи пункту В

                              

                                                      (5)    

l – різниця довгот пунктів А і В ( приблизне значення різниці l виражає вели-

чина  ).

             

                (6)   

4. Обчислення  зворотного азимуту А₂₁              

                                                                                     (7)

 

  t -  кут, утворений на поверхні еліпсоїду кривою ВР меридіанного перерізу в

пункті В та кривою ВТ, яка паралельна меридіанному перерізові у пункті А.

Кут t називають зближенням меридіанів у пункті В. Приблизне значення

зближення меридіанів t виражає величина .

 

 

                                                         (8)

- сферичний надлишок трикутника АВС

                                    

                                   (9)

 

Вихідні дані

 

	grad	min	sek
В1	60	16	1,1111
L1	74	41	11,1111
A12	316	1	1,1111
s	7500		м

 

 

Сталі величини

а

6378245 м

0,00669342

0,00673853

57,29577951

 

Обчислення  широти точки С

Позначення  дій	Результати	Позначення  дій	Результати
	0,99747330686		0,04843525
	6383820,42990		0,00000367
	5396,5918		0,000000222
	-5208,3391		-0,000000001
b	0,048435082	В0	60,31541039

 

 

 

 

Обчислення  широти пункту В

Позначення  дій	Результати	Позначення  дій	Результати
	0,99747086508		3,33969E-05
	-0,046668185		0,00000034
	0,00000012		0,00000023
с	-0,046668179		0,000000002
	-0,094236311	d	0,00003340
	-0,081869185	В2	60,3153770

 

Обчислення  довготи пункту В

Позначення  дій	Результати	Позначення  дій	Результати
	0,00000068		-0,094236247
	0,000000000	L2	74,5921835

Обчислення  зворотного азимуту

Позначення  дій	Результати	Позначення  дій	Результати
	-0,00001973	t	-0,08186912
	0,00000045	A21	135,9351259
	0,00000000

7. Розв’язування прямої геодезичної задачі за формулами Гауса із середніми аргументами

Якщо відомі координати В₁, L₁ початкового пункту А, азимут А₁₂ та довжина елементу геодезичної лінії ds, то координати В₂, L₂ кінцевого пункту В лінії та азимут А₂₁ є функціями довжини лінії s:

                    причому       

Для забезпечення точності розрахунку координат і азимутів у тріангуляції 1 класу у формулах розрахунку різниць широт, довгот і  азимутів достатньо зберігати члени рядів з малими величинамиу третій степені. З такою точністю формули мають вигляд:

                         (1)

                            (2)

                (3)

Тепер

В отриманих формулах різниці координат і азимутів виражаються функціями В_m та  A_m ,а також b та  l, які невідомі. Тому завдання розв’язують послідовними наближеннями. У першому наближенні    і

За значеннями користуючись формулами (1) – (3), у другому наближенні розраховують  Наближення повторюють, доки результти розрахунків у двох суміжних наближеннях не будуть рівні між собою.