Розв’язування задач сфероїдної геодезії

 

Міністерство освіти і науки  України

 

Національний університет водного  господарства та природокористування

 

Кафедра землеустрою, геодезії та геоінформатики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Курсова робота

 

на тему:

"Розв’язування задач сфероїдної

геодезії"

 

Дисципліна: вища геодезія

 

                                            

                                             Варіант № 105 

     Виконав:

     студент ІІІ курсу

     ФЗГ, ГІС – 2

     Левчук  А.В.

 

     Викладач:

     Кошицький П.Г.

 

 

 

 

                                                           Рівне-2008 р.

 

Зміст

 

 

1.  Обчислення довжини дуги меридіану

Завдання. Обчислити довжину  дуги між точками меридіану з  широтами В₁= та В₂= ; N – номер варіанту.

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А₁ – точка на меридіанному еліпсі з широтою В₁. А₂ – точка на меридіанному еліпсі з широтою В₂.

Якщо різниця широт точок А₁ та А₂ виражається величиною В₂-В₁= dB, то при dB елементарна дуга меридіанного перерізу ds=MdB, а довжина дуги s виражається інтегралом

                              (1)

                                                                                 (2)

M — радіус кривизни мередіанного перерізу;

                     

                                        (3)

W – перша функція геодезичної широти; а – велика піввісь та е – перший ексцентриситет референц-еліпсоїду. Оскільки еліптичний інтеграл (1) не виражається елементарними функціями, то підінтегральну функцію розкладають в ряд. Число членів ряду встановлюється в залежності від точності визначення довжини s і протяжності дуги A₁A₂. Тому для практичних потреб користуються різними формулами розрахунку довжини дуги меридіану:

1) загальна формула для дуги меридіану довільної довжини

А,В,С,D – сталі коефіцієнти прийнятого референц-еліпсоїду; - число кутових одиниць ( градусів, хвилин чи секунд ) в одному радіані; - середня широта дуги A₁A₂.

2) формула для довжини  дуги меридіану довільної довжини  від екватора до точки A₁ з широтою В₁

                                            (5)

3) формула для довжини  дуги меридіану при обчисленнях  в тріангуляції на віддалі порядку сотень кілометрів

                                                                (6)

Радіус кривизни меридіанного перерізу M_m обчислюється за середньою широтою В_m.

4) формула для довжини  дуги меридіану при обчисленнях в тріангуляції на віддалі кілометрів

                                                                                               (7)

При обчисленні довжини  дуги меридіану для вибору робочої  формули можна попередньо встановити приблизне значення довжини, враховуючи, що приросту широти dB=1 вздовж меридіанного перерізу відповідає довжина дуги перерізу км.

 

 

 

 

Сталі величини

а	6378245 м				0,00669342					57,29577951
А	1,00505177	В		0,00506238		С	0,00001062		D		0,00000002

 

Вихідні дані

B1			46,76336
B2			51,26367

 

Обчислення  довжини дуги меридіану за формулою (4):

Позначення  дій	Результати
В2-В1	1,1111
Вm	49,01351851
a(1-e2)	6335552,727
A(B2-B1)/ρ	0,078941995
Bsin(B2-B1)cos2Bm	-0,00005547
C/2sin2(B2-B1)cos4Bm	-0,00000080
D/3sin3(B2-B1)cos6Bm	0,00000000
s (m)	500487,5299

 

Обчислення  довжини дуги меридіану за формулою (6):

Позначення  дій	Результати
Wm=Ö1-e2sin2Bm	0,998091155
Mm	6371972,438
Mm(B2-B1)/ρ	500487,8693
	-0,00000072
s (m)	500487,5086

 

 

 

Обчислення  довжини дуги паралелі

 Обчислити довжину  дуги між точками паралелі з широтою та

довготами   номер варіанту.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А₁ і А₂ – точки на паралелі з широтою В.  L₁ та L₂ – довготи точок А₁ і А₂. Паралель на земному еліпсоїді утворює коло. Радіус r паралелі з широтою В виражається формулою:

                                                                                                                         (1)

                                                                                                                               (2)

N – радіус кривизни перерізу першого вертикалу. Переріз першого вертикалу – це крива на поверхні еліпсоїду, утворена перетином поверхні еліпсоїду нормальною площиною, яка перпендикулярна до площини меридіанного перерізу у даній точці.

- перша функція геодезичної  широти; а – велика піввісь та е – перший ексцентриситет референц-еліпсоїду.

     Дуга паралелі між  точками А₁ та А₂ є дугою кола з центральним кутом, який дорівнює різниці довгот кінцевих точок дуги Довжина s дуги паралелі з широтою В, яка відповідає різниці довгот виражається формулою .  Остаточно

                                           

                                                         (3)

       За  умови точності широти і довгот  точок  формула (3) забезпечує середню квадратичну помилку довжини дуги паралелі м.

Вихідні дані

В			46,76336
L1			23,75698
L2			29,25756

 

Сталі величини

а

6378245 м

е2

0,00669342

ρ˚

57,29577951

 

 

Обчислення  довжини дуги меридіану за формулою (3):

Позначення  дій	Результати
	5,500586417
	0,99822213
	6389604,89
S (м)	420203,0762

 

 

 

3. Обчислення довжин сторін та площі знімальної трапеції

Завдання. Задано геодезичні координати точки А на поверхні земного еліпсоїду: широта довгота N – номер варіанту. Визначити приналежність точки  А знімальній трапеції масштабу 1: 50000, номенклатуру та геодезичні координати рамки відповідного листа і розрахувати довжини сторін та площу цієї трапеції.

Сторони знімальної трапеції чи листа карти заданого масштабу є лініями меридіанів та паралелей на поверхні земного еліпсоїду. Тому обчислення натуральних розмірів та площі знімальної трапеції – це визначення частини поверхні еліпсоїду в межах ліній меридіанів та паралелей, які окреслюють лист карти заданого масштабу.

 

 

      

 

 

 

 

 

 

Розміри знімальної трапеції на поверхні еліпсоїду описуються наступними параметрами:

• південна а₁ та півнвчна а₂ сторони, які на поверхні еліпсоїду є дугами паралелей з широтами відповідно В₁ та В₂. Дуги а₁ та а₂ окреслюються меридіанами з довготами L₁ та  L₂. Для північних широт завжди а₁ > а₂;
• західна та східна сторони с, які на поверхні еліпсоїду є дугами меридіанів, окреслених паралелями з широтами В₁ та В₂, тому завжди рівні між собою;
• діагональ d трапеції

                                                                                      (1)

З інтегрування виразів  для південної та північної сторін трапеції маємо формули розрахунку довжин дуг а₁ та а₂ на широтах відповідно В₁ та В₂:

                                          

                                       (2)

                                            

                                        (3)

Для карти масштабів 1:100000 і крупніше натуральні розміри знімальної трапеції дають підстави наближено вважати її розташованою на поверхні сфери. В таких випадках при розрахунку довжини сторони с достатньо користуватись формулою вигляду

                                           

                                          (4)

де радіус кривизни меридіанного перерізу розраховується за значенням першої функції геодезичної широти при середній широті дуги

Для вираження площі трапеції Р після інтегрування остаточно маємо робочу формулу вигляду

  (5)

де b – мала піввісь і - сталі коефіцієнти прийнятого референц-еліпсоїду.

Геодезичні координати вершин та сторін знімальної трапеції можна визначити за номенклатурою  листа карти заданого масштабу.

Різниця широт північної та південної сторін кожної трапеції мастабу 1:1000000 складає , а різниця довгот східної та західної сторін трапеції - .

Одна трапеція масштабу 1:1000000 поділяється на 144 трапеції масштабу 1:100000 і кожній з них присвоюється номенклатура відповідно до порядкового ноиера від 1 до 144.

Для сторін трапеції масштабу 1:100000 різниця широт складає  різниця довгот .

 

P-43

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
13											24
25											36
37											48
49											60
61											72
73											84
85											96
97											108
109											120
121											132
133					138						144