Системы счисления

      Порядок указывает действительное положение  запятой в числе. Код в приведенном формате представляет значение числа в полулогарифмической форме: .

      Точность  представления значений зависит от количества значащих цифр мантиссы. Для повышения точности числа с плавающей запятой представляются в нормализованной форме, при которой значение модуля мантиссы лежит в пределах . Признаком нормализованного числа служит наличие единицы в старшем разряде модуля мантиссы. В нормализованной форме могут быть представлены все числа из некоторого диапазона за исключением нуля.

      Нормализованные двоичные числа с плавающей запятой  представляют значения модуля в диапазоне:

          ,

где – максимальное значение модуля порядка.

      Так, при p=7 –1= =63 и диапазон представления модулей нормализованных чисел:

       ,

                                             

      Таким образом, диапазон чисел:

            

      Для расширения диапазона представляемых чисел при фиксированной длине  разрядной сетки (m+p) в качестве основания системы счисления выбирается . При этом число, представляемое в разрядной сетке, приобретает значения . Нормализованная мантисса 16-ричного числа с плавающей запятой имеет значения, лежащее в диапазоне . Признаком нормализации такого числа является наличие хотя бы одной единицы в четырех старших разрядах модуля мантиссы. Диапазон представления чисел в этом случае существенно расширяется, находясь при том же количестве разрядов в пределах от до . 

         m     m – 1                                                                 1          p       p – 1                                   1

        

      Знак                                      Модуль мантиссы                            Знак                Модуль порядка

числа                                                                                            порядка 

3.3 Прямой, обратный и дополнительный коды. Модифицированный код 

      При рассмотрении элементарных арифметических операций над двоичными числами мы уже коснулись темы отрицательных двоичных чисел. Теперь рассмотрим ее подробнее.

      Для кодирования  знака  двоичного  числа используется старший ("знаковый") разряд (ноль соответствует плюсу, единица – минусу).

      Такая форма представления числа называется прямым кодом.

      В ЭВМ  прямой код применяется только для представления положительных  двоичных чисел.  Для представления отрицательных чисел применяется либо дополнительный,  либо обратный код,  так как над отрицательными числами в прямом коде неудобно выполнять арифметические операции.

      Правила для образования дополнительного  и обратного кода состоят в  следующем:

• для образования дополнительного кода отрицательного числа необходимо в  знаковом разряде поставить единицу, а все цифровые разряды инвертировать (заменить 1 на 0,  а 0 – на 1),  после чего прибавить 1 к младшему разряду;
• для образования обратного кода отрицательного числа  необходимо в знаковом разряде поставить единицу, а все цифровые разряды инвертировать;
• при  данных преобразованиях нужно учитывать размер разрядной сетки.

      Прямой  код  можно получить из дополнительного  и обратного по тем же правилам,  которые служат для нахождения дополнительного  и обратного кодов. 

      В таблице 5.1 пpиведены десятичные числа  и их двоичные пpедставления в тpех pазличных фоpмах. Интеpесно в ней вот что. Если начать счет с числа 1000 (–8) и двигаться вниз по столбцам, то в дополнительном коде каждое последующее число получается пpибавлением единицы к пpедыдущему без учета  пеpеноса  за  пpеделы  четвеpтого pазpяда  Так пpосто эту опеpацию в пpямом и обpатном кодах не осуществить. Эта особенность дополнительного кода и  явилось пpичиной пpедпочтителного пpименения его в совpеменных микpо и миниЭВМ.

      Итак, числа, пpедставленные в дополнительном коде, складываются по пpавилам двоичного сложения, но без учета каких  либо пеpеносов за пpеделы стаpшего pазpяда. Рассмотpим это на пpимеpах 5.1. 
 

Прямой, обратный и дополнительный коды

.

 

      Еще одним достоинством дополнительного  кода является то, что нуль, в отличие  от пpямого и обpатного  кодов,  пpедставляется одним кодом. Наличие 0 в знаковом бите пpи  пpедставлении  нуля опpеделяет его как величину положительную, что согласуется с  математической теоpией чисел и соглашениями, пpинятыми  во  всех языках пpогpаммиpования.

      Из  приведенных примеров следует, что  положительные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах  совпадают. В прямом и обратном коде нуль имеет два представления – «положительный» и «отрицательный» нуль.

      Отметим, что при представлении с плавающей  запятой отдельно кодируется мантисса и порядок числа. При этом возможно представление мантисс и порядков чисел в одном и том же или разных кодах. Например, порядок числа может быть представлен в прямом, а мантисса – в дополнительном кодах и т. п.

      Таким образом, используя обратный и дополнительный коды, операцию алгебраического сложения можно свести к арифметическому сложению кодов чисел, которое распространяется и на разряды знаков, которые рассматриваются как разряды целой части числа.

      При сложении чисел,  меньших единицы, в машине быть получены числа, по абсолютной величине большие  единицы.  Для  обнаружения переполнения разрядной  сетки в ЭВМ применяются модифицированные прямой, обратный и дополнительный коды. В этих кодах знак кодируется двумя разрядами,  причем знаку "плюс" соответствует комбинация 00, а знаку "минус" - комбинация 11.

      Правила сложения для модифицированных кодов те же, что и для обычных. Единица переноса из старшего знакового разряда в модифицированном дополнительном коде отбрасывается,  а в модифицированном обратном коде передается в младший цифровой разряд.

     Признаком переполнения  служит  появление  в знаковом разряде суммы комбинации 01 при сложении положительных чисел (положительное переполнение)  или 10 при сложении отрицательных чисел (отрицательное переполнение).  Старший знаковый разряд в этих  случаях содержит истинное значение знака суммы,  а младший является старшей значащей цифрой числа. Для коррекции переполнения число нужно сдвинуть в разрядной сетке на один разряд вправо,  а в освободившийся старший знаковый разряд поместить цифру, равную новому значению младшего знакового разряда.  После корректировки переполнения мантиссы результата необходимо увеличить на  единицу порядок результата. 
 
 

1111. Перевод чисел.

      4.1  Представление двоичных  чисел и перевод  их в десятичные. 

      Совершенно  очевидно, что двоичное число представляется последовательностью нулей и единиц – разрядов. Как и в любой позиционной системе, каждому разряду присвоен определенный вес – показатель степени основания системы. Веса первых 10 позиций представлены в таблице. 

        Веса первых десяти  позиций двоичной  системы счисления 

 

      В двоичной системе счисления даже сравнительно небольшие числа занимают много позиций.

      Как и в десятичной системе, в двоичной системе счисления для отделения  дробной части используется точка (двоичная точка). Каждая позиция слева от этой точки также имеет свой вес – вес разряда дробной части числа. Значение веса в этом случае равно основанию системы счисления (т.е. двойке), возведенному в отрицательную степень.

      Получить  десятичное число из двоичного чрезвычайно  просто. Согласно формуле  

для двоичной системы счисления получаем: