Благодаря таким особенностям двоичная система  стала стандартом при построении ЭВМ. 

  Восьмеричная  система счисления. Для записи чисел используется восемь  чисел  0,1,2,3,4,5,6,7. 

  Шестнадцатеричная система счисления. Для записи чисел в шестнадцатеричной системе необходимо располагать уже шестнадцатью символами, используемыми как цифры. В качестве первых десяти используются те же, что и в десятичной системе. Для обозначения остальных шести цифр (в десятичной они соответствуют числам 10,11,12,13,14,15) используются буквы латинского алфавита – A,B,C,D,E,F. 
 

     Таблица соответствия систем счисления. 

     

 

Перевод чисел  из одной системы  счисления в другую.

n1. Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в другую.

 

Правило перевода целых чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием q:

1. Последовательно выполнять деление исходного числа и получаемых частных  на q  до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя.
2. Полученные при таком делении остатки – цифры числа в системе счисления q – записать в обратном порядке (снизу вверх).

 

Пример1. Перевести 26₁₀ в двоичную систему счисления. А₁₀→А₂

Решение:  
 
 
 

Ответ: 26₁₀=110102 
 
 

Пример2. Перевести 19₁₀ в троичную систему счисления. А₁₀→А₃

Решение:

Ответ: 19₁₀=201₃ 

Пример3. Перевести 241₁₀ в восьмеричную систему счисления. А₁₀→А₈

Решение:  
 
 

Ответ: 241₁₀=361₈ 

Пример4. Перевести 3627₁₀ в шестнадцатеричную систему счисления. А₁₀→А₁₆

Решение:  

Т.к. в шестнадцатеричной системе  счисления 14 – Е, а 11 – В, то получаем ответ Е2В₁₆. 

Ответ: 3627₁₀=E2B₁₆

 Переведите  числа из десятичной системы счисления  в другую.

 а) 245₁₀→А2                        д) 404₁₀→А8

 б) 1987₁₀→А₂                      е) 673₁₀→А₁₆

 в) 161₁₀→А₃                             ж) 45348₁₀→А₁₆

 г) 333₁₀→А₅                           з) 444₁₀→А₇

n2. Перевод дробных чисел из десятичной системы счисления в другую.

 
 

Правило перевода дробных чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием q:

1. Последовательно выполнять умножение исходного числа и получаемых дробные части  на q  до тех пор, пока дробная часть не станет равна нулю или не достигнем требуемую точность.
2. Полученные при таком умножении целые части - числа в системе счисления q – записать в прямом порядке (сверху вниз).

Пример1. Перевести 0,5625₁₀ в двоичную систему счисления. А₁₀→А₂

Решение:          
 
 
 
 
 
 

                                          Ответ: 0,5625₁₀=0,1001₂ 
 
 

Пример2. Перевести 0,5625₁₀ восьмеричную систему счисления. А₁₀→А₈

Решение:          
 
 
 

  Ответ: 0,5625₁₀=0,52₈ 
 

Пример3. Перевести 0,665₁₀ в двоичную систему счисления. А₁₀→А₂

Решение:          

 

Процесс умножения  может продолжаться до бесконечности. Тогда  его прерывают  на некотором шаге, когда считают, что  получена требуемая  точность представления  числа

Ответ: 0,665₁₀=0,10001₂

   

 Переведите  числа из десятичной системы счисления  в другую.

 а) 0, 65625₁₀→А₁₆

 б) 0,7₁₀→А₂ с точностью до 4 знаков после запятой

 в) 0,4125₁₀→А₈  с точностью до 6 знаков 
 
 

n3. Перевод произвольных чисел из десятичной системы счисления в другую.

 

  Перевод произвольных чисел, то есть чисел, содержащих целую и дробную части, осуществляют в два этапа. Отдельно переводится  целая часть, отдельно – дробная. В итоговой записи полученного числа  целая часть отделяется от дробной  запятой. 

Пример1. Перевести 26,25₁₀ в двоичную систему счисления. А₁₀→А₂

Решение:

переводим целую часть            переводим дробную часть

 
 
 
 
 

Ответ: 26,25₁₀=11010,01₂

Пример2. Перевести 123,5625₁₀ в двоичную систему счисления. А₁₀→А₈

Решение:

переводим целую часть            переводим дробную часть

 
 
 
 
 

Ответ: 123,5625₁₀=173,44₈ 
 

 Перевести из десятичной системы  счисления следующие  числа:

 а) 173,5625₁₀→А₂

 б) 404,65625₁₀→А₁₆

 в) 125,25₁₀→А₈

n4. Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную.

 
 

Правило Для того чтобы число из любой системы счисления перевести в десятичную систему счисления, необходимо его представить в развернутом виде и произвести вычисления. 

Пример1. Перевести число 110110₂ из двоичной системы счисления в десятичную.

Решение:

       5  4  3  2  1 0

      1 1 0 1 1 0 ₂ = 1*2⁵ + 1*2⁴ + 0*2³+1*2²+1*2¹+0*2⁰ =32+16+4+2=54₁₀

Ответ: 110110₂ = 54₁₀ 

Пример2. Перевести число 101,01₂ из двоичной системы счисления в десятичную.

Решение:

       2  1  0 -1 -2

      1 0 1,0 1  ₂ = 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰+0*2^-1+1*2^-2 =4+0+1+0+0,25=5,25₁₀

Ответ: 101,01₂ = 5,25₁₀

Пример3. Перевести число 122100₃ из троичной системы счисления в десятичную.

Решение:

       4  3  2 1  0

1 2 2 0 1 ₃=1*3⁴ +  2*3³ + 2*3² + 0*3¹ + 1*3⁰ = 81+54+18+1 = 154₁₀

Ответ: 12201₃ = 154₁₀ 

Пример4. Перевести число 163₇ из семеричной системы счисления в десятичную.

Решение:     163₇ = 1*7² + 6*7¹ + 3*7⁰  = 49+42+3= 94₁₀.

Ответ: 163₇ = 94_10. 

Пример5. Перевести число 234,6₈ из восьмеричной системы в десятичную:

         Решение:

       2  1  0 -1

2 3 4, 6₈ = 2*8² +3*8¹ + 4*8⁰ +6*8^-1= 2*64+3*8+4+6*0,125= 128+24+4+0,75 =156,75₁₀

Ответ: 234,6₈ = 156,75_10. 

Пример6. Перевести число 2Е₁₆ в десятичную систему счисления.

        Решение:

       2  1

2 Е₁₆ = 2*16¹ +14*16⁰ = 32 +14 = 46₁₀.

Ответ: 2Е₁₆ = 46_10. 

 Перевести из различных систем счисления в десятичную:

 а) 111100111₂                   г) 367,2₈