Разработка архитектуры специализированного микрокомпьютера

 

     Для расчетов конкретных значений функции  разложим y=ln(x) в ряд Тейлора:

            (1.1)

     Из  равенства 1.1 видно, что одному значению функции соответствует бесконечное число членов ряда. Выбор числа членов для расчета значения функции при заданном х определяется с одной стороны исходя из точностью представления результатов в компьютере, с другой стороны из допустимой длительности расчета.

     Исследуем закон изменения членов ряда при  различных x и i (см. таблицу 1.2).

     Таблица 1.2 – Члены ряда

x           i	1	2	3	4	5	6	7	8
0,1	-0,9000	-0,4050	-0,2430	-0,1640	-0,1181	-0,0886	-0,0683	-0,0538
0,2	-0,8000	-0,3200	-0,1707	-0,1024	-0,0655	-0,0437	-0,0300	-0,0210
0,3	-0,7000	-0,2450	-0,1143	-0,0600	-0,0336	-0,0196	-0,0118	-0,0072
0,4	-0,6000	-0,1800	-0,0720	-0,0324	-0,0156	-0,0078	-0,0040	-0,0021
0,5	-0,5000	-0,1250	-0,0417	-0,0156	-0,0063	-0,0026	-0,0011	-0,0005
0,6	-0,4000	-0,0800	-0,0213	-0,0064	-0,0020	-0,0007	-0,0002	-0,0001
0,7	-0,3000	-0,0450	-0,0090	-0,0020	-0,0005	-0,0001	0,0000	0,0000
0,8	-0,2000	-0,0200	-0,0027	-0,0004	-0,0001	0,0000	0,0000	0,0000
0,9	-0,1000	-0,0050	-0,0003	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
1,0	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
1,1	0,1000	-0,0050	0,0003	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
1,2	0,2000	-0,0200	0,0027	-0,0004	0,0001	0,0000	0,0000	0,0000
1,3	0,3000	-0,0450	0,0090	-0,0020	0,0005	-0,0001	0,0000	0,0000
1,4	0,4000	-0,0800	0,0213	-0,0064	0,0020	-0,0007	0,0002	-0,0001
1,5	0,5000	-0,1250	0,0417	-0,0156	0,0062	-0,0026	0,0011	-0,0005
1,6	0,6000	-0,1800	0,0720	-0,0324	0,0156	-0,0078	0,0040	-0,0021
1,7	0,7000	-0,2450	0,1143	-0,0600	0,0336	-0,0196	0,0118	-0,0072
1,8	0,8000	-0,3200	0,1707	-0,1024	0,0655	-0,0437	0,0300	-0,0210
1,9	0,9000	-0,4050	0,2430	-0,1640	0,1181	-0,0886	0,0683	-0,0538
2,0	1,0000	-0,5000	0,3333	-0,2500	0,2000	-0,1667	0,1429	-0,1250

 

     Продолжение таблицы 1.2

x           i	1	2	3	4	5	6	7	8
0,1	-0,0430	-0,0349	-0,0285	-0,0235	-0,0196	-0,0163	-0,0137	-0,0116
0,2	-0,0149	-0,0107	-0,0078	-0,0057	-0,0042	-0,0031	-0,0023	-0,0018
0,3	-0,0045	-0,0028	-0,0018	-0,0012	-0,0007	-0,0005	-0,0003	-0,0002
0,4	-0,0011	-0,0006	-0,0003	-0,0002	-0,0001	-0,0001	0,0000	0,0000
0,5	-0,0002	-0,0001	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
0,6	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
0,7	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
0,8	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
0,9	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
1,0	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
1,1	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
1,2	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
1,3	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
1,4	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
1,5	0,0002	-0,0001	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
1,6	0,0011	-0,0006	0,0003	-0,0002	0,0001	-0,0001	0,0000	0,0000
1,7	0,0045	-0,0028	0,0018	-0,0012	0,0007	-0,0005	0,0003	-0,0002
1,8	0,0149	-0,0107	0,0078	-0,0057	0,0042	-0,0031	0,0023	-0,0018
1,9	0,0430	-0,0349	0,0285	-0,0235	0,0196	-0,0163	0,0137	-0,0116
2,0	0,1111	-0,1000	0,0909	-0,0833	0,0769	-0,0714	0,0667	-0,0625

     Семейство характеристик ряда функции представлено на рисунке 1.3. 

     

     Рисунок 1.3 – Семейство характеристик 

     Из  рисунка 1.3 следует, что для вычисления функции следует выбрать i не из диапазона ( -∞ , +∞ ), а на интервале ( 0 , +∞ ).

     Будем считать, что общая ошибка вычислений в компьютере обуславливается двумя  погрешностями:

• следует из ограничений на число членов в разложении в ряд Тейлора,
• определяется ограничениями разрядной сетки.

     Для нашего случая длина слова составляет 28 бит.

     log₂28 = 4

     Следовательно, формат машинного слова будет иметь вид, который представлен на рисунке 1.4. 

      

      
 

    Рис. 1.4 – Формат машинного слова 

     Для расчета погрешности  выполним суммирование членов ряда из таблицы 1.2 в соответствии с ростом i (см. таблицу 1.3). 

     Таблица 1.3 – значение ln(x)

x      sum	1	2	3	4	5	6	7	8
0,1	-0,9000	-1,3050	-1,5480	-1,7120	-1,8301	-1,9187	-1,9870	-2,0408
0,2	-0,8000	-1,1200	-1,2907	-1,3931	-1,4586	-1,5023	-1,5323	-1,5532
0,3	-0,7000	-0,9450	-1,0593	-1,1194	-1,1530	-1,1726	-1,1843	-1,1916
0,4	-0,6000	-0,7800	-0,8520	-0,8844	-0,9000	-0,9077	-0,9117	-0,9138
0,5	-0,5000	-0,6250	-0,6667	-0,6823	-0,6885	-0,6911	-0,6923	-0,6928
0,6	-0,4000	-0,4800	-0,5013	-0,5077	-0,5098	-0,5105	-0,5107	-0,5108
0,7	-0,3000	-0,3450	-0,3540	-0,3560	-0,3565	-0,3566	-0,3567	-0,3567
0,8	-0,2000	-0,2200	-0,2227	-0,2231	-0,2231	-0,2231	-0,2231	-0,2231
0,9	-0,1000	-0,1050	-0,1053	-0,1054	-0,1054	-0,1054	-0,1054	-0,1054
1,0	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
1,1	0,1000	0,0950	0,0953	0,0953	0,0953	0,0953	0,0953	0,0953
1,2	0,2000	0,1800	0,1827	0,1823	0,1823	0,1823	0,1823	0,1823
1,3	0,3000	0,2550	0,2640	0,2620	0,2625	0,2623	0,2624	0,2624
1,4	0,4000	0,3200	0,3413	0,3349	0,3370	0,3363	0,3365	0,3365
1,5	0,5000	0,3750	0,4167	0,4010	0,4073	0,4047	0,4058	0,4053
1,6	0,6000	0,4200	0,4920	0,4596	0,4752	0,4674	0,4714	0,4693
1,7	0,7000	0,4550	0,5693	0,5093	0,5429	0,5233	0,5351	0,5279
1,8	0,8000	0,4800	0,6507	0,5483	0,6138	0,5701	0,6001	0,5791
1,9	0,9000	0,4950	0,7380	0,5740	0,6921	0,6035	0,6718	0,6180
2,0	1,0000	0,5000	0,8333	0,5833	0,7833	0,6167	0,7595	0,6345

 

     Продолжение таблицы 1.3

x      sum	1	2	3	4	5	6	7	8
0,1	-2,0839	-2,1187	-2,1473	-2,1708	-2,1904	-2,2067	-2,2204	-2,2320
0,2	-1,5681	-1,5789	-1,5867	-1,5924	-1,5966	-1,5998	-1,6021	-1,6039
0,3	-1,1960	-1,1989	-1,2007	-1,2018	-1,2026	-1,2030	-1,2034	-1,2036
0,4	-0,9149	-0,9156	-0,9159	-0,9161	-0,9162	-0,9162	-0,9163	-0,9163
0,5	-0,6930	-0,6931	-0,6931	-0,6931	-0,6931	-0,6931	-0,6931	-0,6931
0,6	-0,5108	-0,5108	-0,5108	-0,5108	-0,5108	-0,5108	-0,5108	-0,5108
0,7	-0,3567	-0,3567	-0,3567	-0,3567	-0,3567	-0,3567	-0,3567	-0,3567
0,8	-0,2231	-0,2231	-0,2231	-0,2231	-0,2231	-0,2231	-0,2231	-0,2231
0,9	-0,1054	-0,1054	-0,1054	-0,1054	-0,1054	-0,1054	-0,1054	-0,1054
1,0	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
1,1	0,0953	0,0953	0,0953	0,0953	0,0953	0,0953	0,0953	0,0953
1,2	0,1823	0,1823	0,1823	0,1823	0,1823	0,1823	0,1823	0,1823
1,3	0,2624	0,2624	0,2624	0,2624	0,2624	0,2624	0,2624	0,2624
1,4	0,3365	0,3365	0,3365	0,3365	0,3365	0,3365	0,3365	0,3365
1,5	0,4055	0,4054	0,4055	0,4055	0,4055	0,4055	0,4055	0,4055
1,6	0,4704	0,4698	0,4701	0,4699	0,4700	0,4700	0,4700	0,4700
1,7	0,5324	0,5295	0,5313	0,5302	0,5309	0,5304	0,5308	0,5305
1,8	0,5940	0,5833	0,5911	0,5854	0,5896	0,5864	0,5888	0,5870
1,9	0,6611	0,6262	0,6547	0,6312	0,6507	0,6344	0,6481	0,6365
2,0	0,7456	0,6456	0,7365	0,6532	0,7301	0,6587	0,7254	0,6629

     Из  формата компьютерного слова  следует: 

     A = 2²² – 1 = 4 194 303 – максимальное число в мантиссе.

     B = 2⁴ – 1 = 15 – максимальный порядок. 

     Максимальное  число I_max = AE + B = A*2^B: 

     I_max = 0,4 194 303 * 2¹⁵ = 13 743,8 920 704 

     Необходимо  определить значение аргумента x при котором I_max = ln(x). Функция принимает значения <10 при x<14 000, следовательно x = I_max =

= 13 743,8 920 704 удовлетворяет условию.

     Минимальное значение будет определяться единичным битом в разряде мантиссы: 

     I_min = –1 * 2^-22 * 2^-15 = –1 * 2^-37 

     Введем  ограничения на погрешность  . 

       

     _{Находим ряд погрешностей для разных значений i:} 

               (1.2) 

     Из  соотношений 1.2 следует, что заданный уровень погрешности не превышается при вычислении значения функции на основании 2 членов ряда.

     Допустим, что у меня получилось, что при  i=15, для x=8. Для меньших x можно брать меньшие i.

     Для оптимизации по скорости для расчета  меньших значений x надо брать из сохраненной таблицы значений i_max для сохранения погрешности .

     Погрешность можем не учитывать, т.к. для функции ln(x) значение аргумента x ограничивается размерностью разрядной сетки. Следовательно: 

     Δ_общ = Δ₁ + Δ₂ = Δ₁. 
 

     1.3 Проектирование системы команд 

     Анализ  параметров алгоритмов, как правило, выполняется с использование  языковых и программных средств. С этой целью каждой вершине ГСА  решаемой задачи ставится в соответствие команда машины. После этого выполняется  расширение набора команд с использованием заданных методов адресации и  варьирования поля КОП. Полученная система  дополняется командами управления работой компьютера, командами ввода-вывода и другими управляющими словами, позволяющими получить требуемые режимы работы компьютера.

     Блок-схема  алгоритма расчета функции ln(x) в соответствии с формулой 1.1 представлена на рисунке 1.5.