Работа с математическими функциями

     В общем виде понятие обобщенной функции  было введено французом Лораном  Шварцем. В 1936 г. 28-летний советский  математик и механик Сергей Львович  Соболев первым рассмотрел частный  случай обобщенной функции, включающей и дельта-функцию, и применил созданную  теорию к решению ряда задач математической физики. Важный вклад в развитие теории обобщенных функций внесли ученики  и последователи Л. Шварца - И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов и другие.

     Прослеживая исторический путь развития понятия  функции, невольно приходишь к мысли о том, что эволюция еще далеко не закончена и, вероятно, никогда не закончится, как никогда не закончится и эволюция математики в целом. Новые открытия и запросы естествознания и других наук приведут к новым расширениям понятия функции и других математических понятий. Математика - незавершенная наука, она развивалась на протяжении тысячелетий, развивается в нашу эпоху и будет развиваться в дальнейшем.

1.2 Основные элементарные математические функции

     К числу основных элементарных математических функций относятся:

1. Линейная функция — функция вида y = k*x + b. Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является обобщением прямой пропорциональности. График линейной функции является прямой линией, с чем и связано ее название.
2. Квадратичная функция. Квадратичной называется функция , которую можно задать формулой вида y=a*x²+b*x+c. Многие свойства квадратичной функции зависят от значения дискриминанта. График квадратичной функции называется параболой. Любая квадратичная функция представима в виде f(x) = a*(x-m)²+n
3. Степенная функция Степенной называется функция, которая имеет вид y  =  xⁿ , x  > 0. Для натуральных n степенная функция определена на всей числовой оси. Для произвольных вещественных n это невозможно, поэтому степенная функция с вещественным показателем определена только для положительных x .
4. Показательная функция (экспонента) – это функция вида f(x)=a^x. В вещественном случае основание степени  a некоторое неотрицательное вещественное число, а аргументом функции является вещественный показатель степени. В теории комплексных функций рассматривается более общий случай, когда аргументом и показателем степени может быть произвольное комплексное число. В самом общем виде — u^v, введена Лейбницем в 1695 г.
5. Логарифмическая функция. Функция y = log_aх (где а > 0, а =1) называется логарифмической. График логарифмической функции можно построить, воспользовавшись тем, что функция y = log_aх  обратная показательной функции. Поэтому достаточно построить график f(x)=a^x, а затем отобразить его симметрично относительно прямой у = х.
6. Тригонометрическая функция

        - Функция синус. Если M(t) - точка числовой окружности, соответствующая числу t, то ординату точки M называют синусом числа t и обозначают sin t.

         - Функция косинус. Если M(t) - точка числовой окружности, соответствующая числу t, то абсциссу  точки M называют косинусом числа t и обозначают cos t.

        - Функция тангенс. Отношение sint/cost, где cost ≠ 0, называют тангенсом числа t и обозначают tg t.

        - Функция котангенс. Отношение cost/sint, где sint=0, называют котангенсом числа t и обозначают ctg t.

7. Обратная функция

        - Arcsin x – это функция обратная sin t. Функция нечетная, строго возрастает.

        - Arctg x – это функция обратная tg t . Функция строго убывает

        - Arccos x – это функция обратная cos t. Функция строго убывает.

        - Arcctg x – это функция обратная ctg t . Функция нечетная, строго возрастает.

     К основным элементарным функциям относятся рациональные, степенные, показательная и логарифмические функции, а также тригонометрические и обратные тригонометрические функции. К классу элементарных функций, кроме того, относят также сложные функции, образованные из перечисленных выше элементарных функций.

 
 

      2. ПРОГРАММЫ, ПРЕДНАЗНАЧЕННЫЕ ДЛЯ РАБОТЫ С ЧИСЛАМИ

2.1 Программные среды

     В настоящее время все операции связанные с расчетом значений (переменных) производить «на бумаге» нет необходимости. Нам предоставлено не малое количество программ, которые работают с математическими функциями, причем большинство из них бесплатные и предоставлены на суд большому числу людей. Все это значительно упрощает жизнь -  утомительные часы, проведенные за калькулятором, долгие пересчеты огромных значений, которые из-за «человеческого фактора» могут оказаться не всегда верными и точными. К таким прогаммам относятся:

1. Математические  программы

     - Matlab

     - Mathematica

     - Maple

     - Mathcad

2. Текстовые и графические редакторы

     - TeX

     - Origin

     - Sigma Plot

     - Scientific Word

3. Электронные таблицы

     - Microsoft Excel

     - Open Office Calc

     - Lotus 1-2-3

     - Supercalc

В данной курсовой работе я рассмотрю только две программы из этого списка, всем известные электронные таблицы  Excel и Open Office Calc, а именно процесс работы с математическими функциями в данных средах.

     Программа электронных таблиц – это интерактивная  среда, позволяющая работать с числами  и текстом, расположенными в табличных  ячейках. История Excel начинается с 1987 года, а проект Open Office.org начался 13 октября 2000 года, когда были открыты исходные тексты Star Office. Версия 1.0 вышла летом 2002 года. С тех пор началась экспансия OpenOffice.org.

2.2  Сравнительная характеристика Excel и Calc

Если  рассматривать характеристики этих двух программ, то можно запутаться, как Excel так и Open Office Calc обладают преимуществами, но они слишком малы, чтобы их заметил среднестатистический пользователь, поэтому останавливаться на этом не считаю нужным. Есть лишь одно явное различие:  Microsoft Office – платный пакет программ, Open Office наоборот бесплатный. Та же ситуация наблюдается в наборе функций, все элементарные математические функции есть как в одной так и другом пакете, поэтому в данной ситуации вернее сказать «кто где привык, кому где удобней работать». На мой взгляд, Excel выделяется по своей функциональности от своих собратьев. Хотя, общаясь с пользователями ПК, я обнаружил, что многие в своей жизни запросто обходятся без этой восхитительной программы. И это понятно, ведь программа Excel это лучший, а иногда и главный помощник для бухгалтера, менеджера, налогового инспектора, конечно же, аудиторов всех мастей. То есть для всех тех, кто нашу жизнь переводит в столбики цифр и пытается составить хоть какую-нибудь систему отчетности. В целом можно сказать, что появление этих электронных таблиц значительно облегчило процесс расчетов данных. Итак, можно приступить к рассмотрению всех математических функции Excel (2007). С помощью формулы в Excel вы сообщаете программе, какие вычисления нужно провести с информацией, хранящейся в других ячейках таблицы. К примеру, вы можете ввести формулу, которая будет складывать значения первых 10 ячеек столбца А и выводить результат в ту же ячейку, где расположена формула. Формулы содержат обычные арифметические операторы, например: «+» (плюс), «-» (минус), «*» (умножить), «/» (разделить). Кроме того, они могут использовать специально встроенные функции, которые облегчают процесс вычисления. Сам термин «функция» здесь используется в том же значении, что и «функция» в программировании.

2.3  Сравнительная характеристика Excel и Calc

Функция представляет собой готовый блок (кода), предназначенный для решения  каких-то задач.

     Все функции в Excel характеризуются:

1. Названием;
2. Предназначением (что, собственно, она делает);
3. Количеством аргументов (параметров);
4. Типом аргументов (параметров);
5. Типом возвращаемого значения.

Список  этих функций огромен, поэтому, сначала перечислю их все, затем разберу наиболее нужные и наиболее используемые.

     Математические  функции Microsoft Excel:

     ABS, ACOS, ACOSH, ASIN, ASINH, ATAN, ATAN2, ATANH, ОКРВВЕРХ, ЧИСЛКОМБ, COS, COSH, ГРАДУСЫ, ЧЁТН, EXP, ФАКТР, ДВФАКТР, ОКРВНИЗ, НОД, ЦЕЛОЕ, НОК, LN, LOG,  LOG10,  МОПРЕД, МОБР, МУМНОЖ, ОСТАТ, ОКРУГЛТ, МУЛЬТИНОМ, НЕЧЁТ, ПИ, СТЕПЕНЬ, ПРОИЗВЕД , ЧАСТНОЕ,  РАДИАНЫ , СЛЧИС , СЛУЧМЕЖДУ , РИМСКОЕ, ОКРУГЛ, ОКРУГЛВНИЗ, ОКРУГЛВВЕРХ, РЯД.СУММ, ЗНАК, SIN, SINH, КОРЕНЬ, КОРЕНЬПИ, ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ.ИТОГИ, СУММ, СУММЕСЛИ, СУММПРОИЗВ, СУММКВ, СУММРАЗНКВ, СУММСУММКВ, СУММКВРАЗН, TAN, TANH, ОТБР.

     Как можно заметить возможности Excel в плане математических расчетов практически неограниченны. Необходимо помнить о том, что их можно комбинировать и получать все более сложные формулы для решения всевозможных задач. Теперь разберем некоторые из этих функции, которые наиболее часто приходиться использовать при расчетах:

     ABS (число)

     Число — это действительное число, модуль которого требуется найти.

     ACOS(число) 

     возвращает арккосинус числа. Арккосинус числа — это угол, косинус которого равен числу. Угол определяется в радианах в интервале от 0 до «пи». И аналогично  ASIN, ATAN. Замечание - Если нужно преобразовать результат из радиан в градусы, то умножьте его на 180/ПИ() или используйте функцию ГРАДУСЫ.

     ЧИСЛКОМБ (число; число_выбранных)

     Число— это число элементов.

     Число_выбранных   — это число объектов в каждой комбинации.

     Заметки

     Числовые  аргументы усекаются до целых. Если какой-либо из аргументов не является числом, то функция ЧИСЛКОМБ возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!. Если число < 0 или число_выбранных < 0 или число < число_выбранных, то функция ЧИСЛКОМБ возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!. Комбинацией считается любое множество или подмножество объектов, безотносительно к их порядку. Комбинации отличаются от перестановок, для которых порядок существен. Число комбинаций определяется следующим образом, где число = n и число_выбранных = k:

     = =     где:   

     ГРАДУСЫ (угол)

     Угол   — это угол в радианах, преобразуемый  в градусы.

     EXP (число)

     Число   — это число, для которого вычисляется  экспоненциальная функция с основанием «e».

     LN (число)

     Число   — положительное вещественное число, для которого вычисляется натуральный  логарифм.

     LOG (число;основание)

     Число   — положительное вещественное число, для которого вычисляется логарифм.

     Основание   — основание логарифма. Если основание  опущено, то оно полагается равным 10.

     LOG10 (число)

     Число   — положительное вещественное число, для которого вычисляется десятичный логарифм.

     МОБР (массив)

     Массив   — числовой массив с равным количеством  строк и столбцов.

     Заметки

     Массив  может быть задан как диапазон ячеек, например A1:C3; как массив констант, например {1;2;3: 4;5;6: 7;8;9}; или как имя диапазона или массива. Если какая-либо из ячеек в массиве пуста или содержит текст, то функция МОБР возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!. МОБР также возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!, если массив имеет неравное число строк и столбцов. Формулы, которые возвращают массивы, должны быть введены как формулы массива. Обратные матрицы, как и определители, обычно используются для решения систем уравнений с несколькими неизвестными. Произведение матрицы на ее обратную — это единичная матрица, то есть квадратный массив, у которого диагональные элементы равны 1, а все остальные элементы равны 0.  МОБР производит вычисления с точностью до 16 значащих цифр, что может привести к небольшим численным ошибкам округления. Некоторые квадратные матрицы не могут быть обращены, в таких случаях функция МОБР возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!. Определитель такой матрицы равен 0.

     СУММ (число 1; число 2; ...)

     Число1, число2,...   — от 1 до 30 аргументов, для которых требуется определить итог или сумму.

     Заметки

     Учитываются числа, логические значения и текстовые  представления чисел, которые непосредственно  введены в список аргументов. См. ниже первый и второй примеры. Если аргумент является массивом или ссылкой, то только числа учитываются в массиве или ссылке. Пустые ячейки, логические значения, тексты и значения ошибок в массиве или ссылке игнорируются. Аргументы, которые являются значениями ошибки или текстами, не преобразуемыми в числа, вызывают значения ошибок.