Оптимизационные задачи в экономике и математический аппарат их решения

F = 30х₁ + 40х_{2 .}

При решении  Х₁ значение функции равно F(Х₁). Легко понять, что функцию F можно увеличить за счёт увеличения любой из не основных переменных, входящих в выражение F с положительным коэффициентом. Это можно осуществить, перейдя к новому базисному решению, в котором эта переменная будет не основной, то есть принимать не нулевое, а положительное значение. При таком переходе одна из основных переменных перейдёт во второстепенные (неосновные). В данном примере для увеличения F можно переводить в основные любую переменную, так как и х₁ и х₂ входят в выражение для F со знаком «+». Для определённости будем выбирать переменную, имеющую больший коэффициент, то есть х₂. Система (10) накладывает ограничения на рост переменной х₂ . Поскольку необходимо сохранять допустимость решений, то есть все переменные должны оставаться неотрицательными, то должны выполняться следующие неравенства (при этом х₁ = 0 как не основная переменная):

х₃ = 75 - х₂ ≥ 0;                            х₂ ≤ 75;

х₄ = 30 - х₂ ≥ 0;    откуда            х₂ ≤ 30;

х₅ = 84 - 4х₂ ≥ 0;                          х₂ ≤ 84.

Каждое  уравнение системы, определяет оценочное  отношение – границу роста  переменной х_2, сохраняющую неотрицательность соответствующей переменной. Эта граница определяется абсолютной величиной свободного члена к коэффициенту при х₂ при условии, что эти числа имеют разные знаки.

Очевидно, что сохранение неотрицательности  всех переменных возможно, если не нарушается ни одна из полученных границ. В данном примере наибольшее возможное значение для переменной х₂ определяется как х₂ = min {75, 30, 84/4} = 84/4 = 21. При х₂ = 21 переменная х = 0 и переходит в не основные [2].

Уравнение, где достигается наибольшее возможное  значение переменной, переводимой в  основные (то есть, где оценка минимальна), называется разрешающим. В данном случае – это третье уравнение.

II шаг.

Основные  переменные: х₂, х₃, х_4.

Не основные переменные: х₁, х_{. .}

Выразим основные переменные через новые  не основные, начиная с разрешающего уравнения (его используем для записи выражения для х₂ ):

х₂ = (84 - х₁ - х₅)/4;

х₃ = 75 - 3х ₁ - 84/4 + х₁/4 + х₅/4;

х₄ = 30 - х₁ - 84/4 + х₁ /4 + х₅/4;

или

х₂ =21 0,25 х₁ - 0,25х₅;

х =54 - 2,75х₁ + 0,25х₅;

х =9 - 0,75х₁ + 0,25х₅.

 

Второе базисное решение Х₂ = (0, 21, 54, 9, 0) является допустимым.

Выразив линейную функцию через не основные переменные на этом шаге, получаем:     F = 30х₁ + 40 (84 - х₁ - х₅)/4 = 840 + 20х₁ - 10х₅

Значение  линейной функции F₂ = F(X₂) = 840.  Поскольку необходимо сохранять допустимость решений, то должны выполняться следующие неравенства (при этом х₁ = 0 как не основная переменная):

х₂ =21 - 0,25х₅ ≥ 0;                       х₅ ≤ 84;

х₃ =54 + 0,25х₅ ≥ 0;     откуда     х₅ ≤ -216;                    (11)

х₄ =9 + 0,25х₅ ≥ 0.                        х₅ ≤ -36 .

Обнаруживаем  возможность дальнейшего увеличения линейной функции за счёт переменной х_1, входящей в выражение для F с положительным коэффициентом. Система уравнений (11) определяет наибольшее возможное значение для х_5:

Х₅ = min {84, -216,-36} = -36 .

При х₅ = -36 х₄ = 0 переходит в неосновные переменные.

Разрешающим будет третье уравнение.

III шаг.

Основные  переменные: х₁, х₂, х_3.

Неосновные  переменные: х₄, х_5.

Выразим основные переменные через неосновные:

х₁= 12 – 4/3х₄ + 1/3х₅;

х₂ = 18 + 1/3х₄ - 1/3х₅;

х₃ = 21 + 11/3х₄ - 11/3х_5.

Третье базисное решение Х₃ = (12, 18, 21, 0, 0) является допустимым.   Выразим линейную функцию через неосновные переменные:

F = 30(12 – 4/3х₄ + 1/3х₅) + 40(18 + 1/3х₄ - 1/3х₅) = 1080 – 80/3х₄ - 10/3х_5.

Значение  линейной функции F₃ = F(X₃) = 1080.

Это выражение  не содержит положительных коэффициентов  при не основных переменных, поэтому  значение F₃ = F(X₃) = 1080 максимальное. Функцию F невозможно ещё увеличить, переходя к другому допустимому базисному решению, то есть решение X₃ – оптимальное. Вспоминая экономический смысл всех переменных можно сделать выводы.

Прибыль предприятия принимает максимальное значение 1080 ден. ед. при реализации 12 единиц продукции Р₁(Х₁=12) и Р₂(Х₂=18). Дополнительные переменные х₃, х₄, х ₅ показывают разницу между запасами ресурсов каждого вида и их потреблением, то есть остатки ресурсов. При оптимальном плане производства х ₄ = х ₅ = 0, остатки ресурсов S₂ и S₃ равны нулю, а остатки ресурсов S₁ = 21.

Ответ: максимальная прибыль от реализации продукции равна 1080 ден. ед.

2 способ – геометрический метод

Геометрический  метод решения задач оптимизации  сводится к нахождению оптимального решения задачи в одной из угловых  точек многоугольника (Рис. 4.) для линейной функции F = 30х₁ + 40х₂ → max при следующих ограничениях:

3х₁ + х₂ ≤ 75, (I)

х₁ + х₂ ≤ 30, (II) (12)

х₁ +4х₂ ≤ 84, (III), х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0, х₂ ≥ х₁

по смыслу задачи.

Изобразим многоугольник решений данной задачи.

Рис. 4. Многоугольник  решений

Область АВС, изображённая на рис.4, является областью допустимых значений функции F. Принимая во внимание систему (12), можно заметить, что самое оптимальное решение находится в точке А, находящейся на пересечении прямых I и II, то есть координаты точки А определяются решением системы уравнений:

 

3х₁ + х₂ ≤ 75,             х₁ = 12,

х₁ + х₂ ≤ 30, или        х₂ = 18., т. е. А(12, 18)

 

максимальное  значение линейной функции равно:

F_max= 30*12 + 40*18 = 1080.

Итак, F_max = 1080 при оптимальном решении х₁ = 12, х₂ = 18, т. е. максимальная прибыль в 1080 ден. ед. может быть достигнута при производстве 12 единиц продукции А и 18 единиц продукции В.

Ответ: F_max = 1080 ден.ед.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Алгоритмы безусловной минимизации (максимизации) функций многих переменных можно сравнивать и исследовать как с теоретической, так и с экспериментальной точек зрения.

Первый подход может быть реализован полностью только для весьма ограниченного  класса задач, но при этом возможен широкий спектр результатов от получения бесконечной минимизирующей последовательности в методе циклического покоординатного спуска до сходимости не более чем за n итераций в методе сопряженных направлений.

Мощным инструментом теоретического исследования алгоритмов являются теоремы  о сходимости методов. Однако, как  правило, формулировки таких теорем абстрактны, при их доказательстве используется аппарат современного функционального анализа. Кроме  того, зачастую непросто установить связь  полученных математических результатов  с практикой вычислений. Дело в  том, что условия теорем трудно проверить в конкретных задачах, сам факт сходимости мало что дает, а оценки скорости сходимости неточны и неэффективны. Поэтому на практике часто сравнение алгоритмов проводят с помощью вычислительных экспериментов при решении так называемых специальных тестовых задач. Эти задачи могут быть как с малым, так и с большим числом переменных, иметь различный вид нелинейности.

Среди оптимизационных  моделей особо выделяют модели принятия оптимальных решений в конфликтных ситуациях, изучаемые теорией игр.

К конфликтным  ситуациям, в которых сталкиваются интересы двух (или более) сторон, преследующих разные цели, можно отнести ряд  ситуаций в области экономики, права, военного дела и т.п. В задачах  теории игр необходимо выработать рекомендации по разумному поведению участников конфликта, определить их оптимальные  стратегии.

 

Основные  этапы работы с оптимизационными задачами:

• Постановка задачи, т.е. ее содержательная формулировка с точки зрения и заказчика, и разработчика.
• Построение математической модели, т.е. переход к формализованному представлению.
• Нахождение решения или решений.
• Проверка модели и полученного с ее помощью решения. Это – необходимый этап, так как модель лишь частично отображает действительность. Хорошая модель должна точно предсказывать влияние изменений в реальной системе на общую эффективность решений.
• Построение процедуры подстройки модели, поскольку в модели могут изменяться какие-либо неуправляемые переменные.
• Выбор вариантов, если есть несколько конкурирующих вариантов.
• Осуществление решения.

Как правило, перечисленные этапы перекрываются, идут параллельно или несколько  раз циклически повторяются.

На практике в большинстве случаев успех  операции оценивается не по одному, а сразу по нескольким критериям, один из которых следует максимизировать, а другие – минимизировать. Математический аппарат может принести пользу и в случаях многокритериальных оптимизационных задач, по крайней мере, помочь отбросить заведомо неудачные варианты решения.

 

 

 

 

Библиографический список:

 

1.  Бережная Е.В., Бережной В.И.  Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Финансы и статистика, 2006. - 432 с: ил.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2007.
3. Дегтярев Ю.И. Исследование операций. -  М.: Высшая школа, 2006.
4. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика. М.: Высшая школа, 2005.
5. Методы и модели анализа временных рядов : метод. Указания к лаб. работам / сост. С.И. Татаренко. – Тамбов : Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2008. – c.30-32.
6. Смородинский С.С., Батин Н.В. Анализ и оптимизация систем на основе аналитических моделей. - Мн.: БГУИР, 2003.
7. Смородинский С.С., Батин Н.В. Методы и алгоритмы для решения оптимизационных задач линейного программирования. Ч.1. – Мн.: БГУИР, 2005.
8. Смородинский С.С., Батин Н.В. Методы и алгоритмы для решения оптимизационных задач линейного программирования. Ч.2. – Мн.: БГУИР, 2006.
9. Тимофеева Л.К., Суханова Е.И., Сафиулин Г.Г. Теория вероятностей и математическая статистика / Самарск. гос. экон. акад. Самара, 2004.