Оптимизационные задачи в экономике и математический аппарат их решения

Важное  свойство линии уровня линейной функции  состоит в том, что при параллельном смещении линии в одну сторону  уровень только возрастает, а при  смещении линии в другую сторону  – только убывает.

Пусть имеются  три линии уровня:

F=c₁x₁ + c₂x₂ = а₁ (I)

F=c₁x₁ + c₂x₂ = а₂ (II)

F=c₁x₁ + c₂x₂ = а₃ (III)

Причём  линия II заключена между линиями I и III. Тогда а₁ < а₂ < а_{3 и} а₁ > а₂ > а_3.

В самом  деле, на штриховой линии (перпендикулярной к линиям уровня на рис. 2) уровень  является линейной функцией, а значит, при смещении в одном направлении  возрастает, а в другом – убывает.

Для определения  направления возрастания рекомендуется  изобразить две линии уровня и  определить, на какой них уровень  больше. Например, одну из линий взять  проходящей через начало координат (если линия функция имеет вид  F=c₁x₁ + c₂x₂, т. е. без свободного члена, то это соответствует нулевому уровню). Другую линию можно провести произвольно, так, например, чтобы она проходила через множество решений системы ограничений. Далее найдём точку, в которой функция принимает максимальное значение, подобно тому как на карте находится самая северная или самая южная точка (на рис. 1 – это точка С или А) [3].

 

2. Многокритериальная оптимизация

Многокритериальная  оптимизация представляет собой  минимизацию некого вектора целей F(x), на который могут быть наложены дополнительные ограничения или предельные значения.

Стоит отметить, что поскольку F(x) является неким вектором, то любые компоненты F(x) являются конкурирующими и отсутствует некое единое решение поставленной задачи. Взамен этого, для описания характеристик целей вводится концепция множества точек неулучшаемых решений (так называемая оптимальность по Парето).

Неухудшаемое  решение есть такое решение, в  котором улучшение в одной  из целей приводит к некому ослаблению другой. Для более точной формулировки данной концепции рассмотрим некую  область допустимых решений  в параметрическом пространстве , которое удовлетворяет всем принятым ограничениям. Отсюда возможно определить соответствующую область допустимых решений для пространства целевых функций .     , где   при условии

Определение. Точка является неулучшаемым решением, если для некоторой окрестности нет некого такого, что

 

Одним из методов, приводящих многокритериальную оптимизацию к однокритериальной, является метод взвешенных сумм.  Данная стратегия взвешенных сумм преобразует многокритериальную задачу минимизации вектора в некую скалярную задачу путем построения неких взвешенных сумм для всех выбранных объектов [5].

Далее уже  к данной задаче оптимизации может  быть применен стандартный алгоритм оптимизации без наличия ограничений. В этом случае рассматриваются взвешенные коэффициенты для каждой из выбранных целей. Взвешенные коэффициенты необязательно должны напрямую соответствовать относительной значимости соответствующей цели или принимать во внимание взаимовлияние между конкретно выбранными целями. Более того, границы неулучшаемых решений могут быть и не достигнуты, так что определенные решения являются по существу недостижимыми.

Следующий метод – это метод -ограничений, который позволяет преодолеть проблему выпуклости метода взвешенных сумм. В этом случае осуществляется минимизация основной цели и при представлении остальных целей в форме ограничений типа неравенств:

   

при выполнении условия

Подобный  подход позволяет определить некое  количество неулучшаемых решений для  случая вогнутой границы, что, по существу, является недоступным в методе взвешенных сумм, например, в точке искомого решения  и . Однако, проблемой данного метода является подходящий выбор , который мог бы гарантировать допустимость некого решения.

Также применяется метод достижения цели. Данный метод включает в себя выражение для множества намерений разработчика , которое связано с множеством целей . Такая формулировка задачи допускает, что цели могут быть или «недо-» или «передостижимыми», и что дает разработчику возможность относительно точно выразить исходные намерения. Относительная «недо-» или «передостижимости» поставленных намерений контролируется посредством вектора взвешенных коэффициентов и её возможно представить как стандартную задачу оптимизации в виде:

при условии, что

Член  вносит в данную задачу элемент ослабления, что, иначе говоря, обозначает жесткость заданного намерения. Весовой вектор w дает исследователю возможность достаточно точно выразить меру взаимосвязи между двумя целями. Например, установка весового вектора w как равного исходному намерению указывает на то, что достигнут тот же самый процент недо- или передостижимости цели . Посредством установки в ноль отдельного весового коэффициента (т.е. ) можно внести жесткие ограничения в поставленную задачу. Метод достижения цели обеспечивает подходящую интуитивную интерпретацию поставленной исследовательской задачи, которая, в свою очередь, является вполне разрешимой с помощью стандартных процедур оптимизации [3].

 

 

 

 

 

 

Глава 2. Анализ оптимизационных методов на примере решения транспортной и производственной задач

Решение транспортной задачи

Дано: Пусть у нас имеются два склада с сырьём; ежедневно с первого склада вывозится 60 т сырья, а со второго – 80 т. Сырьё используется двумя заводами, причём первый завод получает – 50 т, а второй – 90 т. Необходимо организовать оптимальную (наиболее дешёвую) схему перевозок, если известно, что доставка 1т сырья с первого склада на первый завод стоит 7 рублей, с первого склада на второй завод – 9 рублей, со второго склада на первый завод – 10 рублей, со второго склада на второй завод – 8 рублей.

Решение:  Обозначим через х₁, х₂ количество сырья, который нужно доставить с первой базы соответственно на первый, второй заводы, а через х₃, х количество сырья, который нужно доставить со второй базы соответственно на первый, второй заводы. Составим выражения, которые в соответствии с исходными данными должны удовлетворять следующим условиям:

х₁ + х₂ = 60;

х₃ + х₄ = 80;                                     (1)

х₁ + х₃ = 50;

х₂ + х₄ = 90.

 

Первое  и второе уравнения описывают  количество сырья, которое необходимо вывезти с первого и второго  складов, а третье и четвёртое  – сколько нужно завести сырья  на первый и второй заводы. К данной системе уравнений нужно добавить систему неравенств:

х_i ≥ 0, где i = 1, . ., 4          (2)

которая означает, что сырьё обратно  с заводов на склады не вывозится. Тогда общая стоимость перевозок с учётом приведённых в таблице расценок выразится формулой:

f = 7х₁ + 9 х₂ + 10 х₃ + 8х _4. (3)

Таким образом, мы пришли к типичной задаче линейного программирования: найти оптимальные значения проектных  параметров х_i (i = 1, . ., 4), удовлетворяющим условиям (2), (3) и минимизирующим стоимость перевозок (3).

Из анализа системы уравнений (1) следует, что только первые два уравнения являются независимыми, а последние можно получить из них. Поэтому фактически имеем систему:

х₁ + х₂ = 60;

х₃ + х₄ = 80;                                           (4)

х₃ = 50 - х₁;

х₄ = 90 - х₂.

Поскольку в соответствии с (2) все проектные параметры должны быть неотрицательны, то с учётом (4) получим следующую систему неравенств:

х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0, 50 - х₁ ≥ 0, 90 - х₂ ≥ 0

Эти неравенства  можно записать в более компактном виде:

0 ≤ х₁ ≤ 50, 0 ≤ х₂ ≤ 90        (5)

Данная система  неравенств описывает все допустимые решения рассматриваемой задачи. Среди всех допустимых значений свободных  параметров х₁ и х₂ нужно найти оптимальные, минимизирующие целевую функцию f. Формула (3) для неё с учётом соотношений (4) принимает вид

f = 7х₁ + 9 х₂ + 10(50 - х₁) + 8(90 - х₂);

f = -3х₁ + х₂ + 1220.

Отсюда следует, что стоимость перевозок уменьшается  с увеличением значений х₁, поэтому нужно взять его наибольшее допустимое значение. В соответствии с (5) х₁= 50, тогда получим, что х₂ = 60 - х₁ = 10. Тогда оптимальные значения остальных параметров можно найти по формулам (4):

х₃ = 50 - х₁ =50 – 50 = 0, х₄ = 90 - х₂ = 90 – 10 = 80.

В этом случае минимальная общая стоимость  перевозок равна:

f = 7*50 + 9*10 + 10*0 + 8*80 = 350 + 90 + 0 + 640 = 1080.

То есть, минимальная общая стоимость  перевозок f = 1080.

Покажем на рис.3 схему доставки сырья на заводы (числа указывают количество сырья в тоннах).

 

                     

Рис.3. Схема доставки сырья на заводы.

Решение производственной задачи

Дано: для производства двух видов изделий А и В предприятие использует три вида сырья. Другие условия задачи приведены в таблице.

 

Вид сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие, кг A                 B	Общее количество сырья, кг
I	12                4	300
II	4                 4	120
III	3                12	252
Прибыль от реализации одного изделия, ден. ед.	30               40

 

Составить такой план выпуска продукции, при  котором прибыль предприятия  от реализации продукции будет максимальной при условии, что изделие В  надо выпустить не менее, чем изделия  А.

Решение: Обозначим через х₁ и х₂ количество единиц продукции соответственно А и В, запланированных к производству. Для их изготовления потребуется (12 х₁ +4 х₂) единиц ресурса I, (4х₁ +4х₂) единиц ресурса II, (3х₁ +12х₂) единиц ресурса III. Так как потребление ресурсов I, II, III не должно превышать их запасов, то связь между потреблением ресурсов и их запасами выразится системой неравенств:

12х₁ +4х₂ ≤ 300;                             3х₁ + х₂ ≤ 75;

4х₁ +4х₂ ≤ 120;    или                    х₁ + х₂ ≤ 30;          (6)

3х₁ +12х₂ ≤ 252.                             х₁ +4х₂ ≤ 84.

 

По смыслу задачи переменные х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0.                      (7)

Суммарная прибыль  А составит 30х₁ от реализации продукции А и 40х ₂ от реализации продукции В, то есть : F = 30х₁ +40х ₂                 (8)

Далее будем решать задачу двумя  методами:

1способ – симплексный метод

С помощью  дополнительных неотрицательных переменных перейдём к системе уравнений. В  данном случае все дополнительные переменные вводятся со знаком « + », так как  все неравенства имеют вид  « ≤ ».

Получим систему ограничений в виде:

3₁ +х₂ + х₃ ≤ 75;

х₁ +х₂ + х₄ ≤ 30;                                                            (9)

х₁ + 4х₂ + х₅ ≤ 84.

Для нахождения первоначального базисного решения  разобьём переменные на две группы – основные и не основные. Так  как определитель, составленный из коэффициентов при дополнительных переменных х₃, х₄, х₅ отличен от нуля, то эти переменные можно взять в качестве основных на первом шаге решения задачи.

I шаг.

Основные  переменные: х₃, х₄, х_5.

Второстепенные  переменные: х₁, х_{2. .}

Выразим основные переменные через второстепенные:

х₃ = 75 - 3х₁ - х₂ ;

х₄ = 30 - х₁ - х₂;                                                                 (10)

х₅ = 84 - х₁ - 4х_2.

 

Положив основные переменные равными нулю, то есть х₁ = 0, х₂ = 0, получим базисное решение Х₁ = (0, 0, 75, 30, 84), которое является допустимым. Поскольку это решение допустимо, то нельзя отбросить возможность того, что оно оптимально. Выразим линейную функцию через не основные переменные: