Оптимизационные задачи в экономике и математический аппарат их решения

МИНИСТЕРСТВО  ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ РФ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального  образования

«Ивановская государственная текстильная академия»

(ИГТА)

 

 

 

Кафедра банковского  дела, учета и аудита

 

 

 

 

Курсовая  работа

по дисциплине «Математическое моделирование экономических систем»

на тему: 

«Оптимизационные  задачи в экономике и математический аппарат их решения»

 

 

 

 

Выполнила:

студентка  4 курса,

группы 4э7а

Котова  И.И.

Проверила:

Щеглакова А.К.

 

 

 

Иваново 2010

Содержание

 

Введение…………………………………………………………....…... 3

Глава 1. Теоретическое обоснование

1. Оптимизационные методы решения задач…..……....4-11

1.2.   Многокритериальная оптимизация……………..….12-14

Глава 2. Анализ оптимизационных методов на примере решения транспортной и производственной задач................................ ..15-23

Заключение…………………………………………………………. 24-25

Библиографический список……………………………………………26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Оптимизация как раздел математики существует достаточно давно и обозначает выбор, который нам необходимо осуществлять в повседневной жизни ежедневно в той или мной сфере деятельности.

Под термином «оптимизация» в научной литературе понимают процесс или последовательность операций, позволяющих получить уточнённое решение. Хотя конечной целью оптимизации является отыскание наилучшего или «оптимального» решения, обычно приходится довольствоваться улучшением уже известных решений, а не доведением их до идеала. Поэтому под оптимизацией понимают, скорее, стремление к поиску наиболее точного и выгодного в заданных условиях решения, которое, возможно, и не будет найдено [8].

Практика порождает все новые  и новые задачи оптимизации, причем их сложность постоянно увеличивается. Требуются новые математические модели и методы, которые учитывают наличие многих критериев, проводят глобальный поиск оптимума. Другими словами, ускорение научно-технического прогресса (НТП) заставляет развивать и совершенствовать математический аппарат оптимизации.

В действительности прикладные задачи оптимизации очень сложны, и современные методы оптимизации далеко не всегда справляются с решением реальных задач без помощи человека. Пока не существует такой теории, которая учитывала бы любые особенности функций, описывающих постановку задачи. На практике следует отдавать предпочтение тем методам, которыми наиболее удобно и просто управлять в ходе решения.

Таким образом, целью данной курсовой работы является освоение на практике, в ходе более детального исследования заданной темы, навыков, полученных в ходе изучения дисциплины математического моделирования экономических систем, для решения оптимизационных задач наиболее эффективными действующими методами.

Глава 1. Теоретическое обоснование

1. Оптимизационные методы решения задач

К экономическим  задачам оптимизационного типа относятся  задачи, в которых требуется найти  наилучшее или оптимальное решение  при заданных условиях производства. Такие задачи называются задачами на максимум или минимум. Особенностью задач оптимизационного типа является многовариантность их решений, обусловленная  следующими причинами:

• взаимозаменяемостью ресурсов;
• взаимозаменяемостью готовых видов продукции;
• существованием альтернативных технологий производства;
• неодинаковостью технико-экономических показателей даже однотипных хозяйственных субъектов.

Возможны  два подхода к постановке оптимизационных  задач: при первом подходе требуется  получить максимальные конечные результаты при заданных условиях производства; при втором подходе требуется  получить заданные конечные результаты при минимальных затратах ресурсов.

Математический  инструментарий, позволяющий решать экономические задачи оптимального типа, называется программированием. Различают  линейное и нелинейное программирование [5].

На практике наибольшее распространение получило линейное программирование. Методы линейного программирования в математике известны под названием общей задачи линейного программирования. Аналитическая формулировка общей задачи линейного программирования.

 Общая  задача линейного программирования  формулируется следующим образом:  найти решение {Х₁,Х₂,….Х_n}, позволяющее максимизировать или минимизировать целевую функцию

F = C₁X₁+C₂X₂+…+ C_nX_n

при условиях

Х₁≥0; Х₂≥0; …; Х_n≥0.

Это развернутая  запись общей задачи линейного программирования, а сокращенная запись этой модели имеет вид: найти решение {X_j}, позволяющее максимизировать (минимизировать) функцию

при условиях

 , i = 1,2,…,n;

X_j ≥ 0, j = 1,2,…,n.

Вышеприведенные записи общей задачи линейного программирования называют аналитической формой записи.

Любое решение, удовлетворяющее условиям, называется допустимым решением. Допустимое решение  систем неравенств, удовлетворяющее  целевой функции, называется оптимальным  решением. Такое решение единственно  при заданных условиях [9].

Матричная форма записи общей задачи линейного  программирования

при ограничениях AX≤B    и   X≥0, 

где С = (с₁, с₂,…, с_n);

 

где С  – матрица-строка;

А – матрица  системы;

Х – матрица-столбец  переменных;

В – матрица-столбец  свободных членов.

Симплекс-метод

Сведём  задачу линейного программирования к просмотру крайних точек  допустимого множества. Именно направленный перебор крайних точек допустимого  множества и осуществляется в  симплекс-методе, изложенном ниже. Рассмотрим связь между геометрическим понятием крайней точки и его аналитической интерпретацией. Для ограниченного множества , описанного с помощью системы неравенств   крайними точками являются решения невырожденных подсистем вида:

(1)

 

где - некоторое подмножество индексов     и 

 и матрица, составленная из строк-векторов аⁱ, неособенная. Обозначим единственное решение системы (3) через x. Предположим теперь, что существуют и такие, что для    Поскольку для то, очевидно, что . В силу единственности решения (3) .  С другой стороны, если - крайняя точка, то можно обозначить через   множество равенств

Обозначим через  матрицу, составленную из строк Если предположить, что , то существует нетривиальное нуль-пространство

(2) Выбирая достаточно малым по норме, можно добиться того, что для вектор или для и для достаточно малых .    Аналогично можно показать, что при этом и .

Так как  , то получаем противоречие с определением крайней точки. Для направленного просмотра крайних точек допустимого многогранника применяют симплекс-метод, предложенный Дж. Данцигом и затем усовершенствованный многочисленными математиками.

Основная  идея метода заключается в разбиении  множества переменных x = x₁, x₂, . . ., x_n на базисные и небазисные . Не умаляя общности, можно считать, что базисные переменные являются первыми в векторе x, т.е. x = (x^B, x^N ) [1].

Система ограничений канонической формы задачи линейного программирования может быть соответственно переписана в виде:

                                                         (3)

Предположим, что матрица  имеет полный ранг, т.е. - невырожденная. Тогда из равенства (5) следует

                                                                       (4)

Целевая функция задачи ЛПР также  может быть разбита на базисную и  не базисную части:

Подстановка (6) дает

                                      (5)

Предположим, что мы находимся в  некоторой начальной точке  со значением целевой функции

Каким образом можно уменьшить далее значение целевой функции?

Из соотношения (5) следует, что для этого достаточно сделать положительными те компоненты вектора  , которым соответствуют отрицательные значения координат вектора модифицированных стоимостей

сохраняя  при этом неотрицательность базисных переменных .

Увеличение  может быть проделано различным образом, и за время существования симплекс-метода были проделаны многочисленные эксперименты по поиску наиболее эффективных стратегий увеличения

Здесь будет рассмотрена простейшая:

• среди компонент вектора находится минимальная;
• соответствующая небазисная переменная получает максимально возможное приращение, сохраняющее неотрицательность базисных переменных.

Поскольку при  увеличении -й компоненты вектор приобретает вид:

  где это -й орт, а - степень увеличения этой переменной или шаг алгоритма, то модифицированный базисный вектор выражается следующим образом: где - -й столбец матрицы Шаг   определяется при этом из условия:  

Максимально возможное значение    определится при этом как

                                                                               (6)

Пусть - номер , на котором достигается минимум (6). Очевидно, что при этом     Говорят, что переменная выводится из базиса (обращается в нуль), а переменная вводится в базис. Целевая функция при этом уменьшается на величину [4].

Важную  роль в теории симплекс-метода играет условие невырожденности, в котором  предполагается полный ранг A_B и строгая положительность базисного решения в. При этом л > 0 и дcx < 0, то есть целевая функция уменьшается при переходе к новому базису.

Поскольку в задаче линейного программрования  может быть лишь конечное число базисов, а на каждой итерации происходит уменьшение целевой функции, базисы не могут  повторяться. Следовательно, после  конечного числа итераций вектор модифицированных стоимостей станет неотрицательным, а это означает, что дальнейшее уменьшение целевой функции невозможно, т.е. будет получено одно из оптимальных  решений.

В силу выпуклости задачи любое другое оптимальное решение будет иметь  также значение целевой функции, т.е. будет в этом смысле эквивалентно [7].

Геометрический метод

Рассмотрим задачу линейного программирования в стандартной форме с двумя  переменными (n = 2). К такой форме может быть сведена и каноническая задача (с ограничениями в виде уравнений), когда число переменных n больше числа уравнений m на 2, т. е. n – m = 2.

Пусть геометрическим изображением системы ограничений  является многоугольник ABCDE (Рис. 1). Необходимо среди точек этого многоугольника найти такую точку, в которой линейная функция F=c₁x₁+c₂x₂ принимает максимальное (или минимальное) значение.

Рассмотрим  так называемую линию уровня линейной функции F, т. е. линию вдоль которой эта функция принимает одно и тоже значение a,       т.е. F = a, или     c₁x₁+c₂x₂ = а (1)

Линии уровня широко используются, например, на картах прогноза погоды, где извилистые линии – так называемые изотермы есть ничто иное, как линии уровня температуры Т = с. Ещё более простым примером линий уровня являются параллели на географической карте. Это линии уровня широты [2].

Предположим надо найти самую северную точку  какой-либо области, например страны или  материка. Это будет точка, имеющая  наибольшую широту, т. е. точка через  которую проходит параллель (линия  уровня) с самой большой широтой (уровнем).

Именно  так и надо поступать при геометрическом решении задач линейного программирования . на многоугольнике решений следует  найти точку, через которую проходит линия уровня функции F с наибольшим (если линейная функция максимизируется) или наименьшим (если она минимизируется) уровнем.

Уравнение линии функции (1) есть уравнение  прямой линии. При различных уровнях, а линии уровня параллельны, так как их угловые коэффициенты определяются только соотношением между коэффициентами c₁ и c₂ и следовательно, равны. Таким образом, линии уровня функции F – это своеобразные “параллели ”, расположенные обычно под углом к осям координат.