Обоснование модели простейшего потока, образуемого кадрами сети Ethernet

 

     По результатам получили, что общее число инверсий А = 773.

     Рассмотрим гипотезу о том, что наблюдения представляют собой независимые наблюденные значения случайной величины, не содержащей тренда. В этом случае область приятия гипотезы определяется неравенством:

A_{100; 1-α/2} < A ≤ A_α/2

 

     При уровне значимости α = 0,05 неравенство переписывается следующим образом:

 

A_{64; 0,975} < A ≤ A_{64; 0,025}

 

731 < A ≤ 1038

 

     Выдвинутая гипотеза принимается при 5% - ом уровне значимости, так как значение А = 773 попадает в интервал между 731 и 1038.

 

2.1.2.Проверка достоверности гипотезы об экспоненциальном распределении исследуемой статистики с помощью критерия согласия WE

       Поскольку  критерий WE предназначен для исследования малочисленных выборок, то достаточным является проанализировать первые двадцать чисел от общего объёма наблюдений. Все данные для расчёта критерия WE представлены в таблице 3.

 

Таблица 3

Значение хi	(xi – xсреднее)2	Значение хi	(xi – xсреднее)2
1541	5730,49	2106	239414,49
1722	11088,09	1033	340705,69
1412	41902,09	971	416928,49
905	506516,89	1366	62850,49
1390	51392,89	5058	11842545,69
898	516529,69	1219	158165,29
971	416928,49	1146	221558,49
1371	60368,49	1321	87438,49
2338	520273,69	1869	63655,29
64	2410877,29	3633	4065465,69

 

       Вспомогательные  данные:

х_{среднее} = х = 1616,7

 

∑(x_i – x_{среднее})² = 22040336,2

 

     Воспользовавшись данными таблицы 3, рассчитаем критерий согласия WE по формуле:

 

WE = = 0,109385

 

        Полученный  результат сравним с двусторонним  доверительным интервалом, который  при заданном уровне значимости  и объёме выборки составит:

[0,025 ≤ WE ≤ 0,106]

     Вычисленное  значение не попадает в интервал, а  это значит, что выдвинутая  гипотеза об экспоненциальном  распределении времени появления  заявок в сети не верна с уровнем значимости 0,05. 

2.1.3Проверка достоверности гипотезы об экспоненциальном распределении исследуемой статистики с помощью критерия согласия χ²

     Воспользуемся  критерием χ² для оценки приемлемости экспоненциального распределения в качестве модели для времени появления кадров в сети, данные по которым приведены в выборке. Для исследований выбраны 64 числа. В этом случае данные легко поддаются группировке, поэтому для разбиения данных по интервалам используется первый метод.

     Порядок проверки состоит в следующем:

     - По данной  выборке найдём максимальные  и минимальные объекты выборки:

 

x_max = 5441; x_min = 64;

 

     Так как  минимальное значение случайной  величины в рассматриваемом случае  равно 64 и выдвинутая гипотеза  об экспоненциальном законе распределения,  то необходимо осуществить смещение  по оси 0х на значение х₀ = 64. Тогда функция плотности распределения будет выглядеть следующим образом:

 

f(x) = λ,

 

где – λ параметр экспоненциального  распределения:

 

λ = 1/x_В

 

где х_В – средняя выборочная эмпирического распределения

 

х_В =

 

λ = 1/2209,140625 = 0,000453

     - Определим  размах варьирования:

 

R = x_max – x_min = 5441 – 64 = 5377

 

     - Для определения числа интервалов группировки k воспользуемся эмпирической формулой Стерджеса с округлением до большего значения:

k = 1 + 3,32lgN,

Где N – число наблюдений;

k = 1 + 3,32lg64 = 7

• Определим длину интервалов группировки

h = R/k

h = 5377/7 = 768,143

     Так как  данные не были предварительно  табулированы подсчитаем число наблюдений в каждом интервале m_i , т. е. число элементов вариационного ряда, попавших в интервалы [CL_i; CU_i], где I = 1…k,

CL_i – нижняя границ i – го интервала,

CU_i – верхняя граница i – го интервала.

     - Определим  вероятность попадания случайного  наблюдения в каждый из интервалов:

,

где x_i, x_{i + 1} границы частотных интервалов.

     Все вычисления  занесём в табл. 4

Таблица 4

Расчёт критерия χ²

CUi	mi	pi	xi
832,143	4	0,487065549	448,0715
1600,286	16	0,20158429	1632,286
2368,429	22	0,142342885	1984,3575
3136,572	11	0,100511289	2752,5005
3904,715	4	0,070973124	3520,6435
4672,858	2	0,050115608	4288,7865
5441	5	0,035387641	5056,929

 

CU_i – верхняя граница i – го интервала

m_i – фактическое число наблюдений в i – ом интервале

p_i – вероятность попадания случайной величины в i – ый интервал

x_i – середина i – го интервала.

     - По данным  в таблице построим гистограмму  частот, которую используют для  оценки закона распределения. По виду гистограммы можно предположить, что случайная величина распределена по нормальному закону.

 

 

 

Гистограмма частот

     Была выдвинута гипотеза о том, что время появления кадров в сети распределено по показательному закону, но в нашем случае получилось, что время появления кадров в сети распределено по нормальному закону,  следовательно, данная гипотеза не подтверждается.

     Рассчитаем  критерий χ².

     - Задаёмся  уровнем значимости и определяем  число степеней свободы. Уровень  значимости принят α = 0,05. Для  экспоненциального закона распределения  число степеней свободы r^’ = k – 2. Учитывая то, что выборку разбили на 7 интервалов, получилось, что r^’ = 5.

     - Определяем  значение параметра χ². Для удобства подсчёта χ²_набл построим табл. 5.

Таблица 5

 

mi	pi	Ni = N*pi
4	0,487065549	31,1722	5,618972
16	0,20158429	12,90139	0,030242
22	0,142342885	9,109945	0,369543
11	0,100511289	6,432722	0,03276
4	0,070973124	4,54228	0,000326
2	0,050115608	3,207399	0,001142
5	0,035387641	2,264809	0,004137

 

 

     - Используя формулу

 

получили χ²_набл = 6,057122

     - Сравним полученное  значение χ²_набл и χ²_кр. Из приложения 2 видно, что

χ²_кр = 11,07

6,057122 < 11,07

     Результат  исследования критерия χ² показал, что данная гипотеза не верна, т. К. мы получили нормальное распределение времени появления кадров в сети, а не экспоненциальное. 

 

2.1.4 Проверка свойства стационарности

     Пусть X₁… X_k – случайные величины, определяемые числом событий потока на k непересекающихся интервалах одинаковой длины; тогда есть j-ая реализация случайной величины X_j (j = 1,… m). В качестве k рассмотрим временные интервалы, например, трёхсекундной кратности (3, 6,… k_n c), а в качестве j – временные интервалы, например, тридцати секундной кратности (30, 60, … j_n с). Такие интервалы удобно взять конкретно для исследуемой выборки, для любой другой последовательности, временные интервалы могут быть как секундной минутной, так и часовой кратности. Выбор интервалов напрямую зависит от показаний. Тогда есть суммарные значения числа кадров, прошедших через порт коммутатора. В таблице 6 представлены данные значения и соответствующие им ранги.

Таблица 6

	6	Ранг	12	Ранг	18	Ранг	24	Ранг	30	Ранг
30	1371	14	2338	42,5	2106	38	1033	9	971	7,5
60	1366	13	5058	62	1146	10	1321	12	1869	28
90	3633	57	2450	45	1747	25	2585	49	1946	30
120	2514	46	3539	55	2668	50	4947	61	437	3
150	2408	44	2199	40	776	4	3025	52	2064	36
Сум. ранг Rk		174		244,5		127		183		104,5
Rk2		30276		59780,25		16129		33489		10920,25

 

H = –

- 3(25 + 1) = 478,04

     Проверим значимость  полученного критерия путём сравнения  с квантилем распределения χ² с 4-мя степенями свободы. При заданном уровне значимости имеет место выполнение неравенства

478,04 > 9,49

      Получается, что гипотеза о стационарности потока, образуемого кадрами, не верна с уровнем значимости 0,05.

 

Вывод

     В данной  работе мы исследовали поток,  образуемый моментами появления  кадров в локальной вычислительной  сети Ethernet. В качестве исходных данных взят статистический материал, собранный системой дистанционного мониторинга посредством специализированного программного обеспечения. Проверена правдоподобность выдвинутых гипотез о стационарности рассматриваемых данных, об отсутствии последствия и об экспоненциальном распределении времени появления заявок в потоке.

     Результат: из всех гипотез сошлась только одна, а именно гипотеза об отсутствии последствия. Проверка достоверности гипотезы об экспоненциальном распределении исследуемой статистики с помощью критерия согласия χ² показала, что с заданными параметрами у нас получается нормальный закон распределения. Также при проверке свойства стационарности мы получили значение критерия Краскала – Уоллиса, значительно превышающее критическое. Следовательно, можно утверждать о том, что гипотеза о возможности описания потока, образуемого моментами появления кадров в сети Ethernet, моделью простейшего потока является неверной, а это значит, что поток не является простейшим.

 

Список использованных источников

1. Пугачёв В. С. Теория вероятностей и математическая статистика – М.: Физматлит, 2002. – 400с.
2. Хогдал М. Анализ и диагностика компьютерных сетей – М.: Лори, 2002. – 353с.
3. Шнепс М. А. Системы распределения информации. Методы расчёта: Справ. пособие. – М.: Связь, 1979. – 344с.
4. Информационные технологии на железнодорожном транспорте учебник для вузов железнодорожного транспорта / Э. К. Лекций, В. И. Понкратов, В. В. Яковлев и др. – М.: УМК МПС России, 2000. – 680с.
5. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных: Пер. с англ. – М.: Мир, 1989. – 540с.
6. Хан Г., Шапиро С. Статистические модели в инженерных задачах: Пер. с англ. – М.: Мир, 1969. – 397с.
7. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. Пособие для вузов. – М.: Высш. шк., 2002. – 479с.