Обоснование модели простейшего потока, образуемого кадрами сети Ethernet

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

«Уральский государственный университет путей сообщения»

 

Кафедра «Информационных технологий

и защита информации»

 

 

 

 

Курсовая работа

По дисциплине: «Средства  и системы технического обеспечения  обработки, хранения и передачи информации»

на тему «Обоснование модели простейшего потока, образуемого кадрами сети Ethernet»

 

 

Выполнил: ст. гр. ИТЗ-310

Пауесов Р.А.

 

Проверил:

Симонович В. Г.

 

 

 

 

Екатеринбург 2011

Оглавление

Введение 3

1.Теоритический  раздел 5

1.1 Определение  простейшего потока. Характеристики  простейшего потока. 5

1.2 Свойство  стационарности. 7

1.3 Свойство  отсутствия последствия. 8

1.4 Проверка  допущений о распределениях. 10

1.4.1 Критерий  согласия WE для проверки достоверности гипотезы об экспоненциальном распределении исследуемой статистики. 11

1.4.2 Использование  критерия согласия χ² для проверки достоверности гипотезы о распределении исследуемой статистики. 12

1.4.3 Схематическое  представление выполнения курсового  проекта. 15

2.Практическое  исследование 16

2.1.1.Проверка  свойства отсутствия последствия 17

2.1.2.Проверка  достоверности гипотезы об экспоненциальном  распределении исследуемой статистики  с помощью критерия согласия  WE 19

2.1.3Проверка  достоверности гипотезы об экспоненциальном  распределении исследуемой статистики  с помощью критерия согласия  χ² 20

2.1.4 Проверка  свойства стационарности 24

Вывод 25

Список использованных источников 26

 

 

Введение

      В связи  с быстрым развитием и распространением  сетевых технологий, проблемы управления функционирования вычислительных сетей и анализ сетевого трафика данных является важной и актуальной задачей. Корректная оценка интенсивности потока заявок, пиковых нагрузок очень важна при выборе активного оборудования, передающей среды и типа протокола. Результаты анализа важны для корректного использования математического аппарата, что проявляется в типе математической модели, используемой и эксплуатируемой локальной сети.

       Поскольку  в ЛВС типа Ethernet используется множественный доступ с обнаружением коллизий CSMA/CD, то моменты появления кадров в передающей среде носят случайный характер. Кроме того, на длительность интервала между появлением кадров существенное влияние оказывает число пользователей и интенсивность их работы.  Данные обстоятельства существенно усложняют модель, описывающую поведение входного потока заявок, образуемого кадрами, что непосредственно влияет на выбор математических моделей, используемых для анализа характеристик сети.

       С точки зрения информационной безопасности, для предприятий и организаций, использующих ЛВС типа Ethernet, при передаче информации подлежащей защите, актуально использовать такие оценки показателей обслуживания, как время доступа в сеть, время передачи сообщения по сети и др. Такой анализ позволит:

       - адекватно  оценить объём передаваемых сведений, содержащих информацию, подлежащую  защите;

      - верно выбрать средства сетевой защиты;

      - рационально  оценить объём средств, необходимых  для достижения заданного уровня  защищённости.

      Представленное  методическое пособие является  руководством  для проведения  теоретического исследования распределения  случайной величины – момента  времени появления кадров в  ЛВС типа Ethernet с использованием различных приёмов статистического анализа.

      Целью работы является проверка гипотезы о возможности описания потока, образуемого моментами появления кадров в сети Ethernet моделью простейшего потока.

     Для реализации поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

     1.Выбрать согласно  варианту – (порядковый номер  в журнале) исходные данные  для исследования.

     2.Проанализировать  исходные данные на предмет  стационарности потока случайных  событий, используя критерий Краскала-Уоллиса.

     3.Исследовать  поток данных на отсутствие  последствия с помощью критерия  серий и тренда.

     4.На основании  определения о простейшем потоке  данных выдвинуть гипотезу об  экспоненциальном распределении  исследуемой статистики.

     5.Используя  критерий согласия χ² , а также критерий согласия WE, проверить правдоподобность выдвинутой гипотезы.

 

1.Теоритический раздел

     1.1 Определение простейшего потока. Характеристики простейшего потока.

     Поток событий  – это последовательность однородных  событий, появляющихся один за  другим в фиксированные или  случайные моменты времени (случайный  поток событий) [1].

     В соответствии  с фундаментальным определением  поток событий называется простейшим, если он стационарен, ординарен  и не имеет последствия. Рассмотрим  подробнее данные свойства:

     - стационарность  предполагает независимость вероятностных  характеристик потока от начала  отсчёта или, более конкретно,  если вероятность попадания того или другого числа событий на любой интервал времени будет зависеть только от длины, а не от места расположения на оси 0t;

     - ординарность  – свойство потока, заключающееся  в том, что заявки в нём  появляются по одиночке, а не группами;

     - отсутствие  последствия заключается в том , что события, образующие потоки, появляющиеся в те или другие моменты времени, независимы друг от друга.

     Кроме перечисленных  характеристик сами события должны  быть однородными (однотипными)  и появляться одно за другим  в случайные моменты времени.  Если выполняются все вышеперечисленные  условия, то время t между моментами появления соседних событий, в дальнейшем называемое «исследуемая статистика», простейшего потока распределено экспоненциально с параметром λ, то есть интенсивность потока равна математическому ожиданию числа событий, приходящихся на единицу времени:

 

 

λ > 0

     Описанная математическая модель частот используется для анализа характеристик информационных систем различного типа, на вход которых поступают заявки в случайные моменты времени [2]. Кроме описания входного потока заявок данная модель успешно используется при описании потока обслуживания, то есть времени, затрачиваемого системой на обслуживание заявки.

     Если, используя  традиционные приёмы статистического анализа данных, удастся обосновать возможность применения вышеописанной модели для описания входного потока заявок и потока обслуживания, то исследуемую информационную систему можно представить как систему массового обслуживания (СМО) типа M/M/υ, где М – определяет Марковские свойства потока событий[3]. Данное сокращение означает, что время между появлением заявок на входе системы и время обслуживания заявки распределено показательно, а υ определяет число обслуживающих приборов. Тогда расчёт основных характеристик обслуживания не составит труда, поскольку для такого случая получены чёткие функциональные зависимости, за табулированные для различных значений интенсивностей.

     Для обоснования  применения описанной модели  необходимо проверить выполнение  вышеописанных условий и по  совокупности результатов сделать  вывод о возможности применения  данной модели. Если хотя бы  одно из условий не будет  выполнено, то поток не является  простейшим и использование данной  модели не оправдано.

 

     1.2 Свойство стационарности.

     Для проверки стационарности потока случайных событий воспользуемся критерием Краскала – Уоллиса [4]. Критерий Краскала – Уоллиса используется, когда имеется несколько выборок k с общим числом наблюдений N и требуется определить, являются ли все выборки одинаково распределёнными, т. е. имеют один и тот же тип распределения. Если данная гипотеза подтвердится, то можно с определённым уровнем значимости принять гипотезу о стационарности исследуемого потока.

      Процедура  расчёта критерия состоит в  следующем:

     1. Все N наблюдений выстраивают в порядке возрастания с сохранением признака исходной группы. Если в последовательности оказалось подряд несколько одинаковых значений, то их порядковые номера будут одинаковыми и равными среднему арифметическому их мест.

     2. Рассчитываем суммарный ранг R_k для каждой выборки, получаемый в результате сложения порядковых номеров наблюдений в общем размещении.

     3. Рассчитываем значение критерия по следующей формуле:

 

где N – общее число наблюдений,

N₁… N_k – число наблюдений выборки 1… N,

R_k – суммарный ранг k-ой выборки.

     4. Необходимо  проверить значимость полученного  значения критерия Н. Для этого  необходимо задаться уровнем  значимости (обычно α = 0,05) и сравнить  полученное значение с верхней  5%-ой областью распределения χ² с k – 1 степенями свободы. Если полученное значение меньше, то гипотеза о стационарности исследуемого потока верна с уровнем значимости 0,05.

 

     1.3 Свойство отсутствия последствия.

     По определению, отсутствие последствия – это независимость наблюдений, образующих поток. Для обоснования данного факта воспользуемся непраметрическим критерием серий [5], основанным только на свойствах самих наблюдений.

     Для расчёта  критерия из каждого значения  необходимо вычесть среднее арифметическое  всех значений объединённой совокупности. В результате образуется последовательность  отрицательных и положительных  чисел.

     Серией называется  последовательность однотипных  наблюдений, перед и после которой  следуют наблюдения противоположного  типа или же вообще нет наблюдений. По числу серий r делается вывод о независимости наблюдений, для этого рассматривается двусторонний доверительный интервал:

r_{n/2; 1 – α/2} < r < r_{n/2; α/2}

     В качестве границ доверительного интервала используются квантили затабулированного распределения. Если полученное значение числа серий попадает в данный интервал, то гипотеза о независимости и, следовательно, об отсутствии последствия принимается с уровнем значимости α.

     Для проверки  отсутствия последействия наряду  с критерием серий можно использовать критерий тренда [5]. Критерий тренда имеет большую мощность, чем критерий серий, при выявлении монотонного тренда в последовательности наблюденных значений. Однако критерий тренда обладает малой мощностью при выявлении колебательного тренда.

     Рассмотрим  последовательность N наблюденных значений случайной величины x(k). Обозначим эти значения символом x_i , где i = 1, 2, 3,… N. Подсчитаем теперь число случаев, когда x_i > x_j при i < j. Каждое такое неравенство называется инверсией. Общее число инверсий обозначим символом  А.

     Дадим следующее общее определение числу А. По ряду значений х₁, х₂,… х_N определим величину

h_ij = 1, при x_i > x_j

h_ij = 0, при других x_i

Тогда

 

где

 

Сравним полученное значение А с табличными значениями.

A_N; 1 – α/2 < A < A_N; α/2

     Если полученное значение числа тренда попадает в данный интервал, то гипотеза о независимости и, следовательно, об отсутствии последствия принимается с уровнем значимости α.

 

     1.4 Проверка допущений о распределениях.

     Статистическая  проверка допущения о распределении  позволяет объективно оценить,  обеспечивает ли принятая модель  достаточно точное описание наблюдаемых  данных. Обычно проверка включает  в себя следующие основные  этапы:

     - На основании  полученных данных вычисляется  некоторое число, называемое критерием  согласия.

     - Определяется  вероятность получения вычисленного  критерия при условии , что модель выбрана правильно. Часто это выполняется путём обращения к таблице распределения критерия.

     - Если вероятность  получить вычисленное значение  критерия мала, мы заключаем, что  принятая статистическая модель не даёт правильного описания данных. Малой считается вероятность, равная 0,1; 0,5, или меньше. Если вероятность получения вычисленного критерия не мала, то данные не дают оснований считать, что принятая модель не подходит.

     Следует чётко  представлять, что эта методика  позволяет отвергнуть модель  как неправильную, но не позволяет  доказать, что модель верна. Исход  статистического испытания зависит  от количества имеющихся данных: чем больше данных, тем больше  шансов отвергнуть неправильную  модель. Если данных мало, то часто  бывает невозможно установить  неадекватность даже такой модели, которая существенно отличается  от принятой.

     Прежде чем  перейти к оценке случайного  закона распределения времени  между появлением заявок в  потоке, необходимо сказать, что  если рассматриваемый нами поток  событий действительно является  простейшим, то время появления  заявок должно быть распределено по экспоненциальному закону (из определения простейшего потока). Для проверки этого утверждения воспользуемся критериями согласия χ² и WE.