Обоснование модели простейшего потока, образуемого кадрами сети Ethernet

 

     1.4.1 Критерий согласия WE для проверки достоверности гипотезы об экспоненциальном распределении исследуемой статистики.

     Критерий согласия WE ориентирован на проверку достоверности гипотезы об экспоненциальном распределении исследуемой статистики [6].

     Вычисление  критерия производится по следующей  формуле:

 

     Вычисленный  таким образом критерий сравнивается  с 95%-процентилем, представляющим собой двусторонний доверительный интервал. Если расчётное значение критерия не попадает в соответствующий интервал, то вероятность того, что наблюдаемое значение взято из экспоненциально распределённой совокупности, меньше 0,05. Объём выборки, для которой производится вычисление критерия WE, невелик – от 7 до 35, что, как показывает практика, вполне достаточно.

 

     1.4.2 Использование критерия согласия χ² для проверки достоверности гипотезы о распределении исследуемой статистики.

     Наиболее гибкой методикой оценки допущений о распределении является проверка с помощью критерия χ² [5,7]. Для применения этого критерия полученные данные группируются по интервалам частот и сравниваются с ожидаемым числом наблюдений для принятого распределения. На основе этого сравнения вычисляется критерий, который приближённо следует распределению χ² только в том случае, если модель выбрана правильно. Если модель выбрана неправильно, то значение критерия превысит значение случайной величины, распределённой по закону χ². Основным преимуществом этого критерия является его гибкость. Его можно легко использовать для проверки допущения о любом распределении.

     Основными  недостатками критерия χ² являются нечувствительность к обнаружению адекватной модели, когда число наблюдений велико, и зачастую необходимо группировать данные по произвольным интервалам, что может оказать влияние на результат проверки.

     Как и любой  критерий, критерий χ² не доказывает справедливость гипотезы, а лишь устанавливает на принятом уровне значимости согласие или несогласие.

     В общем  случае проверка с помощью  χ² производится следующим образом:

    1. Нахождение оценок для каждого из неизвестных параметров принятого распределения.

    2. Деление полученных  данных на k интервалов и определение вероятности попадания в каждый интервал случайной величины, имеющей принятое распределение. Существует 2 метода выполнения этой работы. Первый из них применяется в том случае, когда данные первоначально были распределены по интервалам или могут быть разбиты по этим интервалам естественным образом. Это будет иметь место в случае дискретного распределения. Второй метод применяется, когда данные первоначально не разбиваются на интервалы.

     Метод 1. Число интервалов k, на которые разбиваются полученные данные, подчиняются требованию, чтобы для принятой модели ожидаемое число наблюдений в каждом интервале было не меньше пяти [1]. Пусть CL_i и CU_i обозначают соответственно нижнюю и верхнюю границы i-го интервала. Затем для нахождения оценки,

P(CL_i ≤ x < CU_i),

i = 1, 2,… k, т. Е. вероятности попадания случайного наблюдения в каждый из интервалов, используется принятое значение распределения.

     Метод 2. В данном случае выбор k более произволен. Когда число наблюдений N велико (например, более 200) [1], одно из возможных правил состоит в выборе в качестве k целого числа, ближайшего к:

k = 4[0,75(N – 1)²]^0,2

     При средних значениях N правило выбора k состоит в выборе как можно большего значения k при условии, что оно не должно превышать N/5.

     Границы интервалов x₁, x₂,…x_k определяются с помощью теоретического распределения (с использованием оценок параметров) так, что

P(x ≤ x₁) = 1/k

P(x ≤ x₂) = 2/k,… P(x ≤ x_{k -1}) = (k – 1)/k

     Нижняя граница первого интервала и верхняя граница последнего интеграла являются соответственно наименьшим и наибольшим значениями, которые может принимать случайная величина, В этом случае границы интервалов установили таким образом, что для каждого интервала вероятность попадания случайной величины в данный интервал оценивается как 1/k.

     3. Умножение  каждой вероятности попадания  наблюдений в интервал на объём  выборки N. Получили математическое ожидание E_i числа наблюдений в каждом интервале для принятой теоретической модели. Применяя первый метод, E_i находят умножением вероятности на N. Для второго метода:

E_i = N/k,     i = 1, 2, … k.

     4. Если данные  не были предварительно табулированы, подсчитаем число наблюдений  в каждом интервале. Обозначим  это число как m_i, где i = 1, 2,… k. В противном случае находим m_i непосредственно подсчётом.

     5. Вычисляем  критерий χ²

 

      При использовании  второго метода это выражение  немного проще и имеет вид:

 

     6. Сравнить  вычисленное значение χ² с табличным значением, выбирая число степеней свободы r.

R = k – r – 1,

где k – число рассматриваемых интервалов;

r – число параметров распределения.

     Поскольку односторонний критерий более «жестоко» отвергает нулевую гипотезу, чем двусторонний, построим правостороннюю критическую область исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости α:

P[χ² > χ²_кр(α; r)] = α[1]

     Таким образом, правосторонняя критическая область определяется неравенством

χ² > χ²_кр(α; r),

а область принятия нулевой  гипотезы – неравенством

χ² < χ²_кр(α; r)

     По таблице  распределения χ² найдём критическую точку χ²_кр(α; r).

     Если χ²_набл < χ²_кр – нет основания отвергать гипотезу, т. е. гипотеза верна, но если наоборот, т. е. χ²_набл < χ²_кр, гипотезу отвергаем. Большие значения χ² означают, что анализируемые данные противоречат принятой модели. В этом случае полезно сравнить фактические частоты с ожидаемыми, чтобы увидеть, какие интервалы оказывают наибольшее влияние на величину χ². Это сравнение показывает характер отклонений от принятой модели.

 

     1.4.3 Схематическое представление выполнения курсового проекта.

     В общем  случае выполнение данной курсовой  работы можно представить в  виде блок – схемы.

Вывод о правдоподобности выдвинутой гипотезы

Проверка отсутствия последствия

Критерий

тренда

Критерий

серий

&

χ²

Критерий

согласия WE

Проверка стационарности потока

Проверка стационарности потока

Критерий

Краскала-Уоллиса

Проверка гипотезы о возможности  описания потоков кадров сети Ethernet моделью простейшего потока

  

2.Практическое исследование

Выборка

04.04.2000	11:15:13	1541	04.04.2000	11:17:52	2388
04.04.2000	11:15:19	1722	04.04.2000	11:17:58	2199
04.04.2000	11:15:25	1412	04.04.2000	11:18:01	776
04.04.2000	11:15:28	905	04.04.2000	11:18:04	3040
04.04.2000	11:15:34	1390	04.04.2000	11:18:07	3025
04.04.2000	11:15:41	898	04.04.2000	11:18:10	128
04.04.2000	11:15:47	971	04.04.2000	11:18:13	2064
04.04.2000	11:15:50	1371	04.04.2000	11:18:22	1975
04.04.2000	11:15:56	2338	04.04.2000	11:18:26	1796
04.04.2000	11:15:59	64	04.04.2000	11:18:29	2574
04.04.2000	11:16:02	2106	04.04.2000	11:18:36	3557
04.04.2000	11:16:08	1033	04.04.2000	11:18:39	2073
04.04.2000	11:16:11	971	04.04.2000	11:18:46	1547
04.04.2000	11:16:17	1366	04.04.2000	11:18:53	2008
04.04.2000	11:16:23	5058	04.04.2000	11:18:57	1759
04.04.2000	11:16:29	1219	04.04.2000	11:19:04	5247
04.04.2000	11:16:33	1146	04.04.2000	11:19:07	2669
04.04.2000	11:16:39	1321	04.04.2000	11:19:12	1460
04.04.2000	11:16:45	1869	04.04.2000	11:19:17	4593
04.04.2000	11:16:48	3633	04.04.2000	11:19:24	1403
04.04.2000	11:16:54	2450	04.04.2000	11:19:27	5441
04.04.2000	11:17:03	1747	04.04.2000	11:19:33	2144
04.04.2000	11:17:06	2585	04.04.2000	11:19:39	4809
04.04.2000	11:17:09	3239	04.04.2000	11:19:42	1902
04.04.2000	11:17:15	1946	04.04.2000	11:19:48	2034
04.04.2000	11:17:20	2514	04.04.2000	11:19:54	4123
04.04.2000	11:17:26	3539	04.04.2000	11:20:20	1995
04.04.2000	11:17:32	2668	04.04.2000	11:20:03	2553
04.04.2000	11:17:38	4947	04.04.2000	11:20:09	2269
04.04.2000	11:17:41	1644	04.04.2000	11:20:16	1670
04.04.2000	11:17:44	437	04.04.2000	11:20:19	2028
04.04.2000	11:17:47	2408	04.04.2000	11:20:26	1678

 

 

2.1.1.Проверка свойства отсутствия последствия

1.1Расчёт критерия  серий при общем числе наблюденных  значений N = 64.

       Просматривая  данные выборки, определим среднее  значение наблюдений. Среднее значение  равно 2209,141. Будем считать, что наблюденные значения более 2209,141 имеют знак (+), а менее 2209,141 – знак (-), результаты приведены в таблице 1.

Таблица 1

Число		Серия	Число		Серия	Число		Серия	Число		Серия
1541	-		1146	-		2388	+	12	2669	+	18
1722	-		1321	-		2199	-		1460	-	19
1412	-		1869	-	5	776	-	13	4593	+	20
905	-		3633	+		3040	+		1403	-	21
1390	-		2450	+	6	3025	+	14	5441	+	22
898	-		1747	-	7	128	-		2144	-	23
971	-		2585	+		2064	-		4809	+	24
1371	-	1	3239	+	8	1975	-		1902	-
2338	+	2	1946	-	9	1796	-	15	2034	-	25
64	-		2514	+		2574	+		4123	+	26
2106	-		3539	+		3557	+	16	1995	-	27
1033	-		2668	+		2073	-		2553	+
971	-		4947	+	10	1547	-		2269	+	28
1366	-	3	1644	-		2008	-		1670	-	29
5058	+	4	437	-	11	1759	-	17	2028	-
1219	-		2408	+		5247	+		1678	-

 

Из таблицы видно, что  я получил 29 серии, представляющие последовательность 64 наблюденного значения. Выполним проверку при уровне значимости α = 0,05. Выдвинем гипотезу о независимости значений:

r_{32; 0,975} < r ≤ r_{32; 0,025}

 

22 < r ≤ 39

 

Результаты расчёта критерия серий показали, что выдвинутая мною гипотеза об отсутствии последствия  входящего потока, образуемого кадрами  сети Ethernet, принимается с уровнем значимости 0,05, так как найденное значение r = 29 входит в интервал между 22 и 39.

 

 

 

1.2Расчёт критерия  тренда при общем числе анализируемых  значений N =64.

        Проверим последовательность наблюденных значений на наличие тренда при уровне значимости α = 0,05. Полученные данные представлены в таблице 2.

 

Таблица 2

Число		Число		Число		Число
1541	18	1146	3	2388	20	2669	11
1722	22	1321	3	2199	18	1460	1
1412	16	1869	12	776	1	4593	11
905	5	3633	38	3040	22	1403	0
1390	13	2450	26	3025	21	5441	11
898	4	1747	9	128	0	2144	6
971	4	2585	28	2064	13	4809	9
1371	10	3239	32	1975	8	1902	2
2338	33	1946	12	1796	6	2034	4
64	0	2514	24	2574	15	4123	6
2106	28	3539	30	3557	16	1995	2
1033	4	2668	26	2073	11	2553	4
971	3	4947	33	1547	2	2269	3
1366	6	1644	6	2008	7	1670	0
5058	47	437	1	1759	4	2028	1
1219	4	2408	21	5247	17	1678	-