Моделирование в проектировании сложных систем

 

 

МОДЕЛИРОВАНИЕ В ПРОЕКТИРОВАНИИ

СЛОЖНЫХ СИСТЕМ 

 

Конспект лекций

для студентов специальности

I–53 01 07 «Информационные технологии и управление 
в технических системах» всех форм обучения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Дисциплина «Моделирование в проектировании сложных систем»  рассматривает вопросы применения имитационного моделирования при  проектировании сложных технических  и других систем, к которым относятся  гибкие производственные системы (ГПС), их подсистемы, и другие объекты  дискретного производства, а также  транспортные, информационные, банковские, торговые, и т.п. системы, в основе которых с точки зрения моделей  лежат системы массового обслуживания.

Сложная техническая система состоит из множества взаимосвязанных элементов и подвержена влиянию внешних воздействий. При ее изучении осуществляют структуризацию, связанную с выявлением наиболее существенных элементов и установлением связей между ними, и алгоритмизацию, заключающуюся в рассмотрении алгоритмов поведения системы и ее подсистем в процессе функционирования. Под последним понимают изменение состояния системы во времени при достижении ею поставленной цели. Адекватную замену реальной системы моделью, облегчающую, упрощающую, ускоряющую и удешевляющую изучение свойств системы, называют моделированием.

Так как модель реального  объекта сама является сложной системой, то ее разработка представляет собой  трудоемкий процесс, к основным этапам которого относятся: формулирование цели и подготовка исходных данных; разработка концептуальной модели (связанная со структуризацией и алгоритмизацией  объекта); выбор метода и средств  моделирования (исходя из характера  системы, достоинств и недостатков  методов, наличия средств их реализации); разработка математической и программной модели (составление математического описания элементов системы, их взаимосвязи и написание программы на универсальном языке, языке моделирования общего назначения или специализированном языке); проверка адекватности модели объекту и ее корректировка; планирование и проведение расчетов на ЭВМ; анализ полученных результатов.

К настоящему времени разработано  большое количество методов моделирования. С точки зрения подобия реальному  объекту различают полные и приближенные модели. В зависимости от характера  процессов в системе они подразделяются на детерминированные и стохастические, статические и динамические, дискретные, непрерывные и дискретно–непрерывные. По форме представления объекта модели делят на физические и математические. Математические модели в свою очередь делятся на аналитические и имитационные. Аналитические модели, позволяющие получить решения в явном виде, часто не являются структурно подобными объектам моделирования. При имитационном моделировании модель структурно подобна объекту, воспроизводит процесс функционирования системы во времени с сохранением составляющих его элементарных явлений и событий. При этом есть возможность управлять масштабом времени, пересчет которого осуществляют либо с постоянным шагом (обычно при моделировании систем с непрерывными процессами), либо в движении от события к событию (для систем с дискретными процессами), что позволяет существенно экономить машинное время.

Применительно к сложным  промышленным системам, например, ГПС  механообработки, включающим подсистемы складирования, транспортировки, обработки  и т.п., имитационные модели позволяют  оценить загрузку оборудования, размеры  очередей к отдельным единицам оборудования, среднее время обработки изделий  и другие показатели. Все это дает возможность выработать рекомендации по совершенствованию проектируемых  систем и по улучшению организации  существующего или модернизируемого производства.

В процессе проектирования сложных систем используется ряд  моделей. В самом общем случае все модели, отражающие динамику происходящих в таких системах процессов, можно подразделить на синхронные, в которых есть привязка ко времени, и асинхронные, учитывающие параллельные процессы и причинно-следственные связи. К первой группе относятся дискретные детерминированные и дискретно–стохастические модели, при построении которых используется теория автоматов. Ко второй группе относят модели, основанные на теории систем массового обслуживания (СМО). Наряду с ними получили широкое распространение сетевые модели: сети Петри и их модификации.  Значительная роль при создании сложных систем отводится компьютерному расчету, реализующему методы имитационного моделирования, основанные на интерпретации СМО.

Сети Петри целесообразно  применять для проверки согласованности  работы оборудования и выявления  конфликтных ситуаций в системе. Применение временных сетей Петри  позволяет находить условия выполнения в сети циклических процессов  в системах конвейерного типа.

В данном курсе будет уделено  внимание имитационным моделям на языке  GPSS World.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. МОДЕЛИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

 

1.1 Понятие о системах массового обслуживания (СМО) и их характеристиках. Классификация СМО

Система массового  обслуживания – это совокупность последовательно связанных между  собой входящих потоков требований (заявок) на обслуживание; очередей с  соответствующими правилами постановки в очередь и выхода из нее; каналов  обслуживания со своими правилами; выходящих  потоков требований.

Входящий поток. Задается описанием моментов времени поступления в систему требований (закон поступления) или количеством одновременно поступивших требований.

Различают регулярный и случайный потоки (например,  соответственно через 5 мин. и через 5±2 мин.). Случайный поток может  быть стационарным (интервалы поступлений  не зависят от их положения на временной  оси) и нестационарным (в противном  случае, например, число автомобилей  на заправку не зависит от времени  суток или зависит).

В СМО входящий поток часто принимается простейшим – пуассоновским, для которого вероятность  того, что k требований поступят за время t:

Здесь - средняя интенсивность поступления требований (число требований за единицу времени или величина, обратная среднему интервалу t_п поступления требований).

Правила постановки в очередь и  выхода из нее. Различают следующие правила:

• «Первым пришел – первым обслужен» (FIFO – First In – First Out);
• «Последним пришел – первым обслужен» (LIFO – Last In – First Out);
• Случайный выбор (RANDOM);
• Выбор по признаку: по приоритету, по длине очереди, по времени нахождения в очереди и т.п.

Каналы обслуживания. Различают одноканальные (с одним каналом) и многоканальные (с несколько идентичными каналами) СМО.

При последовательном соединении узлов (устройств) СМО называют многофазными системами(сетями).

Обслуживание  характеризуется длительностью (распределением времени обслуживания). Интенсивность  обслуживания , где t_об-среднее время интервала обслуживания. Время обслуживания может быть детерминированным или вероятностным.

Дисциплины  обслуживания бывают: бесприоритетные и приоритетные (с прерыванием).

Важной  величиной СМО является загрузка СМО  (для одноканальной системы).

Применительно к ГПС когда ,система справляется с обслуживанием требований (деталей). При р=1 наступает установившийся режим. Практически ,а 1-p – время простаивания СМО. Если же , то ГПС не справляется с обслуживанием деталей, и очереди к оборудованию растут бесконечно.

В одноканальной  СМО средняя длина очереди  в СМО с пуассоновским входящим потоком и произвольно распределенным временем обслуживания устанавливается  формулой Поллачека–Хинчина. В частности, при детерминированном обслуживании: ; при экспоненциальном обслуживании: ( l - количество требований в очереди).

Установлено, что длина очереди зависит  от отношения λ и μ, а не от их абсолютных значений. Другими словами: если выдерживать загрузку оборудования , то увеличение интенсивности поступления деталей λ не приводит к изменению длины очереди и объем незавершенного производства остается неизменным.

Наконец, для СМО любого типа справедлив закон  Литтла: среднее количество требований в СМО , где t_пр– среднее время пребывания требований в системе, а λ – интенсивность их поступлений.

Для ГПС  справедливо соотношение ,где k – число каналов, что важно при расчете емкости склада ГПС и накопителей ГПМ.

Важной  характеристикой СМО является вероятность  ее состояния, т.е наличие k требований в системе .

Эти характеристики будут вычислены при рассмотрении различных типов СМО.

Выходящий поток. Это поток требований, покидающий систему. В многофазных сетях выходящий поток предыдущего узла является входящим потоком последующего узла. В сети без потерь загрузка всех узлов должна быть одинаковой. Тогда сеть сбалансирована. Если в сети есть узкое место, т.е. узел, для которого загрузка максимальна, то такой узел становится еще одним (кроме склада) источником требований в сети.

Анализ СМО аналитическими методами наиболее полно разработан для простейших потоков требований и содержится в работе [2]. В настоящем  пособии приведем краткое изложение  этих результатов, достаточное для  понимания последующей информации.

 

1.2 Анализ разомкнутых СМО аналитическим методом

1.2.1. Одноканальная система с  простейшими потоками

Под простейшим пуассоновским  потоком понимают такой, в котором  поступление требований происходит по одному; вероятность поступлений  последующих требований не зависит  от предыстории; поток требований стационарный.

Задано: число требований k_<![endif]>; интенсивность их поступлений λ интенсивность обслуживания μ. Необходимо определить: коэффициент использования канала обслуживания р; среднюю длину очереди l; среднее число требований, находящихся в системе (в очереди ив канале обслуживания) _, вероятности состояний СМО .

Рассмотрим граф состояний СМО:

Первый элемент  с вероятностью Р₀ определяет состояние СМО, при котором канал обслуживания простаивает из-за отсутствия требований в системе. Так как поток ординарный (требования поступают по одному), то СМО может перейти в состояние Р₁. Из этого состояния она может с интенсивностью μ возвратиться в состояние Р₀ (т. е. требование обслужено ранее, чем поступило новое) и т.д.

В установившемся режиме  интенсивности λ и μ  сбалансированы. В этом случае:

Т.к. – загрузка (коэффициент использования) канала (оборудования в ГПС), то из первого уравнения:

Из второго уравнения  найдем Р₂:

 то первый и третий члены  уничтожаются. Тогда:

Аналогично рассуждая, находим:

Поскольку сумма  вероятностей всех состояний 

Так как реально  , то сумма геометрической прогрессии

.

 откуда вероятность  простоя канала (оборудования)

Вероятность того, что в СМО находятся k требований:

Среднее число находящихся  в СМО требований

После соответствующих  преобразований:

Среднее число требований, находящихся в очереди

Пример1.1. Рассмотрим одноканальную разомкнутую СМО с простейшими потоками. Пусть интенсивность поступлений λ=10 требований в час, а интенсивность их обслуживания 15 требований в час.

Коэффициент загрузки

Вероятность простоя  канала

Среднее число требований в СМО 

Среднее число требований в очереди 

 можно найти и так:

.

1.2.2 Многоканальная система с  простейшими потоками

Исходные данные  аналогичны одноканальной системе, дополнительно учитывается число  каналов К.

В многоканальной СМО возможны два случая:

• число требований k, поступивших в систему, меньше количества каналов К, т.е. все требования обслуживаются ( );
• число требований т.е. их часть (К) обслуживается, а часть k-К ожидает в очереди.

Рассмотрим  первый случай: .

Граф  состояний многоканальной СМО имеет вид:

Для сбалансированного  состояния:

Из  первого уравнения при

из  второго уравнения

 

при этом первый и третий члены уничтожаются, тогда 

Рассуждая аналогично, находим:

Рассмотрим второй случай:

Граф состояний  имеет вид:

Объединяя эти два  случая, получим:

 

Пример1.2. Пусть ; Найти

1.3. Анализ замкнутых СМО аналитическим методом

1.3.1. Одноканальная система с  простейшими потоками

Особенности замкнутой  системы. Исходные данные: число требований, циркулирующих в системе – m; интенсивность поступления требований на обслуживание где – время возвращения требования в систему (с выхода на вход); – интенсивность обслуживания, как и ранее.

Необходимо определить вероятности состояний 

Граф состояний  имеет вид:

Для установившегося  режима:

Из первого уравнения

Аналогично рассуждая, получим:

Для установившегося  режима СМО средняя интенсивность  поступлений требований во входном  потоке равна средней интенсивности  выходного потока:

 

Пример1.3. В замкнутой системе работают m=4 машин, их поступление подчиняется пуассоновскому распределению со средним значением =10мин., т.е. поступлений в час. Машины обслуживаются погрузчиком, работающим с интенсивностью погрузок в час.