История математики Индии

Индийцы применяли символ квадратного корня ''му'' не только к полным квадратам, но и к полученным квадратичным иррациональностям. Бхаскара с помощью правил

заимствованных, быть может, у греков, производил преобразования квадратичных числовых иррациональностей  и таким образом упрощал довольно сложные выражения, как, например,

Такое свободное пользование  иррациональностями также было воспринято в странах ислама, где Омар Хайям  в XI в. предложил расширить понятие  числа до того, что мы называем положительным  иррациональным числом.

 

Линейные уравнения

 

Задачи, приводящие к решению  линейного уравнения с одним  неизвестным, имеются у Ариабхаты. К линейному уравнению, в частности, приводит его задача, обошедшая в дальнейшем под названием «задачи о курьерах» мировую алгебраическую литературу,— она приводится и в нынешних школьных руководствах. В этой задаче требуется определить время встречи двух небесных светил но данным скоростям v_x, v₂ и расстоянию а между ними.   Ариабхата сообщает решение

                                                  

при движении в одну сторону; если v₁ < v₂, то встреча произошла в прошлом. При движении навстречу необходимо расстояние разделить на сумму скоростей. О случае , когда встреча произошла в прошлом, Ариабхата не упоминает, и мы не знаем_, рассматривает ли он этот случай или нет, и были ли ему известны отрицательные числа. Впрочем, вряд ли он умел истолковать отрицательное значение t, соответствующее v₁<v_2. Индийские математики и позднее не принимали в расчет отрицательные решения уравнений и для этого изменяли подходящим образом условие задачи.

Заметим, что «задачи о  курьерах» в некоторых более  сложных вариантах (например, движение с переменной скоростью, растущей в арифметической прогрессии) приводят и к квадратному уравнению.

 

 

Квадратные уравнения.

 

Задачи на квадратные уравнения  встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду: ax²+bx=c, a>0.

В данном уравнении  коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты, по существу, совпадает с нашим.

В древней Индии  были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач  знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

"Обезьянок резвых стая

Всласть поевши,развлекалась.

Их в квадрате часть  восьмая

На поляне забавлялась.

А двенадцать по лианам...

Стали прыгать, повисая...

Сколько ж было обезьянок,

Ты скажи мне, в этой стае?"

Решение задач свидетельствует  о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений. Соответствующее  данной задаче уравнение. выглядит следующим образом:

(х\8)² +12 = х                                                                                  

Или как пишет Бхаскара:   х² -64х = -768   и чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32², получая затем:

х² - 64х + 32² = -768 + 1024,

(х-32)² = 256,

х-32 = 16, х₁=48

х-32 = -16,х₂=16.

Так же индийцы решали и  системы уравнений, например,   Бхаскара решал   задачу об определении катетов и гипотенузы  прямоугольного треугольника по его периметру и площади, сводящуюся к системе:

xy=p,   x+y+z=q,   x²+y² = z²

Бхаскара рассматривал также специально подобранные уравнения третьей и четвертой степеней, целочисленные корни которых он находил путем несложных преобразований. Так, уравнение     x ⁴ -2x² -400x =9999 , Бхаскара решил следующим образом: прибавляя к обеим частям             4х² + 400х+1, он получил:   х⁴+2х² +1 = 4х² +400х +10000.

Извлечение корня из обеих  частей дает:  х²+1 = 2х +100, откуда х =11.

 

Неопределенные  уравнения

 

Крупных успехов достигли индийские математики в решении неопределенных уравнений, возникших в связи с календарно-астрономическимн задачами, в которых надо было определять периоды повторения одинаковых относительных положений небесных светил с различными временами обращения.

В отличие от Диофанта, искавшего  только рациональные решения, индийцы  дали способ решения неопределенных уравнений в целых положительных числах. Решение в целых числах линейного уравнения с двумя неизвестными: ax +b = сy, приводит уже Ариабхата, но более подробно носит название способа «рассеивания» или «размельчения» и в современных обозначениях состоит в следующем. Если числа а и  с взаимно просты ,то частное а/с можно разложить в непрерывную дробь     (д₀, д_ъ ..,, д_п-₁,д_k). Обозначим подходящую дробь (д₀,.,., д_к) через P_nQ_n. Предпоследняя подходящая дробь P_n-₁ и Q_n-1\. Тогда всевозможные решения данного уравнения  выражаются равенствами:

х = -(-1)ⁿbQ_n-₁ + Q_nt,   y= -(-1)ⁿbP_n-₁ + P_nt

где t может принимать любое значение.

Рассмотрим пример Бхаскары: дано уравнение

100х + 90 = 63y,  имеем 100\63 = (1,1,1,2,2,1,3), P₅ \ Q₅ =(1,1,1,2,2,1)= 27\17

и далее находим х и у по формулам:

х = 90*17 +63t = 1530 +63t,      y = 90*27 + 100t = 2430 + 100t

и наименьшее целое положительное  решение при t = -24: x=18, y=30.

Вершиной достижений индийских  математиков в теории чисел является решение в целых положительных числах общего неопределенного уравнения второй степени с двумя неизвестными:

ax²+b=y²  и его важного частного случая ax²+1=y² 

где а — целое неквадратное число, встречавшееся у греческих математиков. Уравнения такого вида  рассматривались Брахмагуптой и Бхаскарой. Последний на примерах изложил метод, называемый в настоящее

 

 

 

 

 

 

                                                  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Индийская математика оказала  огромное влияние на развитие математики как на Востоке, так и на Западе. Именно в Индии была разработана наша арифметика, основанная на десятичной позиционной нумерации, а также такие арифметические правила, как тройное правило и его обобщения. Наши термины «корень» и «синус» постоянно напоминают нам о роли индийских ученых в разработке алгебры и тригонометрии. Оказали влияние на Европу и их теоретико-числовые исследования. В 
значительной степени индийцам обязаны мы и введением отрицательных 
и иррациональных чисел. К сожалению, математические и астрономические труды индийцев, написанные в XV—XVII вв., и в частности такое 
замечательное открытие, как бесконечные ряды для арктангенса, синуса 
и косинуса, остались в свое время неизвестными за пределами Индии и 
были получены вновь европейцами. j_t  i

Несомненно, что вклад  индийцев в развитие мировой математики был бы во много раз больше, если бы Индия не попала на несколько  столетий под колониальное иго.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература

1. Володарский А. И. « Ариабхата»  М.: Наука, 1977г.
2. Володарский А. И. «Очерки средневековой индийской математики» М.: Наука, 1977г.
3. Глейзер И.Г. « История математики» М.: Просвещение, 1970г.
4. Депман И.Я. « История Арифметики» М.:Просвещение, 1966г.
5. Юшкевич А.П. «История математики с древнейших времен до XIXв» М.:Наука, 1970г.

 

~ ~