История математики Индии

В XIII и XIV вв. в европейских  университетах учились уже сотни  студентов, которым на интернациональном  языке учёных— латинском — профессора строка за строкой диктовали и объясняли руководство по новой арифметике, в большинстве случаев так называемый популярный.

Итальянские купеческие круги  быстро оценили преимущества индийской  нумерации. Пользование ею, непонятною для представителей власти, было запрещено  во Флоренции в 1299 г. Хотя после этого бухгалтерские книги велись довольно долгое время в римской нумерации, однако черновые расчёты и проверки уже тогда выполнялись индийскими цифрами.

В других странах индийские  цифры весьма медленно проникают  в широкие круги населения, встречаясь лишь в отдельных документах XII—XIII вв. (единичные случаи — в конце IX в.). На монетах индийские цифры впервые появляются в 976 г. в Испании, где имелись непосредственные связи с арабами.

    

Индийские цифры  в России

 

Первой русской печатной книгой математического содержания было «Считание удобное, которым всякий человек покупающий или продающий, может удобно изыскати, число всякие вещи». Напечатана она была в московской типографии в 1682 г. и представляет 50 страниц таблиц умножения. В ней употребляется ещё славянская нумерация. Второе её издание 1714 г. под заглавием «Книга считания удобного ко употреблению всякому хотящему без труда познати цену, или меру какия вещи» (Петербург) напечатано уже гражданским шрифтом и индийскими цифрами.

То обстоятельство, что  в счётной таблице, предназначенной  служить пособием для простейших житейских расчётов, автор в 1682 г. употребляет церковнославянские цифры, свидетельствует о том, что в  конце XVII в. индийские цифры ещё  не успели получить достаточного распространения  среди широких слоев населения. В старинных русских печатных  книгах эти цифры только изредка  употребляются для  нумерации  страниц и гравюр.

В 1647 г. по указу царя Алексея  Михайловича в Москве был напечатан  в 1200 экземплярах первый русский  воинский устав под названием: «Учение  и хитрость ратного строения пехотных людей». В этой книге во многих местах в тексте, а на рисунках повсюду  употребляются индийские цифры, называемые «цифирными числами».

В дальнейшем нумерация усовершенствовалась  и в итоге для постоянного  использования в русских кругах закрепились арабские цифры.

 

Арифметические  действия в Индии.

 

Если наши геометрические курсы в значительной степени  восходят к греческой математике, то наша арифметика имеет, несомненно, индийское происхождение. Именно от индийской позиционной нумерации  происходит наша нумерация, индийцы  же первые разработали правила арифметических действий, основанные на этой нумерации.

К основным арифметическим действиям индийцы относили сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в квадрат и куб и извлечение квадратного и кубического корней.

Вычисления индийцы производили  на счетной доске, покрытой песком или  пылью, а то и прямо на земле. Поэтому  арифметические вычисления иногда назывались «дхули-карма» — работа с пылью. Числа записывались заостренной палочкой. Чтобы хорошо различать цифры, их писали довольно крупно, поэтому промежуточные выкладки стирались. Это наложило отпечаток на индийские способы вычисления.

Сложение и вычитание  производились как справа налево, т. е. от низших    разрядов к  высшим, так и слева направо, от высших разрядов к низшим.

Для умножения существовало около десятка способов. При основном способе умножения операцию можно  было начинать как с низшего, так  и с высшего разряда. В процессе умножения цифры множимого постепенно стирались, а на их месте записывались цифры произведения.

Индийцы применяли и более  удобные приемы умножения. Например,

расчерчивали счетную  доску на сетку прямоугольников, каждый из которых разделен по палам  диагональю, но сторонам сетки записывали сомножители, а промежуточные произведения писали в треугольниках и складывали их по диагоналям .

При делении  делитель подписывался под делимым так, чтобы первые их цифры находились одна под другой, и из цифр  делимого, написанных над делителем, вычиталось максимальное кратное делителя, не превосходящее числа, образованного этими цифрами. Затем делитель передвигался на один разряд вправо и таким же образом вычитался из цифр остатка.

 

 

Так же существует несколько  способов возведения в квадрат и  куб. Шридхара в своей «Патиганите» («Искусство вычисления на доске») излагает методы, которые в наших обозначениях можно выразить формулами

Первое описание процесса извлечения квадратного и кубического  кирней встречается в Индии еще в V—VI вв. у Ариабхаты.

Индийцы называли корень «пада» — основание, сторона и «мула» — основание; оба эти слова, по-видимому, перевод греческих слов. Поэтому латинские переводчики в XII в. перевели арабское название корня латинским словом radix, откуда и происходят наши термины «корень» и   «радикал».

Извлечение квадратного  корня в Индии основано на разложении квадрата двучлена, но при этом (как  и при извлечении кубического  корня) не применялся метод Горнера.

Так как при выполнении арифметических действии приходилось стирать промежуточные выкладки, проводить непосредственно, верны ли окончательные результаты, было невозможно. Для проверки умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня индийцы рекомендовали не обратные операции, а так называемую проверку с помощью девятки, основанную на том, что остаток при делении целого числа на 9 равен остатку при делении на 9 суммы цифр этого числа. Первое описание этого правила применительно к умножению, делению с остатком и извлечению квадратного и кубического корней встречается у Ариабхаты II (X в.). Если мы назовем пробой остаток от деления на 9 суммы цифр данного числа, то, например, при умножении двух чисел произведения должна быть равна произведения  множителей. Равенство является только необходимым, но не достаточным условием правильности действия, чего индийцы не отмечают. Проверка с помощью девятки применялась математиками стран ислама, познакомившимися с ней по индийским источникам, а от арабов это правило попало к европейцам. Недостаточность этого правила отмечалась Н. Шюке и Л, Пачоли только в конце XV в.

 

 

Дроби

 

В Индии дроби известны очень давно. Еще в середине II тысячелетия

до н. э. упоминаются такие дроби ардха (1/2), пада (¼), три-пада (3/4) и кала (1/16).

Индийцы записывали дроби  так, как это делается в настоящее  время: числитель над знаменателем,   только  без дробной черты. Друг от друга дроби отделялись вертикальными  и горизонтальными линиями.

 

Сложение обозначалось записью  дробей рядом. Для обозначения вычитания  употреблялись точка или знак + справа, и, например, выражение

    изображали в виде 

 

В смешанной дроби ab\c, где а — целая часть, она помещалась над дробью:

 

 

Иногда целое число  изображали дробью со знаменателем 1. поэтому  смешанные дроби представляли в  виде:

 

 

При умножении дробь записывали рядом:

 

                               а при делении — одну под  другой:

 

Как видно, сложение и умножение  дробей изображались одинаково.

То же относится к делению  целого числа а на дробь b\c , которое записывали:

 

 так же, как смешанную дробь. О смысле подобного рода записей можно было судить по контексту. Правила действий над дробями почти не отличались от современных. Так, Шридхара приводит правила: ''После приведения дробей к общему знаменателю сложи числители'', ''Произведение дробей равно произведению числителей, деленному на произведение знаменателей'', ''Квадратный корень дроби равен квадратному корню числителя, деленному на  квадратный корень знаменателя''

Для приведения к общему знаменателю индийские ученые сначала  составляли произведение знаменателей всех сомножителей, а начиная с IX в. пользовались уже их наименьшим кратным. Так поступал, папример. Шридхара.

Задачи на пропорпии

В индийских сочинениях встречаются  многочисленные задачи па простое и  сложное тройное правило, пропорциональное деление, правило товарищества, правило  смешения, простые и сложные проценты, прогрессии. Одни задачи имели непосредственное практическое значение, другие составлялись для упражнения и развлечения.

При решении задач, которые  выражаются уравнением ах = с, большое  место занимало уже знакомое правило  одного ложного положения.

В анонимной рукописи VI—VIII вв., найденной близ селения Бахшали в Северо-Западной Индии (так называемая «Бахшалийская рукопись»), это правило применяется   также к задачам,   приводящимся к уравнению ax + b = c. Решение имеет вид

                                                      , где c1 = ax1 +b.

Еще более широкое применение имело тройное правило (''трой-рашика'' — буквально ''три места''), состоящее в нахождении числа х, составляющего с тремя данными числами a,b,c пропорцию a\b = c\x.

Индийцы пользовались также '' обратным тройным правилом'' ( вьяста — трай — рашика) , когда в задаче вместо прямой пропорциональности указывается обратная. Эти правила также были заимствованы у индийцев учеыми стран ислама, а через них — европейцами. В странах ислама правила были обобщены на любое нечетное число. В Европе эти правила, получившие название цепных правил, находились в центре внимания авторов арифметических руководств.

 

 

Алгебра

 

Как и в Вавилоне и Китае, в Индии высокого расцвета достигли алгебраические вычисления. Алгебру, вместе с решением целочисленных неопределенных уравнений, индийцы называли ''биджаганита'' — ''искусство вычисления с элементами'' или ''авьяктаганита'' — ''искусство вычисления с неизвестными''.

Выдающимся достижением  индийских математиков было создание развитой алгебраической символики. Эта  символика была даже богаче, чем  у Диофанта. Впервые появились  особые знаки для многих неизвестных  величин, свободного члена уравнения, степеней. Большинство символов представляет собой первые слоги соответствующих  санскритских терминов.

Неизвестную величину индийцы  называли ''йават-тават'' (столько, сколько), для обозначения неизвестной служила буква, означающая слог ''йа''. Если неизвестных было несколько, то их называли словами, выражающими различные цвета: калака (черный), пилака (голубой), питака (желтый), панду (белый), лохита (красный), а обозначали первыми слогами соответствующих слов: ка, ни, пи, ла, ло. Свободный член в уравнениях сопровождался первым слогом слова «рупа» (целый). Иногда неизвестная обозначалась знаком нуля_, так как первоначально в таблицах, например, пропорциональных величин, для нее оставлялась пустая клетка.

Знаки, представляющие собой  обозначения первых слогов слов, применялись  для основных действий. Сложение обозначалось знаком “йу” (“й-та” — сложенный),   умножение — “гу”   (“гунита” — умноженный),   деление — “бха” (“бхага” — деленный).

Вычитание обозначалось точкой над вычитаемым или знаком + справа от него (например, вычитание 5 обозначалось 5 или 5+). Знаки сложения и умножения  часто опускались. В качестве примеров приведем записи

    

Обозначения степеней представляли собой сочетания слогов ''ва'' (''варга'' — квадрат), ''гха'', (''гхана'' — куб) и слова ''гхата'' — произведение, т. е. степени и неизвестных обозначались:

Квадратный корень обозначался  слогом ''му'' — от слова ''мула''. В качестве примеров приведем записи

Знака равенства не было: обе части уравнения писали в  две строки так, чтобы одинаковые степени стояли друг под другом. Если неизвестная отсутствовала, то записывали ее знак с коэффициентом  нуль. Уравнение 10x -8 = x*x +1 записывается в виде

Символы применялись и  в учении о прогрессиях. Первый член обозначается ''а'' от ''ади''—(первый член), разность арифметической прогрессии —''^{ча'' или} ''у'' от ''чайа'' или ''уттара'' (разность прогрессии), число членов - ''па'' или ''га'' от ''пада'' или ''гачха'' (число членов), сумма прогрессии - ^''сан'' или ''ган'' от''санкалита'' или ''ганита'' (сумма). Например, в анонимном комментарии к ''Патиганите'' приводится запись

      обозначающая 

 

 

Итак, индийские ученые сделали  большой шаг в создании символической  алгебры, хотя их обозначения были громоздки, а сами знаки, т. е. сапскритские буквы, имели сложное начертание.

 

Отрицательные и иррациональные числа

 

Индийские математики, начиная  с Брахмагупты (VII в т э.), систематически пользовались отрицательными числами и трактовали положительное число как имущество, а отрицательное — как долг. Брахмагупта приводит все правила арифметических действий над отрицательными числами. Ему еще не была известна двузначность квадратного корня, но уже в 850 г. Магавира в своей книге ''Ганита-сара-санграха'' (''Краткий курс математики'') пишет: ''Квадрат положительного иди отрицательного — числа положителен, их квадратные корни будут соответственно положительными и отрицательными. Так как отрицательное число по своей природе не является квадратом, то оно не имеет квадратного корня'' . Последние слова Магавиры показывают, что он ставил вопрос и об извлечении корня из отрицательного числа, но пришел к выводу, что эта операция невозможна. Не исключено, что об отрицательных числах индийские ученые узнали в результате контактов с китайской наукой. Прямых свидетельств в пользу такого предположения нет. Во всяком случае, в Индии отрицательные числа не применялись при решении систем линейных уравнений. Индийцы называли . положительные числа ''дхана'' или ''сва'' (имущество), а отрицательные — ''рина'' или ''кшайа'' (долг). Впоследствии этот термин мы встретим в этом же значении в странах ислама (''дайн'' у Абу-л-Вафы) и в Европе (debitum у Леонардо Пизанского).